when 曲率 is different, gr, then 保长、保角性 not working

(c)

不妨设 的始点就在M(t),则当M沿(C)移动到其邻近点      时,其相应的 也改变,其改变量的主要部分等于微分 ,即在M点    与S相切,在 点, 与S相切。在M点作 ,一般的， 不在M点的切平面上,把它分解为在M点的切平面上的和沿M点的法向量 上的两个支量,如图。

S

M

 

因为 在M处切于曲面，所以 ，所以 沿法线方向的支量是 。从 减去它在法线方向的支量,得到切线支量,记为 ,即 = 这是从 到点M处的切平面上的投影矢量。

定义 我们把M处的向量 与向量 的差称为向量      从点M沿曲线(C)移动到点 的绝对微分,记为 ,即          。

可见,向量 从点M沿曲线(C)移动到点 时，它的绝对微分 等于把它的通常微分 投影到点M处的切平面上的部分.因此在点M处向量 的绝对微分 仍然是一个在点M处切于曲面的向量。

3 向量的平行移动

当 时,表示向量 从点M沿(C)的方向移动到 时，微分 沿法线的方向 。换句话说,把向量 投影到点M的切平面上时,我们得到向量 。这时我们称向量 是向量 从点M沿 (C)的方向到邻近点 是经过平行移动而得到的向量。或称 是S上沿(C)的一族平行(或平移)向量。

因为这样定义的平行移动概念与所选取的曲线有关,因此     与 称为沿曲线(C)在勒维--其维塔(Levi-Civita)意义下的平行向量，这种在曲面上的平移称为勒维--其维塔平移。

说明  (1)在平面上，由于 ,所以平面上的向量若是勒维--其维塔意义下的平行向量，则有 ,从而 ,这正是平面上的向量通常意义下的平行移动的充要条件。因此，曲面上矢量勒维--其维塔意义下的平行移动是平面矢量的（通常意义下）平行移动概念的推广。

    (2)曲面 与 沿(C)相切,则 是 上沿(C)的平行向量场              是 上沿(C) 的平行向量场 。

4  绝对微分表达式  是平行向量场的条件

设曲面上的曲线(C)： , 是沿(C)的向量场,对(C)上任一点P,在P点有一确定的向量 ,设 是S在P点处切平面上的两个基向量，可设 ，则

利用高斯方程，则有     。这里没有写出的各项包含向量 且组成向量的法线支量。去掉 的法线支量后所得到的就是 ,即

 

设 ，与上式比较得：

这就是绝对微分的表达式。

     是平行向量场 。于是由上式得 是平行向量场的充要条件是：

    注：由(1)可知，绝对微分的概念只涉及到曲面的第一基本形式，因此绝对微分概念属于曲面的内在性质。

二  平行移动的性质

1 向量沿曲面上曲线平行移动的可实现性

设在曲面上一条已知曲线(C): 的起点 处作出曲面的某一向量 ,如果在曲线(C)的某一点t处作出曲面上的向量 ,使得当点由t移动到t+dt时，向量 是向量 由平行移动而得到的向量，且在起点t=0的向量 合于 ，我们说，向量 沿曲线(C)的平行移动是实现了。这时， 的坐标 应满足平行移动的条件(2)，(2)的每式以dt除之，得：

由此可见， 关于t的导数是 本身的线性函数。因为 的系数是t的已知函数，此外当t=0时，所求的函数   必取初值 ，即 的坐标。因此由微分方程组解的理论知，微分方程组(3)的解 是唯一存在的。因此当给定曲面(曲线)上一个向量后，该向量沿曲线的平行移动总可以唯一地实现。

2  保长、保角性

    定理 设 是曲面上沿曲线(C)的两个平行向量场，则     =常数，从而向量沿(C)平行移动时长度不变，两向量的夹角不变。

   证明

 = ，所以 =常数。 时，有 常数，所以 常数，从而 常数, 常数。       

3 测地线的又一特征性质

假设曲面曲线(C)的方程为： ,其中s为(C)的弧长。曲线(C)的(单位)切向量场为 ，据(3)， 是平行向量场的充要条件是：(注这时 )：

   i,j,k=1,2

这恰是(C)为测地线的微分方程。

    定理  曲面上的曲线(C)： 为测地线的充要条件是它的切向量 在勒维--其维塔平行移动的意义下沿(C)是互相平行的。

    据测地线的这条性质和前述定理，如果要沿测地线平行移动一个长度一定的向量，只要把这个向量与已知测地线（的切向）在移动过程中保持交于一个定角就可以得到。显然平面上的直线也有这个相仿的性质。

4  向量沿曲面曲线平行的几何解释

    设曲面 与 沿(C)相切,于是 与 在(C)上各点有共同的切平面和法向量,由勒维-其维塔平移的定义, 上沿(C)的平行向量场也是    上沿 (C)的平行向量场。

    对曲面S,沿其上一曲线(C)作出曲面的切平面,这些切平面构成单参数平面族,设它们的包络为 ，则 与S沿(C)相切,且 是可展曲面。因此S上沿(C)的平行向量场也是 上沿(C)的平行向量场。

当把可展曲面 展为平面时,(C)展为平面上的曲线(C₀),平行向量场    变为平面上沿的向量场。因为勒维-其维塔平移是曲面的内在性质,只与第一基本形式有关,而可展曲面与平面等距对应,所以 也是平面上沿(C₀)的平行向量场。而在平面上勒维-其维塔平行移动与通常的平移是一致的。由此可得向量沿曲面曲线平行的几何解释：

    若在曲面S的曲线(C)上一点M给定一个曲面上的向量 ，设与S沿(C)相切的可展曲面为 ，将 展为平面,(C)展为平面上的曲线(C₀)， 展到平面曲线(C₀)上相应M处的向量 ， 在平面上按通常意义沿(C₀)作出 的平行向量场,然后把此平面卷回到 ,则这平行向量场就成为 或S上沿(C)的平行向量场。这就给出了勒维-其维塔平行的意义。

    例如