自旋01 高維度的物體具有方向性:电子自旋没有经典对应。原因是，一旦有一个“几何”对象，局部坐标就是互相交换的量，所以不可能产生

来源: marketreflections 于 2011-11-30 16:14:41 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (82595 bytes)

回答: 电子自旋没有经典对应。原因是，一旦有一个“几何”对象，局部坐标就是互相交换的量，所以不可能产生完全反交换的经典变量（Fermi 由 marketreflections 于 2011-05-10 15:37:28

，一個物理系統的動力學可由其對應的拉氏量

(Lagrangian)來決定，所有在系統中物理場的場方程均可經由對其拉氏量的變分(variation)而獲得，而理論所必須滿足的對稱性對它的拉氏量的形式有決定性的影響

物理學家一直努力想要理解自然的四個基本力：強作用力(strong force)，弱作用力(weak force)，電磁力(electromagnetism)和重力(gravitation)。到目前為止，物理學家基本上已經能夠將前三種作用力由一個更為基本的理論，稱之為大統一場論(GUT, grand unified theory)來統一描述，而強，弱和電磁力只不過是大統一場論中的基本作用力之不同方面地呈現。然而這並不能滿足人類對自然真理的追求，包括愛因斯坦在內的許多物理學家，都夢想希望能夠將整個自然界的所有現象原則上完全由一個終極理論，稱之為TOE (theory of everything)，來解釋，然而到目前為止重力卻一直無法與其他的三種作用力完全自洽給統一起來。

在大尺度情況下，愛因斯坦的廣義相對論

(general relativity)成功地把重力與時空幾何的曲率(curvature)聯結在一起，成為用來描述重力的最佳古典理論。在量子的條件下，重力場必需是由一個基本粒子所描述，而這個基本粒子就稱為重力子(graviton)，不同於其它作用力的粒子帶有的自旋(內稟角動量)是1，重力子的自旋是為2。

從另一方面來說，超對稱

(supersymmerty)觀念的出現是物理進展中的一個非常重要的突破，已成為在近代物理的發展中不可或缺的一環。超對稱把我們自然界中的兩類基本構成粒子 ─ 費米子(fermion)(帶有半整數自旋的粒子)和玻色子(boson)(帶有整數自旋的粒子) ─ 搭配成對。例如說對於自旋為1的光子(photon)就會有相對應自旋為1/2的超對稱夥伴，稱為photino。

超引力

(supergravity)的架構就是建立在廣義相對論的基礎上再加上超對稱的要求，希望能夠成為一個沒有紫外發散(ultraviolet divergence)的量子場論，進而能夠把重力自洽地包括進來。然而隨著歷史的發展以及對超引力地更深入的了解，我們對於超引力的想法和觀點已經有了很大的改變，從一個被期待可能的終極理論到目前主要把它視為另一個更基本理論的低能量(low energy)近似的有效場論(effective field theory)，而超弦(superstring)或M-理論(M-theory)則是現在有機會成為最基本理

超引力與膜簡介

文

/陳江梅

摘要

本文主要目的是介紹超引力以及在超引力或超弦中的一些基本的解，其中包含p-膜、通膜和S-膜。我們著重於討論這些組態如何由我們所熟知四維理論中的結果類比推導而出，並探討這些組態的時空幾何對稱性。

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物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 796

論的可能候選者。

從純理論分析的角度出發，一個物理系統的動力學可由其對應的拉氏量

(Lagrangian)來決定，所有在系統中物理場的場方程均可經由對其拉氏量的變分(variation)而獲得，而理論所必須滿足的對稱性對它的拉氏量的形式有決定性的影響。超引力的理論基礎便是由此出發，它的拉氏量包含重力場並且在超對稱的變換下『局域』(local)地保持不變，其中重力子也會有其超對稱夥伴，一個自旋為3/2的費米子，稱為gravitino。超引力有比廣義相對論更多的規範對稱性(gauge symmetry)，並且它也不只侷限於適用在四維的時空。

對於超引力

(或甚至是超弦理論，M-理論)，相較於一些我們所熟知的物理圖象，例如一個帶電粒子，我們很自然想知道這理論中基本組態的特性。在此我們將分別討論三種不同的組態：包括p-膜(p-brane)、通膜(flux-brane)和S-膜(S-brane)。在此前提下我們只需要考慮超引力理論的Bosonic sector，其中物理場包含有度規、dilaton場和q-形式(q-form)的規範場g μνφ11...1...!qqAAdxdxq μμμμ=∧(電磁場和楊-米爾斯場為1-形式)，其作用量(action)為 ∧

212

12(1)!aDReSdxgq μμφφ−∂∂−−∫FdA= 其中而a是偶合常數。我們所將要討論的組態便是由此作用量所給定場方程的解。 F φ

在超弦理論中的基本物體帶有電荷，相當於電磁學中的帶電粒子如電子，不同的是此時物體所帶的電荷的規範場是高階的

(higher rank)所以帶電的基本物體的幾何結構會有很大的不同。我們首先複習四維愛因斯坦-馬克士威理論中的熟知的結果，由於帶電粒子的存在使得四維的時空的幾何不再是完全平坦，此時電荷分布在空間的一個點上(因為規範場是1-形式)，或者說是時空中的一條線，即，我們稱之為世界體(world volume)，而它的橫向空間(transverse space)則形成以此點為中心並且具有球對稱的空間，即，因此整個四維時空被分解為。如圖一。 tR 2rRS×2S×1,3trRMR×=

然而在超引力中，因為規範場是高階的，所一個基本帶電物體，稱之為

p-模 [1]，的世界體不再只是空間上的一個點，而是一個高維度的體積 (p-膜中的p正是用來表示其世界體上空間維度的大小，因此四維中的點粒子即可視為是一個0-膜)，而其橫向空間基本上是高於三維並且具有高維的球對稱，因此時空幾何為，因為高維度的物體具有方向性(orientation)，改變一個p-膜的取向還是一個p-膜但與原來的p-膜互為反物質，就如同電子和正電子，所以取向相反的p-膜稱為反p-膜(anti p-brane)。 11,1,pdprdMRRS −−=××

一個

p-膜原則上帶有質量M和電荷Q兩個參數，當Q=M的時候(稱之為BPS極限，相對於帶電黑洞的extreme極限)，這時候的p-膜是超對稱的，它是一個穩定的組態，這種特殊的解稱為D-膜(D-brane)，如果將兩個D-膜重疊在一起，它們之間的重力場與規範場的作用力完全互相抵消，因此我們可以將任意多個D-膜重疊在一起並且還是穩定的，因此它們在研究弦論和M-理論扮演很重要的角色。

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物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 797

圖一：世界體之的橫向空間形成以此點為中心並且具有球對稱的空間，即，因此整個四維時空被分解為。

2rRS×2S×1,3trRMR×=

因為超引力

(或超弦)中的基本物體帶有電荷，所以就會有通量(flux)，因此通量是無所不在的，而帶有通量的組態也就非常重要。同樣地我們先討論四維中的情況，考慮具有電子和正電子的系統，其中電力線必須由正電子到電子，在重力的作用下這些電力線會形成管狀，稱為flux tube。如果我們將電子和正電子移到無窮遠處，我們會得到一個到處充滿電力線的時空，如圖二，這些力線將以z-軸為中心強度越向外越小，這個柱對稱由電力線構成的解稱之為Melvin時空。如果我們把在無窮遠處的正電子與電子換成是超引力裡的p-膜和反p-膜，我們就得到一個相對應於flux tube的解，它就是一個通膜(flux brane) [2,3]。

圖二：通膜。

S-

膜的概念與前面兩種解有所不同，它的動機可以藉由一個四維的純量場來說明，如果在一個四維時空中的純量場Φ具有雙井(double well)勢，即 2，對於這樣的一個系統我們早已知道有一個拓樸缺陷(topological defect)解，其中的解在x軸負無窮遠處為向右延伸到正無窮遠為，從時空的角度上來看，如同有一個二維的『牆』在yz平面上，所以這種解也稱之為疇壁(domain wall)，如圖三。當然拓撲樸缺陷的幾何結構決定於所考慮場的勢的形狀，例如一個複純量場帶有Mexican-hat的勢則會有線狀的vortex解。 20()()VΦΦ−Φ0Φ2Φ0−Φ

S-

膜的想法是上面所提到的觀念的一種變化，以純量場為例，假設我們的純量場不再是靜態，而是有一個帶有初始條件為Φ和的動態解，這時純量場就會從它的勢的頂端向右滾落下來，從時空的角度上看，這是一個在xyz上均勻但是為一個隨時間演化的解。回到超引力理論，我們考慮一個組態，它的世界體是一個高維的『純空間』，與 p-膜不同的是這(,,,0)0xyz (,,,0)txyzv∂Φ