微积分,真不好懂的
2011-02-06 03:02:15来自: Courser(均衡饮食)
微积分是基础,但就是不好懂。大一时就没学懂过。同学也大多反映是靠做题做熟的。据说老爱,老费等等前辈十多岁就学会了微积分,真佩服得五体投地。我一直纠结于微积分的基本概念,没重视算功,直到目前对很多积分法还是不熟悉。不过现在总算对于微分,积分和重要的定理有了一种神奇的熟悉感。对物理量,微分,偏导,积分等符号组成的方程达到操纵自如的地步了。我想,微积分一定得在学物理时复习。所以我很怀疑不好好学习物理,单靠高数课是否能学好微积分…
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2011-02-06 09:18:34 Blindseeker (修身养性)
从极限到导数再到微分,从达布上下和到黎曼可积的充分条件,这是很自然的演绎。但是这并不是最实质的内容,要真正理解或是严格定义微积分得从集合论和测度论开始,进而定义黎曼积分、勒贝格积分、切尔斯蒂积分,多元问题则要牵扯到流形上的外形式空间和外积。一般的高数书上没有必要进行严格定义,学物理的知道怎么用就可以了,明确几何和物理意义很重要。
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2011-02-06 20:19:04 Blindseeker (修身养性)
集合论是现代数学的根基,所谓严格的定义就是从集合论下的一组完备公理出发,建立整套的现代数学体系。集合论的指导思想就是把具有同种抽象性质的元素归类研究,这也是一个非常核心的数学思想。数学本身是一种形式逻辑语言,数学符号在特定的规则下进行变换,可以保持其运算性质不发生改变。学习高等数学很重要的一点就是对其涉及的变换规则和一些特定的变换进行掌握,并能够运用到具体问题之中,至于这些规则从何而来,其实不必深究。
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2011-02-06 20:41:11 Blindseeker (修身养性)
苏奶奶是个很敬业的老师。有一次上课的时候她手机响了,就把手机塞到包里,又把包关到讲桌底下的柜子里,然后继续讲课。。。
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2011-02-07 13:32:32 烟花不堪剪 (❀❀❀❀❀)
只说一点点。不懂外微分,就不能看几何。不懂几何,就不能看相对论。关于外微分的初步知识,可以看龚昇的《微积分五讲》或者他的视频。进一步的知识可以看任何一本advanced calculus,关于流形上的积分法的部分。要严格地学习外微分就要熟悉Grassman代数,这在任何一本现代的讲述微分学的教材里可以找到。
外微分是Eille Cartan在1922年引进的,Darboux做了一些早期工作。简单说来,它的出发点是曲面定向。这使得加在积分中的Jacobian上的绝对值被去掉,因为dx∧dy=-dy∧dx。由这个最基本的规则出发,如果我们考察Fundamental Theorem of Calculus的一些特殊情形,namely Green formula,Gauss formula and Stokes formula,我们能够总结出关于∧的一些性质和运算规则,把它们加到微分形式的集上,就导致现在我们熟悉的外代数结构。这样做显然是一个提高效率的方式,因此一般情形的Stokes定理很快就能够证明。Shiing Shen Chern说:“不讲外微分,就不可能在高维情形说清楚微分和积分是一对矛盾。”说这句话当然是对的,但是这同时表明他不知道数理逻辑的一些基本思想。数学上的严格性不是通过像外微分这种新技术实现的,这并不是一个完善微积分基础的过程。显然,这里严格性的出现是因为借助于外微分,我们能够给出流形上积分的严格定义,这样我们能够说清楚一些事情。回想高数课本和古典的分析课本,那里从来没有出现过曲面上积分的严格定义,不是么?假如你认为是严格的,那么你就要努力学习了,因为差很多。事实上,那里根本没有定义,借助于几何直观推导曲面积分公式,这在任何时候都不是数学上承认的做法,或者说严肃的数学不允许出现这种步骤。
古典微分学的所有概念和观念已经完全淘汰了,学了也白搭,所以这样的书要尽快扔掉,不要拿这种书自娱自乐。举例来说,现代数学不承认什么“一阶微分形式不变性”或者“高阶微分形式不变性的破坏”,你应该去看pull back。古典微分学之所以落后,是因为没有映射的观念,观念完全是标量的。这不足取,现代微分学改变了这一点,从而整个理论又开始活跃了。比如微分,是以映射为像的映射,不是古人所认为的增量。
这场观念的变革的一端是Eille Cartan基于外微分的一系列工作,这导致了微分被定义为微分形式非常特殊的情形;另一端是整个现代数学的发展,尤其是Functional Analysis。Functional Analysis中最重要的观念是对偶的观念。简单说来,考虑两个Banach空间E和F,L(E;F)也是Banach空间。假如你读过Jean Dieudonne的书Treatise on Analysis,那么你一定对这段话有印象:
现代数学和古典数学最大的区别,可能在于对于记号f(x),从前f作为映射,x作为自变量理解为标量。现在我们可以固定x,把x理解成作用在f上的映射···
显然,这段话深刻而形象地概括了很多现代数学分支在观念上的改变。特别地,作为微分学,f'(x)现在是一个映射,f'(x)(1)是传统意义上的导数。
这里仅仅是思想上最基本的介绍。要理解这些美妙的理论,你需要静下心来看一本现代的微分学教材,Spivak的书是不够的,你需要Dixmier或者Henri Cartan的书。另外,外微分这个工具,没有人比Shiing Shen Chern更加熟悉,要充分掌握它,也许需要Chern本人的一些论著。这个工具如果用得好,在几何上的威力是巨大的。这方面第一个例子是Eille Cartan用它毫不费力地证明了Gauss曲率是内蕴量。
Dieudonne本人的经历实际上让人感慨良多。他博士毕业以后好几年都不知道什么是一个ideal。当时的法国,只有Eille Cartan一个人懂得现代数学。如今我们可以在大一就熟悉什么是ideal,什么是外微分,但是很多人没有这样做,很多人也不让我们这样做。打着巩固知识的旗号做题,实际上是把自己关在暗无天日的井底。日复一日,做出伟大工作的可能性也就丧失殆尽。> 删除 -
2011-02-07 15:21:58 Blindseeker (修身养性)
果然是数学牛人,受教了。我想说的是:要真正学好广义相对论,就必须了解微分几何;要学习弦论,就得了解非对易几何。理论物理学得越深,对数学功底的要求也越高,Edward.witten就是一位菲尔茨奖获得者。学物理的人应该对自己的方向有一个大致的把握,然后不断培养从事那一方向的能力。
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发信人: tydsh(To unknown future...forge on), 信区: math 标 题: 我所认识的狭义相对论(二) 发信站: 饮水思源 (2008年01月04日22:19:47 星期五) 最近实在不想写字了,就画两张图吧~~ 一般四维的闵氏空间不直观,所以讨论起来都是用的二维的闵氏空间,即一维空间+一维时 间,对次的二次型是x^2 - t^2 (假设c = 1) 我们来看二维的闵氏空间下坐标变换是什么样子的 |