http://www.liuxiaochuan.org/2011/10/structuralstability.htm
动力系统基本概念:结构稳定性
我目前在学习动力系统的基础知识。为了学习动力系统的基本知识,应当先有一门常微分方程课的基础,了解微分流形的基本概念,以及点集拓扑学基本概念。如果要从大学程度的常微分方程的课程开始学起的话,我推荐MIT的Arthur Mattuck教授主讲的公开课:”Ordinary Differential Equation“。微分方程的中文教材,我使用丁同仁和李承志的“常微分方程教程”。微分动力系统的教材,中文的我主要参考“微分动力系统原理”,作者是张筑生。英文的书,是我重点阅读的部分,包括下面几本书,V.I.Arnold的书”Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”,Jacob Palis和Welington de Melo的书“Dynamical Systems”,Welington de Melo 和 Sebastian van Strien的书”One-Dimensional Dynamics”,以及Michael Shub的书”Global Stability of Dynamical Systems”.这些将是我短期内投入学习的最重要内容,有相同学习计划的朋友可以与我联系。
结构稳定性是我一开始就比较感兴趣的话题,我用这个帖子写关于这方面的内容。希望作为初学,不会犯严重的错误。
拓扑等价:如果存在流形上的两个向量场和和从到的同胚,满足将上的每一个轨道都保方向的映到上的一个轨道,则我们称这两个系统拓扑等价。
结构稳定性:流形以及其上的一个向量场组成的系统被称作结构稳定的,是指当存在的一个在空间中的邻域,使得邻域中每一个向量场都与拓扑等价。
一维的结构稳定性问题:是一个一维的闭圆。定义这个闭圆每一点的切向量有两个方向,设为正向和负向。于是,一个上的向量场可以表示为上的周期函数。当取值为正时,的方向是正向;当取值为负时,的方向是负向;而取值为的点,就对应的奇点。在函数取值为的点上,如果取值不为,则我们称该点是非退化的奇点。于是我们有一维结构稳定性的充要条件如下(参见[1]):
定理1:上述上的一个向量场X是结构稳定的,当且仅当该向量场所有奇点都是非退化的。
证明.首先,假设向量场的所有奇点都是非退化的。那么,这样的奇点一定只有有限个(只要使用连续函数的性质即可看出)。由于在这些奇点上,向量场的二次导数非正即负,所以在奇点的两侧,向量场的方向不同。因此,我们看出,对于任何一个这样的奇点,它不是稳定点就是不稳定点。比如,当在某个奇点点,时,我们有向量场在两侧都是指向远离的方向。因此,我们说 在点是不稳定的。这样的向量场经过微小的扰动之后,显然拥有相同的奇点数量以及稳定性质,所以一定与原场X拓扑等价。
另一个方向,如果存在一个退化的奇点,我们有,f在该点至少有两阶零点。因此取和足够接近,构造,使其在的任意一个邻域当中。对应于的新的向量场在和两处各有一个非退化的奇点。这样,奇点总数的增加造成轨道等价被破坏。因此,有退化奇点的向量场一定不是结构稳定的。方面,设所有的奇点都是非退化的,由于这样的奇点都是孤立的,所以它们一共至多有限。在这些奇点处,视的正负,分别是稳定和不稳定的。
观察上面定理证明的第二部分,我们还可以继续得到,
定理2:在整个闭圆上的全体向量场组成的集合,配备以拓扑。则全体结构稳定的向量场在这个集合中形成开的稠密集。
我们先证明一个一维情况下的sard定理。
sard定理:(一维)在[0,1]区间的一个光滑函数,所有的点组成的集合的像集合是零测集。
证明: 将[0,1]区间平均分成等分。标记上所有包含有的点的那些部分。由于f光滑,我们可以设定在整个[0,1]区间中不超过.于是,在上面选定的那些部分上,不会超过.这样,的像不会超出长为.于是,我们显然可以在[0,1]区间选取测度不大于的开集包含所有的点。由于N时一开始任意选取的大整数,我们的结论成立。
定理2的证明:我们的系统由向量场表示,如果表示所有的方向是模都是1的向量场,则我们可以用来表示向量场.上述系统受到了一点点扰动后的新系统的向量场可以用表示。sard定理保证了,我们可以选取任意小的使得不会有使并且.这样,在新系统中,零点是非退化的。用这个方法对所有的奇点进行分析,我们可以选取恰当的足够小的,使得新系统在所有的奇点处都是非退化的,于是定理2的结论得到了证明。
关于结构稳定性,概念比较多,需要仔细区分。比如,与拓扑等价很类似的还有下面这个定义。
拓扑共轭:两个向量场和拓扑共轭是指,存在一个拓扑等价(由拓扑等价的定义,这是一个同胚),使得,对所有的以及成立.
如果和是两个同胚(或者要求更高,微分同胚).它们被称作拓扑共轭,如果存在空间到空间的同胚,使得。
结构稳定性(注意,这是另一组对象的结构稳定性):是指所有到其自身的微分同胚组成的集合,配备以拓扑。被称为结构稳定的,如果存在在中的某个邻域,使得对任意的,都有和是拓扑共轭的。
为了区分和理解众多概念,有很多的例子可供阅读。一个比较有趣的例子是存在两个系统,他们互相拓扑等价,可是一个是结构稳定的,另一个却不是。这个现象的本质其实就是上述定理中提到的有退化奇点的状况发生。
这个例子涉及到下面两个系统,都是在中单位球面上的向量场.它们都来自[2].为了描述这两个系统,我们先标注和为球面的北极点和南极点。
系统1.向量场定义在上:.这个系统是结构稳定的。注意,通过计算,我们可以知道在两极点处作为一个极点处的切空间到自身的线性变换是满秩的。
系统2.系统2是一个很造作的系统,它的构造的人为色彩比较重。
首先定义一个过渡的,在上的向量场。先定义函数是一个的函数。它还同时满足几个条件:当时,;时,;.注意,这样的函数一般都由基本函数变化而来。因为在零点既满足任意次导数为零,同时它又不是解析函数。
向量场定义为
.
令为球极平面投影。我们定义上的向量场,当的时候,;.我们看到,与是拓扑等价的,单位映射就可以作为相应的同胚.
我们最后需要证明的是,是不满足结构稳定性的。为此,我们将要构造一个与在拓扑下足够接近的向量场.在中,因为拥有闭轨而不与拓扑等价。
类似的,我们先来定义上的向量场,
,
其中的两个实值函数和的定义如下:
表示以原点为圆心,半径为的圆周。它显然是$latex\tilde{Y}$的一个闭轨。因为在这个圆周上,一直与它相切。在半径为1的圆周意外,则有.利用同样的球极平面投影,我们定义出的向量场.于是,我们通过控制的大小可以让与在拓扑的意义下足够接近。但是,他们显然不是拓扑等价的。
[1] V.I.Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations.
[2] J.Palis and W. de Melo, Geometric Theory of Dynamical Systems