diffgeom01 曲 面上各点切平面构成的空间；对于整个空间平直的情况，我们可以在全 空间取唯一的直角坐标，空间里的任何点

来源: marketreflections 于 2011-11-14 13:30:37 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 次 (30961 bytes)

曲 面上各点切平面构成的空间；对于整个空间平直的情况，我们可以在全 空间取唯一的直角坐标，空间里的任何点到原点的有向线段构成一个向 量，向量的坐标分量在坐标系的转动下按照一定的规律变换以保证向量 本身在空间不变。对于空间是弯曲的情况，比如曲面，不可能在全空间

 

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取到一个直角坐标；但曲面上每一点的切平面仍是一个维数与曲面相同
的平直空间，这个空间无限延展开去，当然已不再同于要研究的曲面， 但在与曲面相切点无穷小的区域内，它与曲面吻合得足够好。

3.2.5 微分几何，纤维丛和规范理论


在继续统一场论的讨论之前，我们从数学的角度来简单地看一下引 力与其它三种力在描述上存在哪些共同之处，这对于后面讨论它们的统 一是有好处的。它们的共同之处首先表现在都是用场来描述的。场是时 空坐标的连续函数(在这里我们只讨论经典的场而不是量子化之后的 场)。这些连续函数的图像在数学上用流形这个概念来表达。流形是普通 的曲面概念的推广。研究流形几何性质的数学理论就是微分几何。人们 发现，数学和物理这两个不同的学科在这个领域的诸多概念上有惊人的 共同之处。杨振宁曾写到：“我惊奇地发现规范场正是纤维丛上的联络， 而它却是由数学家在完全没有参照物理世界的情况下发展起来的。”
微分几何的出发点是微积分。微分对应于曲线的切线，而封闭曲线 所包围的面积的理论就是积分论。微积分在几何上的应用演变成曲线论 和曲面论。高斯关于内蕴几何的重要发现揭示出，如果要判断一个曲面 是否弯曲无须从更高维的空间里去整体地观察而只须在局部通过适当地 测量角度和线段长度即可得出结论。换句话说，高斯的曲率概念是一种 局域的概念。比如，人们不需要环地球一圈或是从太空拍摄的照片就可 以知道地球是圆的。这种环地球一圈或是从太空观测得到的是地球的整 体面貌，是曲面(地球表面)的整体结构，是拓扑学所研究的范畴。球面 在局部凹陷或隆起一些并不会改变它在整体上是球面的性质。从拓扑角 度看，即使是在局部形变的情况下，它仍不同于平面或轮胎面。拓扑学 与微分几何的联系是所谓的整体微分几何，主要是通过空间各处局部的 测量得到关于空间整体的拓扑性质。这方面最著名的一个例子是 Gauss- Bonnet 定理，这个定理是说，将曲面在各处的高斯曲率积分得到的量是 一个拓扑不变量，事实上，这个量是 2π的整数倍。对于一个球面来说， 无论如何凹陷或隆起，这个量都等于 4π，对于轮胎面，它等于零；而对 于图 3.9 的双孔洞的胎面，则为-4π。
辅助空间在对流形的研究中起着重要的作用。一个熟习的例子是曲 面上各点切平面构成的空间；对于整个空间平直的情况，我们可以在全 空间取唯一的直角坐标，空间里的任何点到原点的有向线段构成一个向 量，向量的坐标分量在坐标系的转动下按照一定的规律变换以保证向量 本身在空间不变。对于空间是弯曲的情况，比如曲面，不可能在全空间







取到一个直角坐标；但曲面上每一点的切平面仍是一个维数与曲面相同
的平直空间，这个空间无限延展开去，当然已不再同于要研究的曲面， 但在与曲面相切点无穷小的区域内，它与曲面吻合得足够好。对于流形， 坐标只能是局部坐标，它本身并没有意义，倒是对于那些在局部坐标的 变换下保持不变的性质(如切向量)的研究揭示了空间本身的几何与拓扑 性质。流形上每一点的切空间是一个向量空间，从流形的每一点的向量 空间里按一定的法则取一个向量，它们整体上就构成了一个向量场。除 了向量空间外，还可以有其它的辅助空间，比如切平面上过切点的半径
为 1 的单位圆，或是过切点的法线等。辅助空间与原来的空间(底空间) 一起称为纤维丛。纤维指的是这些辅助空间——切平面、单位圆、法线 或是其它的什么，而丛指的是把各点的纤维联在一块儿。直到 30 年代微 分几何还主要是研究切空间构成的纤维——称做切丛，以及由它通过张 量乘法得到的张量丛。后来才发展为讨论更一般的与曲面完全无关的纤 维。
至少在局部看来，纤维丛是由底空间与纤维空间相乘得到的(图
3.10)。比如，当底流形是一个圆环，而纤维也是一个圆环时，相乘得到 的纤维丛就是一个轮胎面。这样的乘法在全空间是一样的，称为平凡的。 通过考查乘法的实现过程可以看到存在得到非平凡丛的可能。胎面的构 造过程是将做为纤维的圆环沿底环移动一周。在最后相接的地方存在各 种可能性。其中一种就是把最后的一个纤维环与头一个纤维环不经任何 转动地点对点合在一起，这样得到的纤维丛就是所熟习的轮胎面。另一 种连接的办法是将最后的纤维环翻转 180 度然后再和头一个纤维环合起 来，就象把一个纸带翻转一次对接成莫比乌斯(Mobius)带那样。这样得 到的纤维丛是一个克莱因瓶(见图 3.11)。
关于纤维丛以及它们的不变量的分类问题在 30～40 年代由 Whitney，Stiefel 和陈省身等人大大向前推进了。他们发现了一些非常 有趣的积分表达式，这些表达式是高斯-Bonnet 公式的推广。到了 70 年 代，这些整体不变量在物理学中不断地涌现。为了说清楚其中的原因， 我们回过头来进一步看看关于弯曲的本质含义。
由于弯曲，流形上的坐标架只有局部的意义。流形上某一点的切空 间里的向量因此也只对于该空间而言具有向量行为。不同点的切空间相 互没有关系，是各自独立的。前面提到流形上的向量场，在流形的每一







点的切空间中取一个向量。不同点上的向量之间也是无关的。相对论性
要求物理的方程在坐标变换下保持协变的形式，所以物理的量通常由向 量描写，物理方程是这些向量的微分方程。在考虑引力之前，时空是平 直的，各时空点的切空间全部重合在一起，它们中的向量有相同的变换 关系。考虑引力之后，时空不再是平直的，时空各点的切空间不再重合， 而是原则上相互独立的。这样就带来一个问题，即如何定义向量场关于 时空坐标的微商。微商涉及两邻近点上向量的差，但由于两点的向量空 间各自独立，两点的向量之差不再是向量，所以简单地按通常办法得到 的微商不再具有向量的性质，这会破坏方程在坐标变换下的协变性。为 此，必须设法使不同点的向量发生联系，比如把一点的向量“平行”移 动到另一点，然后和那一点的向量进行比较。把不同点的向量联系起来 的关系称为联络，在流形上各点的联络构成流形上的函数。有了联络就 可以定义协变的微商。联络赋于了流形一定的几何结构。在流形上给出 度规函数会自然诱导联络，同时，流形的形状就更为“固定”了。于是 我们就可以讨论流形的弯曲情况。
一个观察者携带坐标架和时钟沿一个闭合的围道平行移动一周回到 出发点与留在那里的另一个观察者的坐标架和时钟进行比较，坐标架之 间的差别代表了由围道包围起来的曲面的曲率。曲率是由联络的微商构 成的。按照广义相对论，时空的曲率就是代表了引力场的场强。引力场 的这种几何解释从美学的角度看非常诱人，人们希望电磁场也存在类似 的情况。电磁场的确也可以解释为曲率，它是四维时空上一个环丛的曲 率。电子场是四维时空上的旋量(一种特别的向量)场。电子场在每一点 上做相因子变换对应为该点上的一个纤维环(模为1的复相因子就取值在 单位圆环上)。定域规范变换允许各点的相因子不同，因而纤维丛是非平 凡的(弯曲的)。规范不变性要求引入规范场—电磁场。这里，规范场就 是一种联络。而场强是由规范场的微商构成的，代表了纤维丛的曲率。 更复杂的规范理论对应为更复杂的相因子，也就是更复杂的纤维空 间。这时曲率张量或场强成为矢势的非线性函数，非阿贝尔规范场的特 点就源于这个非线性项。规范群描写了这些纤维丛的结构——它们的纤 维在首尾相联时转过多少“角度”。于是，纤维丛非常自然地构成了规
范理论的数学框架。而四种相互作用也因此具有了统一的几何基础

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