对角化/二次型/正交矩阵的01 消灭非平方项只留平方项，惯性系数

《讲一讲对角化/二次型/正交矩阵的故事》

1 对角化

最开始牛人们发现方程组可以用矩阵的方式很清晰的表示出来，并且某些情况下通过对矩阵的变化可以很清楚的解方程，矩阵由此诞生。之后牛人们开始抛开矩阵他妈—方程组，单独折腾矩阵。某一天突然发现原来把矩阵瘦身（对角化）之后，不但矩阵变得很漂亮，而且很多原本复杂的问题由此变得很简单（例如矩阵乘法、求高次幂等等），于是人们开始想是否所有矩阵都可对角化？怎样对角化？对角化之后有些什么惊天动地的性质？----为此在对对角化的探索过程中，人们陆续发明了“特征值 特征向量 相似。。。”这些概念，并且发现这些概念原来跟以前一些简单的概念（如秩、等价、相关性）等其实有很多相互关系----牛人们很高兴地发现可以折腾的东西很丰富，而且原来都在一个框框里面。

 

2 二次型

折腾物理化学的牛人们经常遇到各种令人头痛的二次多项式，后来有一天听说搞矩阵的哥们发明了对角化，就像能不能用对角化来对付这些恶心的二次多项式。最开始他们发现用一个可逆矩阵C来对角化二次型矩阵(X=CY, CTAC=∧, xTAx=yT∧y）可以消灭非平方项只留平方项，惯性系数还不变，效果不错，他们将其定义为“合同”。但后来越发不满意了，因为这个对角矩阵和原矩阵关系太冷淡了----只合同，把人家A的特征值都给丢了，于是开始想，能不能干脆就改用最普通的相似对角化来对角化二次型矩阵呢？----这想法马上被否定了，很简单，普通的相似对角化所用的P其实就是一伙A的特征向量在那里站军姿，这伙站军姿的虽然出生正统，但都是些很拽的胖子，他们说了“爷只管关门放特征值，不管你什么的二次型”，如果请他们去作(X=PY, PTAP)的变换就会完全搞砸，可怜我们二次型举着(X=CY, CTAC=∧, xTAx=yT∧y)牌子在那里黯然神伤。后来事情闹到有关部门，领导发话了，派出皇家锦衣卫----“正交矩阵”。选正交阵太合适不过了，就因为他们天然的优质基因----CT=C-1，他们一来新官上任三把火----CTAC= C-1AC=∧----这可是个非常美丽的等式----不仅满足了二次型想要的合同(X=CY, CTAC=∧, xTAx=yT∧y），而且∧和A还从此穿一条裤子—(相似、∧体现A特征值)。二次型表示很满意。但领导也说了，出生正统站军姿的胖子P也不能冷落他们，这样把，你们每次还是先请他们来吃个饭，然后把他们正交化+单位化一下，这样他们就会摇身一变成锦衣卫正交矩阵了。事情到此圆满结束。

----如果对这些不熟悉可能觉得有点绕，总结一下：
（1）如果只是把A对角化，根本用不着用大炮打蚊子用正交变换，你用普通相似对角化，无论是P还是最后的∧必然都是那一样的（那为什么你做题喜欢要求你正交变化对角化呢？个人认为这只是出题人训练你！希望你尽早掌握正交变化这个牛逼工具-->为大决战----二次型变换做训练）

（2）二次型变化要求不仅[合同](不仅仅是为了保持不变的惯性系数，最根本的是保证xTAx=yT∧y这一正确方程变换)而且[相似](体现特征值)---->这两个要求同时具备必然要求CT=C-1(即正交阵)，或者你可以理解为正是为了做这件事，人们创造了正交阵！

【提示】：有兴趣可结合刘永乐全书P468页例6.6，用上述思想尝试：
1）用仅仅一个可逆的C去变换二次型，看看结果咋样；
2）把这个A矩阵先相似对角化，试着用相似对角化的矩阵P去尝试一下二次型变换体会会出现什么错误情况，再与正交变换化二次型进行对比；
3）另外还可以用正交单位化后的正交矩阵去对角化A，看看跟用就用特征值组成P对角化的结果是否一样（肯定是一样的，用正交阵是大炮打蚊子）