1-形式 1-form01 不再把向量视为具有大小和方向的箭头，而视为在其方向上的对任意f的方向导数

来源: marketreflections 于 2011-11-10 20:25:36 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (26725 bytes)

回答: 电子自旋没有经典对应。原因是，一旦有一个“几何”对象，局部坐标就是互相交换的量，所以不可能产生完全反交换的经典变量（Fermi 由 marketreflections 于 2011-05-10 15:37:28

《规范场、纽结和引力》主要内容：The Series on Knots and Everything: is a book series polarized around the theory of knots. Volume 1 in the series is Louis H Kanffman's Knots and Physics.
One purpose of this series is to continue the exploration of many of the themes indicated in Volume 1. These themes reach out beyond knot theory into physics, mathematics, logic, linguistics, philosophy, biolo... (展开全部) 《规范场、纽结和引力》主要内容：The Series on Knots and Everything: is a book series polarized around the theory of knots. Volume 1 in the series is Louis H Kanffman's Knots and Physics.
One purpose of this series is to continue the exploration of many of the themes indicated in Volume 1. These themes reach out beyond knot theory into physics, mathematics, logic, linguistics, philosophy, biology and practical experience. All of these outreaches have relations with knot theory when knot theory is regarded as a pivot or meeting place for apparently separate ideas. Knots act as such a pivotal place.We do not fully understand why this is so. The series represents stages in the exploration of this nexus.

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心皿(灵魂，以及做到……)

第五章 Rewriting Maxwell's Equations第一小节第一对方程目的：将▽.B = 0 ▽×E+ə_t B = 0推广到任意流形。首先把B作为2-形式处理：B = B_x dy∧dz + B_y dz∧dx + B_z dx∧dy E作为1-形式处理：E = E_x dx + E_y dy + E_z dz定义统一电磁场F为R^4上的2-形式：F=B+E∧dt F = 1/2 F_μυ dx^μ∧dx^υ其分量组成一个反对称的矩阵，见书中。第一对方程可以简单地写成.. (更多)

第五章 Rewriting Maxwell's Equations
第一小节第一对方程
目的：将
▽.B = 0
▽×E+ə_t B = 0
推广到任意流形。
首先把B作为2-形式处理：
B = B_x dy∧dz + B_y dz∧dx + B_z dx∧dy
E作为1-形式处理：
E = E_x dx + E_y dy + E_z dz
定义统一电磁场F为R^4上的2-形式：
F=B+E∧dt
F = 1/2 F_μυ dx^μ∧dx^υ
其分量组成一个反对称的矩阵，见书中。
第一对方程可以简单地写成：
dF = 0
通过将其拆成类空部分和类时部分，不难重新推导出第一对方程。
但这个方程的普遍性不仅仅适用于可以将流形M拆成R×R^3的情形。
注意：我们通常概念意义上的电场和磁场，则只有在可以将流形M拆成R×R^3的情形下，才有定义。
第二小节度规
第一对方程，并不涉及度规。它们是普遍协变的，也就是无论怎么伸缩扭曲时空的微分同胚，都可以用其push back得到对应的解。
度规是一种广义的距离，或者说间距。
定义向量空间V上的度规g为：
g: V×V -> R
满足：
双线性条件：
g(cv + v', w) = c g(v, w) + g(v', w)
g(v, cw + w') = c g(v, w) + g(v, w')
可交换：
g(v, w) = g (w, v)
非退化：
for_all w ∈ V [ g(v, w) == 0 ] => v = 0
有了度规，可以选取一组正交的基： {e_μ}
正交，也就是满足： g(e_μ, e_υ) = μ==υ ? 0 : ± 1
Signature(p, q)：q是正交基中，-1的数目。p+q=n
对 γ: [0,1] -> M定义弧长（类空时）或原时（类时时）：
∫ √ g(γ'(t), γ'(t)) dt
g_μυ = g(e_μ, e_υ)
g^μυ = g_μυ ^-1
度规的指标升降不在此敷述。
定义1-形式的内积：
<ω, μ> = g^αβ ω_α μ_β
再定义 p-形式的内积：
< e^1 ∧ ... ∧ e^p, f^1 ∧ ... ∧ f^p > = det[ < e^i, f^j >]
第三小节体积形式
给定V的两组基： { e_μ } { f_μ }
有映射 T : V -> V，使得： T e_μ = f_μ
如果，det T > 0，我们说，这两组基，具有相同的取向。
定义体积元为 e_1 ∧ ... ∧ e_n，它是∧^n V中的非零元素。
设另一组基 f_υ = T^μ_υ e_μ，则得到：
f_1 ∧ ... ∧ f_n
= (T^i_1 e_i) ∧ ... ∧ ( T^i_n e_i)
= sign(σ) T^σ(1)_1 ... T^σ(1)_1 e_1 ∧ ... ∧ e_n
= det T e_1 ∧ ... ∧ e_n
其中σ是一组1..n的全排列/全置换，sign(σ)则是n维的Levi-Civita符号，详见维基百科。
定义M上的体积形式ω为无处消失的n-形式，其标准形式为：
ω = dx^1 ∧ ... ∧ x^n
对于每一个点，ω_p 都是 T^*_p M 的一个体积元。
从上面可以看出，体积形式和基的取向密切相关，实际上，如果体积形式不存在，流形是不可取向的。比如在Mobius strip上，无法选定一组光滑变化的基。
若有取向的chart φ_α : U_α -> R^n 覆盖 M，
则 g_μυ = g(ə_μ, ə_υ)
而体积形式的正则形式为：
vol = √ |det g| dx^1 ∧ ... ∧ x^n
这个形式的体积形式，将不受chart选择的变化的影响，保持不变。证明见书。
第四小节 Hodge Star Operator（星算符？）
可以参考：http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html

面元到面元的映射：
* : Ω^p（M）-> Ω^n-p (M)
满足：
for_all ω, μ ∈ Ω^p（M）：
ω ∧ * μ = <ω, μ> vol
从此定义，不难推算出落实到按基的Hodge Star Operator的计算方法。详细见书中习题。
第五小节第二对方程
不难看出第二对方程和第一对方程在做了如下变换之后非常相似，只剩下右侧的区别：
E -> -B, B -> E
也不难算出， *F正好起了类似的效果。
定义
电流密度
j = j_i dx^i
在加上电荷成分，定义 current
J = j - ρdt
按同样的把戏，不难验算第二对方程可以写成：
*d*F=J
根据上一节，我们知道：在R^4上，
**=±1
当**=1时，也就是当流形是黎曼的时候，书中讨论了2-形式的self-dual和anti-self-dual。
书中还讨论了maxwell方程在真空中的解。
第六章 DeRham Theory in Electromagnetism (收起)

2011-04-30 23:21:01 1回应

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心皿(灵魂，以及做到……)

断断续续把第一部分看完了。第一部分 Electromagnetism:第一章 Maxwell's Equations通过引入复值向量场E+iB，利用Maxwell方程中的duality将其化为两个方程，再展开回Maxwell方程的常见形式。分析了Maxwell方程的Lorentz不变性，指出在本部分结束时，我们能够意识到Maxwell方程其实可以写成：dF=0 *d*F=J第二章 Manifolds本章意在以坐标无关的方式介绍流形。以开集、拓扑空间、领域等概念开场，介... (更多)

断断续续把第一部分看完了。
第一部分 Electromagnetism:
第一章 Maxwell's Equations
通过引入复值向量场E+iB，利用Maxwell方程中的duality将其化为两个方程，再展开回Maxwell方程的常见形式。
分析了Maxwell方程的Lorentz不变性，指出在本部分结束时，我们能够意识到Maxwell方程其实可以写成：
dF=0
*d*F=J
第二章 Manifolds
本章意在以坐标无关的方式介绍流形。
以开集、拓扑空间、领域等概念开场，介绍了chart这种能够把拓扑空间映射为R^n的东西，从而定义了n维流形。
从而自然也就可以把定义在n维流形上的函数f，通过f -> f . chart^-1的方式，变成了在R^n上定义的函数。
稍微讨论了一下流形的连续和光滑。
C^∞(M)表示流形M上的光滑实值函数的集合。
第三章 Vector Fields
第一小节向量场
这一小节革新了我们对向量场的传统观念。
不再把向量视为具有大小和方向的箭头，而视为在其方向上的对任意f的方向导数，即v=v^μ ə_μ 。
进一步抽象地将流形M上的向量场v定义为：
v: C^∞(M) -> C^∞(M) 并且满足线性法则以及Leibniz法则:
v (f + g) = vf + vg
v (α f) = α vf
v(fg) = v(f) g + f v(g)
并定义了向量场的和与积。
随后证明了{ə_μ}形成Vect(R^n)的一组基，也即任意v都可以唯一地表示为v^μ ə_μ的形式，。
综上，我们意识到了向量场的方向导数本质，并回归了向量的分量定义。
Vect(M)，表示M上所有向量场的集合。
v在点p，定义了切向量。点p的所有的切向量组成T_p M。
γ： R-> M，定义了曲线。
第二小节逆变和协变
我稍微滥用一下定义域这个词来解释：
如果有微分同胚（diffeomorphism）φ: M -> N，另有 f : N -> R，那么：
f φ ： M -> R。
如果我们定义 φ^* f = f φ，那么φ^*就是一种把一个定义域在N的函数f“拉回（pullback）”定义域M的操作。
这样我们也就定义具有这种性质的东东是逆变的，在这里，也就是C^∞(M)是逆变的，因为一个明明正向的φ，起到的却是一种拉回的效果。
那么再给出“推前（pushforward）”定义：
(φ_* v)f = v ( φ^* f )
其中，f: N -> R， v: C^∞(M) -> C^∞(M) 。
注意看：
右边是通过先把f从定义域N拉回到M，然后将向量场作用其上。
左边是通过先把向量场从M推前到N，然后将其作用在f上。
第三小节流和李括号
顺着v，我们可以得到积分曲线γ。想象一个点顺着γ流动，在时间t我们就得到了这么一个映射：
φ_t : M -> M
{φ_t} 也就成为了v生成的流。
李括号其实很像柏松括号，或者说算符的互易子。
[v, w] = v w - w v
李括号也就表征了“先顺v流再顺w流的流”与“先顺w流再顺v流的流”之间不可互易的程度。
第四章 Differential Forms
第一小节 1-形式
向量场是倒腾函数的，1-形式则是把向量场倒腾成另外的函数。
ω： Vect(M) -> C^∞(M)
同样需要满足线性法则：
ω（v + w）= ω v + ω w
ω (g v ) = g ω ( v )
注意，这里从向量场定义里的数乘变成了函乘。
同样，很容易定义1-形式的和与函积。
Ω^1(M)表示M上的所有1-形式的集合。
定义一种特殊的1-形式——外微分df：
df(v) = v f
接下来通过对
dsin x = cos x dx 两边的分别变形，在外微分的语境下，阐释了微分形式不变形的真谛。
{ dx^μ } 形成 1-形式在 R^n上的一组基。
于是可以定义：
ω_μ = w(ə_μ)
得到：
ω = ω_μ dx^μ
这样1-形式也被我们展开成了分量形式。
第二小节余切向量
于是我们很自然得到了余切向量：
ω_p(v_p) = ω(v)(p)。
点p的所有余切向量组成T^*_p M。
余切向量是逆变的。
第三小节坐标变换
以上的讨论都是不涉及具体坐标的。
在不同的坐标选择之间，如何变换？
ə_μ = T^υ_μ ə'_υ
很容易推得：
T^υ_μ = ə x'^υ / ə x^μ
而且这个变换关系也适用在向量场和1-形式上：
v'^υ = T^υ_μ v^μ
ω'^υ = ω^υ_μ ω^μ
第四小节 p-形式
通过定义只需满足
w ∧ v = - v ∧ w
的外代数 ∧。
这个代数构成了 ∧V。
严格的代数规则见书中，其中这个反交换规则是不包含在内的，而是作为一个自然的推论。
我们定义p-形式为“p个1-形式的∧乘”的线性组合。
一般情况下，p-形式具有如下的形式：
1/(p!) ω_1...p dx^1 ∧ ... ∧ dx^p
v∧ w和 u ∧ v ∧ w 我们得到了类似叉乘v × w和三乘 u. (v × w) 的结果，区别在于，叉乘的结果是向量，三乘的结果是标量，而这里的结果分别是2-形式和3-形式。
在这个过程中，我们发现叉乘的右手规则，其实是不必要的，唯有当我们企图把一个2-形式映射为一个1-形式的时候，才会涉及到手性。
第五小节外微分
我们定义严格的外微分：
d: Ω^p（M）-> Ω^p+1(M)
1) p 从0 -> 1的定义还是基于之前的外微分定义；
2) 满足线性规则
3) d(ω ∧μ) = dω∧μ + (-1)^p ω∧ dμ。
4) d^2 ω = 0。
于是我们看得很清楚，在R^3中
Grad 是p 从 0->1
Curl 是p 从1->2
Div是p 从2-> 3
第五第六章见下一则笔记。 (收起)

2011-04-13 21:40:52 回应