diffgeom01 对偶的观念的动机，可以从所谓linear representation的一般定义中轻松地得到。考虑一个群[

饮水思源 - 文章阅读 [讨论区: math]

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发信人: tydsh (To unknown future...forge on), 信区: math 标 题: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月20日12:26:08 星期四), 站内信件 我所认识的狭义相对论（一） ------------------ 总说 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 可夫斯基空间）里的线性代数。 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 “似乎”就高深得多了。 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 偏差，导致许多错误的结论。 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 --------------- 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 大家都知道狭义相对论有两条基本公理：1) 光速不变 2)惯性系平权 （任何怀疑这两条的就等于推翻了狭义相对论，这里不讨论了） 那这两条对应于线性代数的什么呢？答案是： 2) 惯性系平权 -> 线性空间里每一组标准正交基都是平权的（这是废话）。 1) 光速不变 -> 只有那些不改变内积的基变换才是物理上容许的。 在我们所熟知的n维欧氏空间里，满足1)的基变换就是正交变换，直观上，这种变换称作 “旋转”及“镜象”。而在闵可夫斯基空间里，内积的定义是二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2，对应的变换就是洛仑兹变换，当然我们也可以称它为“旋转”变换，大家如 果对相对论的公式有印象，就会发现因子sqrt(1 - v^2/c^2)出现的次数很多，这个东西 像什么呢？如果令theta = arcsin(v / c)，那以上因子就是cos(theta)，像不像是坐标 系的旋转呢? PS. 为什么光速不变对应于二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2？ 首先，给定一组基，任一点(x, y, z, t)只要满足x^2 + y^2 + z^2 -c^2t^2 = 0（ 称为零间隔点）,那么它在任意其它一组基上的坐标(x',y',z',t')也一定满足这个等式。 为了看清这一点，假设一束光从原点(0, 0, 0, 0)（这个坐标在任何基下都是不变的）出 发，在某组基下于t时到达(x,y,z,t)（它一定是能到的，因为光速永远是c），这个光传 播的事实在另一组基下也要成立。 这样，任何满足光速不变的基变换必须将零间隔点变换成零间隔点。也即是说 对任何四维向量x，x^T * M * x = 0，当且仅当x^T * Q^T * M * Q * x = 0，（条件*） 其中M = diag(1, 1, 1, -c)，Q是基变换。 洛伦兹变换则条件更强，它还保证x^T * M * x = x^T * Q^T * M * Q * x对任意x成立。 自然就能保证光速不变。 (我不太清楚由条件*是否能导出　M = a*Q^T*M*Q,a为实常数　的结论，如果行的话， 洛伦兹变换就和光速不变等价，最多差一个a（换度量单位）） --------------- 线性代数与相对论里的“相对”性 在相对论里很多本来不变的东西变了，像同时性，长度，质量之类，这看起来令人震惊 不已；然而换成线性代数的语言，就不足为奇，每个人都自然认为在不同的基下某点的 x或者y坐标是会变的，这就是相对性。 了解了这个，就不必像很多科普书里费无数口舌，设计繁复的光路实验以保证观察者“ 看到的”是什么。事实上狭义相对论的所有结论，只是在“坐标”上面成立，说它是坐 标上的游戏也行，和“看到”是无关的。 同时性->在某个基下坐标t = const的那些超平面，即是同时性平面，显然这会随不同基 的选择而变。 长度->首先要说明相对论里怎么算长度。闵可夫斯基空间可不是三维空间，随便选定两 个点就可以算的。一个自然的选择是这两个点必须“同时”（即t坐标是一样的），然后 按前三个坐标去算长度。 于是在基1下（即在惯性系1下）放在(0, 0, 0, t)至(1, 0, 0, t)的静止单位尺，是可 以取任意t值算得长度（这个叫作“固有长度”）； 但是到基2下，同时性不一样了，在基2上选的两个“同时”点到基1上看变得不同时，并 且基2是移动的！这样得到的长度不一样是很自然的了。 至于质量，这个已经涉及到动力学方面，狭义相对论里的“质量”个人觉得不如说是“ 惯性”更为恰当些，即被加速的难易程度，如果物体越来越难被加速，那么所谓“质量 ”就变大了。但是请注意“加速”这个动作虽然绝对，但“加速”程度本身是相对的（ 依基而变），因此惯性变大同坐标值的变化一样，只是一种效应而已。 （写得有点乱。。。大家有砖尽管扔，觉得有不详细的地方我抽空再补充）