bundle01 经典力学的纤维丛结构 流形M与它所有的切空间TM 结合 组成一新流形TM，称为切丛

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I

L

第7卷第2期

1990年1 2日

江汉大学学报

J0u rnal of~Iianghan Unlve r sny Vo1．7 No．2

Dec．1990

经典力学的纤维丛结构

张祖垒

摘 要

本文比较形象地阐述了纤维丛 切丛 余切丛 辛流形获辛变换等概念．进而，利

用纤维丛对经典力学进行了研究．推出了哈密顿正螂方程．拉格朗日方程 泊凇括号及

正则变换的实质．从而揭露出经典力学中这些主要内窖内在的自然联系和几何结构．

现代数学为理论物理提供了新的工具，l从而又推进了理论物理的莩展．当然对经典力学

也不例外，用现代数学来处理力学，使之更为完美 统一：更为简洁 深刻。本文仅就用纤

维丛理论对经典力学加以研究．使它几何化，形象化。

一

、

 

流形与纤维丛

l 流形

流形M是一个豪斯遭夫空间。它局部地与欧几里德空间R 相仿。即存在局部座标系

(U，x)。这里UcM是定义域，x是U到x(U)cR 的(同胚)映射．它满足：

(1)UV=M

(2 )对于x：U x(U)

y：V y(V)的两个局部座标系， 且Un V年 则

z。y～：y(UnV)÷x(UnV)

y ～：x(UnV)÷y(UnV)都是C 函数。

R，I ～’ ．

图l

局部座标系(U，x)也称为图。

图的垒体构成一个图集。此时称M为一个n

维(C )流形。可见，流形有三个要素；

(拓扑)空间 局部座标 座标变换．

2 纤维丛

流形M与它所有的切空间TM 结合一

起，组成一新流形TM，称为切丛。切丛是纤

维丛的一种。它的纤维是M的切平面。切丛

也有三个要素；底流形 纤维 投影( 。

我们把TM，的对偶空间，记为T‘M。． 宦与

张祖奎 经典力学的纤维丛结构 29

底流形M组成另一新流形，称为余切丛．记为T’M．一般的纤维丛由一流J荒形和依附在底空

间的每一点上的一棍纤维所组成。如果底空间是n维的，而每根纤维是m维的，则此纤维丛就

是(ra+n)维的 一根纤维上的点是彼此相关的．而不同纤维上的点是无关的。从Q=Q(q)，

． ^ ．

 

二 ．

有dQ=— ·dq= — ·dq。因此M上座标的微分是协变的。同理，T’M上的座标为

．

 

dq

(P，q)，因此，dp，dq构成T’M上协变向量场的基。另外，从Q=Q(q)，有

●

●

．

彘={苛寺 ={ 音．因此．M上的座标的偏微分算子是逆变的-{ ，{ 构

成T。M上逆变向量场的基．

3，数学术语与物理术语的对应关系

流形M 切丛TM 余切丛T’M

位形空同 状态空间 相空间

如图2

叉速度(逆变向

图2

动量(协变向量)

西、， ⋯石

位形空间M流形

图3 ．

状态空间协丛TM

(空问点的‘里标在这点的速度)

哈密顿力学与拉格朗日力学

1、相空间与辛结构

n个自由度的体系的状态可由广义坐标q=(q q=-|·q )及广义动量p=(Pl pt⋯一)

来描述．其 ．：

OL(L是拉藉朗日函数) 它们的全体所构成的相空I问{(qlp)}

是位形空间M={q)上构余切丛T’M，利用T’M上的坐本示(q．P)，我们定义下列=次形式

30 江汉大学学报(综合版) 1990年第6期

(以下采用求和规约)。 dP Adq ，。。称为T‘M上的一个宰形式。于是T‘M就有一个

自然的辛结构，而(T‘M，∞。)就成为一个辛流形，称为辛余切丛．

2、拉氏函数和哈密顿函数

位形空间M={q}，动力学随时闯的演化：M中一条曲线{q(t)}来描述。而L=L(q，q)，

aL

因此，拉氏函数是切丛TM上的函数· ，=义动量p ，哈密顿函数H= H (p ’q)

=p·q 一 由此可知，坐标为{q pi}的相空间只不过就余切丛T’M。因此，哈密顿函

数就是该丛上的一个函数。

3、哈密顿正则方程

映射 T M÷R，称为可观察量。f可以确定T‘M上的向量场X ，使得i， ∞=-dr．作

为特例，哈密顿函数和哈密顿向量场Xn满足i z ∞=-dH，称(T’M ∞ ．X )为哈替额系。

从。。=dpjAdq 和H=H (p q)，

由i zn=一dH (1)

dH=等 ‘+等 (2’

i：no= i Hdp A dq‘-dp Ai Hdq

审i zH。=XH(Pi)dq‘一xH(q‘)dpj (3)

比较(1) (2) (3) 式贝吐有x (P )=一等，x (q )=等。。又 为在

T．M上的向量场有XH一等击+昔寺，在T．M上，求曲线I--> c)．

q(t))，使它的切向量 L 鲁『+{ 亭一与xn在曲线上各点所规定的向量一

致，则得到正则方程

‘

 

．。 ； 一 -H

aq 。

Iq’： H- ‘ ．

、

 

dp ．

4、拉格朗日方程

拉格朗日方程可在切丛TM框架中导出

动量l—彤式。‘= t(T为动能)；势能l一形式 q。=-Udq (U为

a ql

势能)。作对偶运算(·运算) ·

。。： *fO u d - dq

aq

0 = ·8 = 一Udt．／／dq

=

 

{ (粤) d ：Adq aqz

(4)

(5)

(6)

张租全 经典办学的歼堆丛雉椅 3I

d0 =---~~Ud qJAdtA dq (7)

d∞：=d O。 (8)

将(4⋯)代入(8)式得(去‘ bT+ ))dt,4d J'q _0，

即鲁( )+等_oJ令 · |f) ‘ ，

．．．

 

斋c寺卜鲁 拉格朗时

切丛与余切丛之间的关系由勒让德变换L给出． 粒子的逅莉分别在TM和T。lM中给出曲

线． 当这两根曲线投影到M中时应是重台的。它给曲粒子在M中运动的轨迹。如图4所示·

臣4

L H

R — — TM — — T’M— — ÷ R

。

 

＼ ／

＼ ／ ‘

三 泊淞括号

在T·M上考虑两个可观察量f和g，使用T‘M上街座标<q p )，它们分别定义了向量

坊x。和 ，于是定义。{f，g}-L f=x．(f)=(一{ ·音+鼍 搴一)f

= 一

 

芸鲁+昔 ，因此J{f， 为商数f和 盼泊淞撼号·它与坐标蘸l选择

无关．如果构成H与f的 凇括号，贼l{H，f}一争蕞二{} 一鲁·如果

f在运动中守恒，刚{H，f}=0．

四、辛交换与正剜交换

l 辛变换

在辛铸【形(T M ∞ )上考虑坐桥变抉，即(q，P)={x 卜 (Q P， (x。’·当

一

每靠豫

32 江汉大学学报(综台版) I99o年第6期

然应该保持辛形式0 不变。即为

dpjAdq =dp；AdQ

满足条件(9)的变换称为辛变换。

由。 =dp．Ado．‘i— 1 JF?dx Adx =dPiAdQ =÷ J dx x

‘

，

其中 =

引入变换的雅可比矩阵A= (0X ／ax )， (10)式可为J=A

辛变换把一组正则坐标变成另一组正则坐标，反之亦然。

2．不显含时间的正则变换 一

(9)

(10)

J A。可以证明

如果力学系统的哈密顿函数不显含时间即H(q·p)，变换(q．p)÷ (Q、P)及

H(q P)->K(Q．P)，称为一个正则变换，其 KT(Q，P)=K(q(Q、、P)．P(Q

P)． (q，P)÷ (Q，P)是一个辛变换． 、 ’

从K(Q，P)=H (q，p) 我们可得dK=dH

即新的卡密顿函数K确定的一次形式与哈密顿函数H确定的一次形式是相同的 於是，从卡

密顿函数K给出的卡密顿向量场V 应满足。(V )

 

．

=

 

dK。可知，V =V 即正则变换不

改变哈密顿向量场。

另外，正则变换是辛变换．∞ d pIAdq =dP。AdQ，，．．V ={ aQ 一 p。‘

这是卡密顿向量场V 在(Q’，P-)坐标系中的表达式．这一向量场的积分曲线应满足

舀’(t)='宝 ，．P (t)=一 ，可见，正则变换并不改变哈密顿正则方程的形

式． ．

3、显含时间的正则变换

如果自由度为n的体系的哈密顿函数显宙时间， H—H(q，P．t)。扩充的相空间为

T‘M×R={q，P，t}，H就是它上面的一个函数。

考虑二次形式厂 ，厂n dptAdcl 一d~Adt=∞ -dHAdt．扩充的相空间T,MxR与

厂n一起构成一个切触流形，记为(T‘MxR，rn)．在切触流形(T‘MxR，厂 )上的变

换(P，q，，t)÷ (Q(q，P，t)．。P(q，P，t) T(q，P，t))以及(T‘MXR， 厂H)

上的函数的变换H (q，P，t)-->K (Q，P，T)。

变换要满足二个条件； -

条件l：t=T，在经典力学中时间的绝对性所要求的。 ．． ⋯

 

条件2：保持切触流形的结构不变． 即厂 =厂 、

厂H=dplAdq -dHAdt=厂E=dp AdQ 一dKAdT ’ ‘ ‘ (11)

又．．-厂n(Vn，u)=，1n( ，y ) = 0 ，

厂＆(U，V＆)一0 一。 r I 2)

由此可得：V =V 变换后的卡密顿向量场V 与变换前的哈密顿向量场V 是一致的。从

．

． ， ．

 

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