漫谈几何量子化(七,八,九)漫谈几何量子化(七)流形
经典相空间一般都是辛空间,从历史角度来说就是可以写下 Hamilton 运动方程的空间。数学上把量子化总结为从一个辛空间出发构造 Hilbert 空间及其上一系列满足 Heisenberg 交换关系的算子的问题。谐振子的例子里,这个辛空间本质上只是一个向量空间,物理学家往往称这种空间为“拓扑平凡的”。数学上非常感兴趣的是,给一个“拓扑非平凡”的辛空间,量子化到底是什么意思。 一类拓扑非平凡的空间都落在一个比较好的范畴中,它们在数学上就叫“流形”。一个 n 维“流形”是一个拓扑空间,它的每个局部在拓扑上都等价于 的开集,就是说,局部上每个点对应到 的一个点,有一组坐标,这就是局部坐标系。两个局部重叠的地方,就有两个局部坐标系,它们相差一个坐标变换。由以上定义,这些坐标变换自然是拓扑等价(即双方连续的一一对应)。如果其中某些坐标变换还是无穷次可微的,而且它们涉及到的局部可以合起来覆盖整个流形,那么这个流形就是“光滑”的。把所有互为光滑变换的局部坐标系都收集起来,它们叫做这个光滑流形的“容许坐标系”。 在光滑流形上,可以谈论“光滑”函数。一个函数如果在一个容许坐标系下是光滑的,那么在另一个重叠的容许坐标系下也光滑,因为坐标变换是光滑的。通常这么叙述这种好处:光滑性不依赖于局部坐标选取。在流形上,与局部坐标选取无关的“概念”,“性质”,和与局部坐标变换相容的“ 量”,才是有几何意义的。这一点,微分几何的创始人 Gauss, Riemann 应该都心里有数。Einstein 在他的物理学里也强调了这一点。 在流形上没有线性结构,不能把两个点加在一起,也不能连接两个点成为一个“向量”。不过在每一点的局部,就好像在欧氏空间一样,可以在这一点对函数“求方向导数”,这种运算是局部函数空间上的线性算子。以它们为模型的整体对象叫做在该点的“切向量”。在局部上还有一个有趣的东西就是函数在一点的“微分”, 以它为模型的整体对象叫做一个“余切向量”(或者仍然叫做微分)。然后顾名思义,一个“光滑切向量场”就是在每一点有一个切向量,以光滑方式依赖于基点。对偶的概念是“微分 1-形式”,即,光滑余切向量场。在局部坐标系下,切向量场和微分 1-形式通常写成 这里用了 Einstein 求和约定。系数都是局部坐标系里的光滑函数(但不是整体的光滑函数,将随坐标变换而变)。 在每一点上,由方向导数和微分组成的多重线性对象,以整体方式定义以后,叫“张量”。张量场跟前面类似。搞数学的喜欢用整体记号,就像上面那个式子一样,把分量和基写在一起,变换局部坐标的时候,基底和分量同时变,而它们的组合不变,从而左边的字母代表一个不依赖于局部坐标系的量;搞物理的喜欢只写出分量而省略基底,这样的记号明显依赖于局部坐标系。 [ 本帖最后由 季候风 于 2008-2-5 12:16 编辑 ] |
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季候风
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2# 大 中 小 发表于 2008-2-5 13:20 只看该作者
漫谈几何量子化(八)力学如果一个系统包含 N 个粒子,它们在空间的位置受到 s 个独立方程的限制。满足这些方程的位置组成 3N 维欧氏空间的一个子集 M, 称为“位形空间”。
这些方程独立的意思是,Jacobi 矩阵 的秩处处是 s. 根据隐函数定理,在 M 的每一点,存在一个邻域 ,在这个邻域里,可以找到 3N-s 个独立坐标函数,其它 s 个坐标函数由这 3N-s 个独立坐标的函数决定。这相当于说,M 的每个局部都拓扑等价于 的开子集,即,M 是一个 3N-s 维的流形。如果 F 还是光滑的,那么 M 是一个光滑流形。局部坐标系里的坐标就是 Lagrange 分析力学的“正则坐标”。 Lagrange 的方法是定义一个函数 L, 变量为正则坐标和该坐标点的“虚速度”(在考虑粒子运动轨迹之前,无法谈论速度。这里的虚速度是位形空间 M 的切向量,也就是粒子在这一位置的可能速度)。用流形的语言,指定一个切向量的同时,也就指定了它的基点,而所有切向量的集合称为“切丛”。所以 Lagrange 量 L 实际上是切丛上的函数。 Legendre 变换利用 Lagrange 量把虚速度变为动量。用流形的语言,就是把切向量映到余切向量,把切丛 映到余切丛 . 在余切丛上,局部坐标是正则坐标和正则动量,它们满足 Hamilton 运动方程。它们的函数也满足相应的运动方程,而所有运动方程都能写成统一的形式, 这里的 Poisson 括号局部定义为 Poisson 括号是双线性,反对称的,满足 Jacobi 恒等式和 Leibniz 法则,这里就不详述了。要用到的时候其意自明。需要单独列出的是, Hamilton 力学的特征被数学家总结为辛几何。位形空间的余切丛 (物理学家称为相空间)是所谓“辛流形”的范例。 [ 本帖最后由 季候风 于 2008-2-5 13:24 编辑 ] |
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季候风
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3# 大 中 小 发表于 2008-2-5 14:48 只看该作者
漫谈几何量子化(九)几何观察 Poisson 括号的形式,发现它隐含正则坐标和正则动量的反对称。这种反对称性被抽象为流形上的一个“二阶外微分形式”
它具有以下性质:它是闭形式,; 非退化;它是恰当形式,. 如果想推广到一般流形,第三条性质似乎不是那么必要。仅凭前两条,已经基本可以模拟所有 Hamilton 力学的特征。带有这么一个闭的,非退化 2-形式的流形就叫做“辛流形”,这个形式就叫做“辛形式”。 现在用流形上整体的语言定义 Poisson 括号。首先,注意到辛形式是非退化的,所以我们可以利用它来实现“指标升降”,用数学的话来说,实现切空间和余切空间的同构。它可以把一个微分转化成一个切向量场。流形上的每个光滑函数给出一个微分 , 用辛形式对偶一下,就得到由 f 给出的切向量场 ,满足如下等式, 要看到它跟 Poisson 括号的关系,需要 Darboux 定理:辛流形里每一点附近都存在一个局部坐标系,使得辛形式在该坐标系下具有之前写下的标准形式。这个定理给出一个好的局部坐标系,在这个坐标系下计算, 非常明显,Poisson 括号应该定义为 . 从这个定义立即看到双线性,反对称和 Leibniz 法则。要证明 Jocobi 恒等式,需要注意到 . 即,光滑函数通过辛形式给出的切向量场保持辛形式。一个重要推论是, 这个式子是如此接近 Dirac 量子条件。可以预料到它将直接与量子化相关。 Hamilton 力学如果用几何的语言来描述,就是说,辛流形上有一个特殊的光滑函数,叫做 Hamilton 函数,它通过辛形式产生的切向量场就是 Hamilton 正则方程。这组方程的解,几何上就是相应的切向量场生成的流形的单参数光滑同胚群,它描述系统的“相”随时间的演化。 [ 本帖最后由 季候风 于 2008-2-5 14:50 编辑 ] |
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星空浩淼
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4# 大 中 小 发表于 2008-2-5 18:27 只看该作者
这(七-九)我反而大部分能看懂,剩下某些看不明白的,是前面(1-6)积压下来的 。
在流形上,与局部坐标选取无关的“概念”,“性质”,和与局部坐标变换相容的“ 量”,才是有几何意义的。 ----------------------- 这句话如果这样说可能更好理解(假如可以这样说的话):只有保持拓扑变换不变的量(即微分同胚变换不变的量),才是有几何意义的。 观察 Poisson 括号的形式,发现它隐含正则坐标和正则动量的反对称,这种反对称性被抽象为流形上的一个“二阶外微分形式”。 ----------------------------- 对于Fermi场,还要考虑到另一种括号,它对应正则坐标和正则动量的对称性对易子(反对易子),此时对称性不知会被抽象为流形上的一个什么东西?这将在季兄的这个系列后面会谈到吧。 注意到辛形式是非退化的,所以我们可以利用它来实现“指标升降”,用数学的话来说,实现切空间和余切空间的同构。 ------------------------ 我不知道这样说是否准确:在这里,辛形式在扮演类似度规张量那样的功能。我们知道利用度规张量可以实现“指标升降”,实现张量的协变分量与逆变分量之间的互换。但另一方面,度规张量对应基向量的并矢式(张量积),是对称的;而辛形式对应基向量的外积,是反对称的。 在(九)中的倒数第二个数学式子,第一个等号后面三个表达式我原来看不明白,现在我想它应该是向量场与微分形式之间的内积表达式吧,只是该内积是定义在辛流形上面的。 当我能大致看明白的时候,就感觉季兄的确写得很精彩! |
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季候风
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5# 大 中 小 发表于 2008-2-6 00:48 只看该作者
引用:原帖由 星空浩淼 于 2008-2-5 18:27 发表 引用:观察 Poisson 括号的形式,发现它隐含正则坐标和正则动量的反对称,这种反对称性被抽象为流形上的一个“二阶外微分形式”。 引用:注意到辛形式是非退化的,所以我们可以利用它来实现“指标升降”,用数学的话来说,实现切空间和余切空间的同构。 引用:在(九)中的倒数第二个数学式子,第一个等号后面三个表达式我原来看不明白,现在我想它应该是向量场与微分形式之间的内积表达式吧,只是该内积是定义在辛流形上面的。 |
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星空浩淼
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6# 大 中 小 发表于 2008-2-6 01:43 只看该作者
谢谢季兄的回答!
关于上面最后一个问题,即是否可以理解为向量场与微分形式之间的内积的问题,我记得有的教材上的确这样称呼,原因是这里可以看作是协变分量与逆变分量之间的缩并运算。我不会用Latex写公式,只好用d既表示偏微分符号,又表示微分符号,为方便,就考虑三维空间流形中的切空间和余切空间,切空间中的基向量分量表示为d/dx^j,余切空间中的基向量分量表示为dx^i,我们有 (d/dx^j, dx^i)=dx^i/dx^j=δ_ij (即i=j时等于1,i不等于j时为零)。 正如你所说,在几何里面,喜欢把张量表达成张量分量与张量基的乘积形式,而且p阶逆变与q阶协变的混合张量,其张量基由q个dx^i(i=1,2,...q)和p个d/dx^j(j=1,2,...p)的张量积构成,两个张量之间每当存在一对指标收缩运算,就意味着利用运算(d/dx^i, dx^i)=1去掉了一对基d/dx^i和dx^i。余切空间中的基向量分量dx^i,又对应微分1-形式。 比如两个矢量X=X^jd/dx^j和Y=Y_idx^i之间的内积运算为:(X, Y)=(X^jd/dx^j, Y_idx^i)=X^iY_i,其中Y又对应1-形式。我上面把分量指标在上为逆变,在下为协变。因此分量逆变则基协变,反之亦然。写得仓促,要睡觉了。 |
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