标题: Hamilton 系统、辛几何与 KAM 定理
作者: 萍踪浪迹
经典力学从Newton手中的形式经过Euler形式化与和Lagrange的提升,成为分析力学,再经过Hamilton和Jacobi的发展,产生著名的Hamilton系统理论。
我们考虑n维位形空间R^n,粒子在其中自由运动时,自由度为n,如果加以约束,则可以减少自由度,如数学双摆,一个摆的运动轨迹为S^1,另一个的运动轨迹为以第一个质点为圆心的S^1,因次就是2维环面T^2,此时它的速度则为T^2上的切向量。
更一般的,我们考虑广义坐标q(q_1,q_2,……,q_n),广义速度dq/dt(dq_1/dt,dq_2/dt,……dq_n/dt),两者的直积空间(q,dq/dt)称为状态空间。如果我们考虑广义动量p(p_1,p_2,……,p_n),则直积空间(q,p)称为相空间。动量和速度只差个质量,但是在数学上,由于矢量变化的不同,必须区分。
简单的计算可知:
广义速度dq/dt是逆变矢量,所以状态空间(q,dq/dt)是以位形空间为底空间的切丛TM;广义动量p是协变矢量,所以相空间(q,p)是以位形空间为底空间的余切丛T*M。
我们主要分析相空间。在相空间中一个重要的不变量是Poincaré积分不变量:ω=Σdp_i∧dq_i,i=1,……,n。
Poincaré积分不变量在局部微分同胚下保持不变。这个性质在经典力学中对应正则变换,可以将一个hamilton系统变换为另一个hamilton系统,从而大大简化计算,在理论物理和天体力学中有重要应用。
由Darboux的一个著名定理可以知道,任何一个偶数维的向量空间都可以赋予一个反对称双线性形式,即辛形式(symplectic form),从而这个向量空间成为辛空间,这使得相空间(必定是偶数维)的研究可以应用辛空间理论。和其他向量空间一样,辛空间也有子空间以及直和分解以及正交补等重要概念,辛空间的最大迷向子空间就是Lagrange子空间。
如所周知,Poincaré是动力系统的奠基者,辛空间中的动力系统成为辛动力系统,但是并非所有辛动力系统都是Hamilton系统,除非Calabi不变量为零。
Hamilton系统的重要研究对象是关于动力学流(flow)的研究,相空间中的流的定义是相空间中的单参数变换群,相流保持相空间体积(测度, measure)不变(Liouville定理),且经过足够多次变换,总可使相空间中任意点x回到该点的任意小领域u(x,ε)内(Poincaré回归定理),而Hamilton流可以保持辛结构不变,且Hamilton流的Poincaré映射为辛映射。
Poincaré积分不变量出现的重要作用在于使得我们可以将研究从R^2n推广到一般微分流形M^2n上,用M^2n上的辛形式(非退化的闭的2次微分形式)代替R^2n上的辛形式。在推广后,就可以抽离动力系统,直接研究与速度无关的线汇,得出更重要得多的Poincaré-Cartan积分不变量: ω=Σp_i∧dq_i-Hdt,i=1,……,n。
其中H为H(p,q,t),如果H不显含t,则为保守系统,若不显含q_i,则p_i=constant为首次积分(著名的Noether定理可以用来计算Hamilton方程组的首次积分),q_i则为循环坐标。若所有坐标都为循环坐标都为循环坐标,则Hamilton系统完全可积系统。
由于现实中可积系统的“个数”相对于所有Hamilton系统的“个数”而言甚至连稠密集都不是,因此人们只能对可积系统进行微扰后进行研究,因此稳定性问题等课题就显得非常重要。
張崋問:坏消息是流形这个词不是你发明的,但好像也不能算是山寨。是条狗都能在网上搜得着的答案。就是去查的人不多,原因是谁也想不起来也不会去想。正确答案是:流形是中国著名的数学家江泽涵从英文manifold转译过来的。
正解:流形(Manifold),是局部具有欧氏空间性质的空间。 而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体,它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上,经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间(configuration space)。环面(torus)就是双摆的位形空间。如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的,因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变,而把解析簇看作是硬的,因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式,如果你知道(0,1)区间的取值,则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化),那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体,其无穷小的结构是硬的,而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。引自百度百科
张华答:都傻了吧,估计世界上看得懂的人是不会太多的,哈哈(俺自鸣得意)!其实我也没看懂,看了个懵懵懂懂,像情窦初开的青皮,喜欢就得了,以后谁也不知变成什么样,别较真儿。何况我是第二发明人。