正交几何和辛几何是对欧几里得几何的推广,正交几何与辛几何的结构，总的来说，就是把正交几何空间和辛几何空间进行（正交直和）分解，或

正交几何和辛几何是对欧几里得几何的推广

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《高等代数学》总结（五）

2011-06-25 14:28:49

 

 

深入内容至第九章结束，剩下三章为选学内容。我只看了第十章，因为感觉其与第九章衔接很紧密，完全可以作为正式内容讲解。

第十章

正交几何和辛几何是对欧几里得几何的推广。设[;V;]是域[;F;]上的[;n;]维线性空间，[;g;]是[;V;]上的双线性型，这种发展表现在两个方面：[;(1);]域[;F;]可以是任意一个域，可以是有限域[;\mathbb{F}_q;]，或二元域[;\mathbb{F}_2;]；[;(2);]双线性型[;g;]可以是对称的、斜称的或交错的，且可以是奇异的（退化的）。若[;g;]是对称的，则[;(V,g);]称为正交（orthogonal）几何空间；若[;g;]是交错的，则[;(V,g);]称为辛（symplectic）几何空间。其中，[;g;]均称为内积，[;(V,g);]也称为广义内积空间。特别地，若[;F;]的特征[;char(F)\ne{2};]，则斜称性（[;g(\alpha,\beta)=-g(\beta,\alpha);]）等价于交错性（[;g(\alpha,\alpha)=0;]）；但若[;char(F)=2;]，则斜称性等价于对称性，弱于交错性。因此，斜称性总可归于交错或对称性，这是我们仅讨论交错和对称性的原因。

10.1节给出了若干新的概念，比如迷向（isotropic）向量、根（radical）（[;Rad(W)=W\cap{W^{\bot}};]）；特别地，根[;Rad(V)={0};]当且仅当[;(V,g);]非奇异（[;g;]非退化）。定理10.2说明，对[;(V,g);]的讨论可归结为对非奇异空间的讨论：[;V=Rad(V)\oplus^{\bot}{V'};]。10.2节讲正交几何与辛几何的结构，总的来说，就是把正交几何空间和辛几何空间进行（正交直和）分解，或者说把其上双线性型的方阵表示对角化。其中，正交几何空间的分解较复杂，因为要考虑到有限域特征为2的情况。同样地，在讨论正交空间与辛空间上的线性变换的时候，我们同样关注等距变换。当然，由于定理10.2，我们一般考虑非奇异的情况。这些讨论与前面内容（9.3节）相似，此处不再赘述。10.3节最后说，在一般情形下（域的特征非2），正交变换（非奇异正交空间的等距变换）是反射之积。在定义了反射[;\psi_\varepsilon;]之后，定理10.8给出了具体的结论。有一点需要说明，定理10.8的证明（1）有误，仔细看会很容易发现：书中分[;\alpha-\beta\ne0;]和[;\alpha+\beta\ne0;]两种情况讨论，实际应为[;\alpha-\beta;]迷向和[;\alpha+\beta;]迷向。这一点我已向张老师确认了。该定理的证明还是很有意思的。

10.4节讲[;Witt;]定理（[;Witt's \;Cancelliation\; Theorem;]和[;Witt's\; Extension\; Theorem;]），其证明非常流畅。特别是[;Witt;]延拓：当[;W;]奇异的时候，先将[;W;]嵌入到非奇异子空间[;\widehat{W};]，将[;\tau;]延拓到[;\widehat{W};]为[;\widehat{\tau};]，最后由非奇异的情况，将[;\widehat{\tau};]由非奇异的[;\widehat{W};]延拓到[;V;]。我个人非常喜欢这种整体逻辑很清晰，细节很明确的证明，也许技巧性并不那么强。

10.5节算是[;Witt;]定理的一个应用，定义了[;Witt;]指数和极大双曲子空间，并给出了极大双曲子空间的若干性质。

这个总结终于写完了。很粗糙，算是对整本书的一个回顾吧。还是那个词，聊以自慰。剩下两章内容没有看：[;Hilbert;]空间和张量积。我觉得这两章内容也非常重要，几乎哪里都会遇到，属于基础知识，鉴于下学期陈天权老师的课会有这部分内容，我就先偷懒一下~