对偶空间,全部信息,函数一定是映射，但不一定是一一映射，一一映射是一对一的关系，eg:y=x^2 它是映射，但不是一一映射

这样一种研究的思想，或者说对偶的观念的动机，可以从所谓linear representation的一般定义中轻松地得到。考虑一个群[;G;]和一个向量空间（不必是有限维的）[;V;]，我们作连续同态[;f:Grightarrow GL(V);]，[;f;]称为一个表示。现在很明显，我们能够把关于G的问题投射到一般线性群[;GL(V);]中来考虑，而后者使我们非常熟悉的结构。然而做连续同态会丢失[;G;]的一部分信息，因为我们知道同态是退化的。这时需要进一步考察[;f;]，这样我们知道信息是怎样退化的，那些被退化了。这这个模糊的描述淡然不令人满意，可是通过联想到同态基本定理[;G/Ker(f);]同构于[;Im(f);]，不难理解我所说的意思

http://jpkc.gnnu.cn/jpkc/wfjh/diffgeom/1.pdf