窮人的微分幾何4 度規張量跟黎曼幾何
在前面我們討論平行的時候，都沒有談到向量的交角跟大小與平行的關係，因為與平面幾何的相法不同，事實上在廣義的幾何裡，平行跟交角這二個概念是互不相關的。向量的大小與交角，就是所謂的內積，可以由定義一個度規張量而得：
gij=ei.ej
對上式作d運算，可得
D(gij)=dei.ej+ei.dej=wij+wji
注意其實ei.ei=gii，但gii與gjj的作用是改變i與j指標的上下位置，所以這裡的wij跟前面的wij指標位置略有不同，ij二個指標都是下指標。
把wij分解成Gijkdxk，再把dxk移到左邊當微分算子的分母，可得
Dgij/dxk=Gijk+Gjik
所謂的黎曼幾何，就是假設平行聯絡與gij可以相容，而且空間扭量為0。
假設空間是torsion free(扭量為0), 再把上式對gik, gjk重寫一次，就可以發現
Gijk=(dgij/dxk+dgik/dxj-dgjk/dxi)/2
克里斯多符號可以由gij的微分唯一決定！
空間度規gij決定Gijk，Gijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何的特點。
