gij01 陈方培向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得,所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相

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窮人的微分幾何4 度規張量跟黎曼幾何

2007/08/17 16:43

在前面我們討論平行的時候，都沒有談到向量的交角跟大小與平行的關係，因為與平面幾何的相法不同，事實上在廣義的幾何裡，平行跟交角這二個概念是互不相關的。向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得：

gij=ei.ej

對上式作d運算，可得

D(gij)=dei.ej+ei.dej=wij+wji

注意其實ei.ei=gii，但gii與gjj的作用是改變i與j指標的上下位置，所以這裡的wij跟前面的wij指標位置略有不同，ij二個指標都是下指標。

把wij分解成Gijkdxk，再把dxk移到左邊當微分算子的分母，可得

Dgij/dxk=Gijk+Gjik

所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相容，而且空間扭量為0。

假設空間是torsion free(扭量為0), 再把上式對gik, gjk重寫一次，就可以發現

Gijk=(dgij/dxk+dgik/dxj-dgjk/dxi)/2

克里斯多符號可以由gij的微分唯一決定！

空間度規gij決定Gijk，Gijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何的特點。

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