3.7 曲面在一点邻近的结构
在3.3小节里曾用第二基本形式的行列式 对曲面上的点进行了分类.在上小节我们又看到 ,因为 ,所以 K与 同号,因此得到以下用高斯曲率对曲面上点的分类:
椭圆点; 双曲点; 抛物点.
以下用法曲率分别讨论曲面在一点邻近的形状.
一 椭圆点:
这时主曲率 同号,不妨设都大于零,根据欧拉公式曲面沿任意方向的法曲率 ,曲面沿任意方向的法曲率 与 同号。这说明曲面在这样的点沿所有方向都朝同一方向弯曲。
由于主曲率是沿主方向的两条法截线的曲率,而法截线是平面曲线,据4.4节可知它(在密切平面即法截面的投影)是抛物线,其近似方程是 。因此可知曲面在椭圆点邻近的形状近 似于抛物面。
二 双曲点:
这时主曲率 异号,适当的选择曲面的法向量后有 。因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝 的反向弯曲,另一条朝 的正向弯曲。
由欧拉公式 得各个方向的法曲率的变化情况
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0 2
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↗ 0 ↗ ↘ 0 ↘ ↗ 0 ↗ ↘ 0 ↘
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如右表:
由表可知, 法曲率在四个方向上为零。这四个方向就是双曲线的渐近方向,即杜邦指标线的渐近方向。
令 可求出渐近方向,由欧拉公式 求出两个渐近方向对应的 值: 即 ,可见两个渐近方向和每一个主方向作相等的角。且渐近方向把主方向隔离在两对对顶角内:在其中一对对顶角内, ,法截线朝着 的正向弯曲;另一对对顶角内, ,法截线朝着 的反向弯曲。
下面考虑曲面在双曲
点邻近的形状:在主方向
上的法截线,其形状近似
于抛物线 和
,前者朝 的反向弯曲 ,后者朝 的正向弯曲。因此,曲面在双曲点邻近的形状近似于双曲抛物面。
三 抛物点:K=0
这时两个主曲率 中至少有一个等于零。适当选取法向量 后有 。因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝 的反向弯曲,另一个主方向是渐近方向。由欧拉公式知 = 。所以除 外,总有 ,因而除渐近方向外,一切法截线都朝 的反向弯曲。据4.4的结果,主方向上法截线的形状分别近似于 , 。因为 ,所以 为朝 的反向弯曲的抛物线,后一个为立 方抛物线。
如果 ,则L=M=N=0,
曲面上的点为平点,这时主方向上的两条法截线的形状近似于立方抛物线 : , 。
3.8 高斯曲率的几何意义
一 曲面的球面表示(高斯映射)
设 是曲面S: 上一块不大的区域,另外再作一单位球面。现在建立 中的点和单位球面上的点之间的对应关系如下:在 上任取一点P(u,v),作曲面在P点的单位法向量 ,然后把 的始端平移到单位球面的中心,则 的另一端就在单位球面上,设该点为 ,这样对于曲面的小区域 中的每一点与球面上向径为 的点对应。因此,曲面上所给出的小区域 对应到单位球面上的区域 上。
这就是说,建立了曲面上的小区域 到单位球面上区域 的对应。我们把曲面上的点与球面上点的这种对应称为曲面的球面表示,也称为高斯映射。如上图。
二 曲面的第三基本形式
定义 曲面第三基本形式定义为 其中 叫做曲面的第三类基本量 .
由定义可知,曲面第三基本形式就是曲面的球面表示 的第一 基本形式.
三 曲面的三个基本形式之间的关系
结论:曲面的三个基本形式及其高斯曲率﹑平均曲率之间的关系为 。
证明 取曲面的曲率网为坐标网,则曲面的第一、第二基本形式可以写成 , 。
由于我们选取了曲率线网为坐标网,故 分别为主方向,设 分别为u-线方向和v-线方向的主曲率,根据罗德里格定理 , 。由此可得: , , ,所以 ,同时 , ,因而 , 从而 ,所以 。
命题7 曲面上P点邻近的区域 在单位球面上的表示是 , 的面积与区域 的面积之比,当 趋于曲面上已知点P时这个比值趋于曲面在P点的高斯曲率的绝对值。即 。
证明取曲面的曲纹坐标网为曲率网,则 , , 由本章§2的2.5有 的面积 , 的面积= , 。
等式右边的积分区域 为曲纹坐标u,v的变化区域,所以 。证毕。
由此可得到曲面在P点的高斯曲率的几何意义是:单位球面上的区域 的面积与曲面上的对应区域 的面积之比值,当区域 趋于P时的极限。
以下给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义,由于 ,其中 是曲面的法向量, 是球面的法向量。 K>0时表示这两向量方向一致,因此从 到 的旋转方向和从 到 的旋转方向相同。K<0时表示这两法向量的方向相反,从而从 到 的旋转方向和从 到 的旋转方向相反。