diffgeom01 显式方程不能表示封闭(圆)或多值曲线，非参数表示形式方程（无论是显式还是隐式）,1.与坐标轴相关,2.会出

http://ite.stu.edu.cn/jsjtxx/Chapter3/CG_Txt_3_001.htm

3.1 参数曲线和曲面

 

曲线曲面参数表示的基础知识

 

显示、隐式和参数表示

曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。

 

对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：

y=f(x)。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。

如果一个平面曲线方程，表示成

f(x,y)=0的形式，我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。

对于非参数表示形式方程（无论是显式还是隐式）存在下述问题：

1. 与坐标轴相关；

2. 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；

3. 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；

4. 不便于计算机编程。

 

在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用

t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：

 

P(t)=[x(t), y(t)]；

 

 

 

 

空间曲线上任一三维点

P可表示为：

P(t)=[x(t), y(t),

z(t)]；

 

 

 

 

最简单的参数曲线是直线段，端点为

P₁、P₂的直线段参数方程可表示为：

P(t)=

P₁+(P₂-P₁)t t∈[0, 1];

 

 

 

 

圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数

 

其参数形式可表示为：

 

 

在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在：

 

（1）可以满足几何不变性的要求。

 

（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：

 

 

只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：

 

 

有8个系数可用来控制此曲线的形状。

 

（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。

 

（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

 

（5）由于坐标点各分量的表示是分离的，从而便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。

 

（6）规格化的参数变量

t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。

（7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。