关于向量空间的一个问题
2011-06-25 01:15:36来自: morphism
求大神指导一下，应该怎么理解dual space 和double dual space 啊？
-
-
-
2011-06-25 13:28:07 烟花不堪剪 (❀❀❀❀❀)
谈一谈个人对于这个问题粗浅的理解。
对于有限维的线性空间[;V;]，它的对偶是[;V;]上退化性很强的一类线性变换（实际上[;Ker(L)=dim(V)-1 \textrm{for every $L\in V_{\star}$};])的集合，这些线性变换具有向量空间结构。这是要用[;V_{\star};]来研究[;V;]，但是这样做几乎毫无意义，因为所得到的[;V_{\star};]依然是n维线性空间，并且因为[;V;]是一个抽象的线性空间，没有什么内容，因此[;V_{\star};]也没有内容。因此，不少线代教材包含这个内容只能解释为做作。
然而对偶的观念在数学里极为重要，几乎是20世纪全部的数学思想，Banach的线性算子理论建立在这个基础上，Gelfand的Banach代数理论建立在这个基础上，von Neumann的算子代数理论建立在这个基础上，Elie Cartan的的外形式法也基于同样的思想，还要提到Weil关于局部紧群上调和分析的奠基工作···这些细节，我在不同的帖子和文章里都有谈及。（几何方面：http://www.douban.com/group/topic/174271 57/，Gelfand理论和抽象调和分析方面：http://www.douban.co m/note/134923677/）这里不再详述。
这样一种研究的思想，或者说对偶的观念的动机，可以从所谓linear representation的一般定义中轻松地得到。考虑一个群[;G;]和一个向量空间（不必是有限维的）[;V;]，我们作连续同态[;f:G\rightarrow GL(V);]，[;f;]称为一个表示。现在很明显，我们能够把关于G的问题投射到一般线性群[;GL(V);]中来考虑，而后者使我们非常熟悉的结构。然而做连续同态会丢失[;G;]的一部分信息，因为我们知道同态是退化的。这时需要进一步考察[;f;]，这样我们知道信息是怎样退化的，那些被退化了。这这个模糊的描述淡然不令人满意，可是通过联想到同态基本定理[;G/Ker(f);]同构于[;Im(f);]，不难理解我所说的意思。
于是我们看到，作为表示而言，最重要的是研究[;f;]而不是[;GL(V);]。并且通过研究所有可能的这样的连续同态[;f;]构成的集[;\hat{G};]，我们甚至可以专注于[;\hat{G};]本身而不去考虑[;GL(V);]。因为对于[;G;]而言，能够定义在它上面的所有到[;GL(V);]的连续同态显然已经能够体现[;G;]的全部信息。这相当于我们可以丢掉对象去研究对象的表示。同样的思想在范畴论里是核心的，这容易理解，因为在那里，代替单个对象我们研究一族对象，代替连续同态我们考虑作用在全体对象上的态射，并且希望研究这些态射的行为从而丢掉对象。这些理论在处理态射方面的思想全部是一致的，事实上这回到最基本，最朴素的思想：当你定义一个映射的微分，你应该把它定义成映射而不是古典意义下的标量。这导致Elie Cartan关于外微分的工作和整个微分学的发展。一个直接的方便是coordinate free的处理方式，它在几何上非常基本而有用，另外这个技术使我们能够在Banach流形上研究微分学。（因为Banach空间未必存在Schauder basis，所以传统意义下依赖于坐标的处理方式是行不通的。关于不存在Schauder basis的原因，可以通过结合Grothendieck早年关于BAP（bounded approximation property）和Per Enflo在1973年给出的某些非自反Banach空间不成立BAP的反例得到）
现在我们要谈论的研究方式，即对偶，只不过是representation的一种极其特殊的情形。要是这种表示有意义而不像现在LZ接触的材料这么空洞，我们必须考察具有混合结构的对象：比如拓扑向量空间和拓扑群。
我们考虑一些初等的例子：一般形式Riesz表示定理是Lorentz space之间的对偶关系，这时[;GL(V)=\mathbb{R};]，有界线性泛函充当连续同态。这个研究很实用，因为这时抽象的有界线性泛函获得了积分形式，从而Lebesgue理论可以用来处理它的很多性质。关于这些对偶关系的汇总可以参考Dunford & Schwartz的第一卷。Riesz表示定理有趣而重要，因为它导致了所谓积分表示这个领域。另外，通过它可以看到对偶一些基本而形象的性质。例如我们把所研究的拓扑向量空间缩小为[;C_{0}(X);]，我们得到它的对偶是[;M(X);]，即[;X;]上全体复Borel测度的代数，也就是说，它的对偶比原先要大了，这个工作属于Kakutani，它的证明是Radon-Nikodym定理一个很漂亮的应用。我们继续把所研究的拓扑向量空间缩小为[;C_{C}(X);]，我们得到全体正线性泛函一个依赖于正测度的表示，这，结合一点观察，不难看出它的对偶更大了，这个工作属于Halmos，它导致所谓的Radon测度理论，我们可以用它在[;R^{n};]上建立Lebesgue测度的存在性，在局部紧群[;G;]上建立Haar测度的存在性。紧群[;G;]上Haar测度存在性的另一种方法是利用Kakutani不动点定理。继续缩小我们考察的拓扑向量空间（这些拓扑向量空间一般被称为测试函数类）导致更大的对偶，重要的理论就会产生，即Laurent Schwartz的distribution theory，一个distribution定义为[;C_{0}^{\infty};]的对偶，它可以随意地作微分。利用它可以定义Sobolev空间去研究一般可积函数的微分性质，利用它可以定义PDE的弱解，利用它可以研究Hormander multiplier的卷积表示。这里又是一个观念上的推广，因为算子应该看做泛函的推广，因此关于Hormander multiplier的研究可以看成另一种形式的Riesz表示定理。值得一提的是，对于Hormander multiplier的研究也会导致两类重要的对象，tempered distribution，它定义为Schwartz class的对偶，以及上文提及的代数[;M(\mathbb{R}^_{n});]。
因此，我们看到由表示的基本观念出发建立的积分表示理论（对偶概念的推广）是怎样深刻地改变了整个分析学。
第二个例子是Gelfand theory，那里[;GL(V)=\mathbb{C};]，这是泛函分析的基础。一言以蔽之，是要用极大理想空间[;\Delta;]去研究Banach代数。我在这个帖子里（http://www.douban.com/group/topic/192999 21/）讲到利用极大理想空间怎么研究群代数的对称性，这也是Kakutani的工作，这里不再赘述了。
第三个例子是局部紧群上的调和分析，在那里你需要研究[;G;]上的特征标，于是[;GL(V);]是[;\mathbb{C};]的子群，你不难把它具体写出来。全体特征标构成了[;G;]的对偶群[;\hat{G};]，并且这个[;\hat{G};]的Gelfand拓扑也是局部紧的。这提供了在[;G;]上定义Fourier变换的基础。一个重要而有趣的结论是Pontryagin对偶，它表明一个紧群的对偶是离散群，一个离散群的对偶是紧群，这又回到我干才提及的，对象变大，对偶变小的问题。当然这是模糊的，只是一种形象的看法。
第四个例子是算子代数。我个人不了解算子代数，很想学非交换几何但是没机会。这里我就用作用于Sobolev空间之间的pseudo differential operator构成的代数敷衍一下。
所以LZ应该知道，对象有内容，表示才有意义。对偶是一种特殊而常用的表示，只不过是表示论的冰山一角。可是即便是这样简单的观念，也应该有合适的环境，线代的入门教材不该包含它，不是说难，因为没有意义。> 删除 -
-
-
-
2011-10-20 19:19:56 kid271 (如果来生还是今世的重复)
因为对于[;G;]而言，能够定义在它上面的所有到[;GL(V);]的连续同态显然已经能够体现[;G;]的全部信息。
这句是怎么回事 怎么体现[;G;]的信息？
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
