Riki / 拓樸書評
拓樸參考書目及其評論
| Basic topology | M.A. Armstrong |
| 一開始先介紹一些簡單的點集拓樸的基本觀念，對於定理的證明大多省略或是帶過並沒有詳盡的敘述，習題部分也稍嫌不足，讀本書前最好有高微上的點集拓樸的基礎比較好。主要的重點是在後半部介紹代數拓樸的 simplicial homology 上，雖然並沒有非常完整，但是比一般代數拓樸的書來的多且淺顯易懂，可以當作是要念代數拓樸的入門書。 (楊樹文老師) |
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| 點集拓樸的參考書，簡單但是包含一些像結論(knots)等的有趣內容。(曾祥華學長(B85)) |
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| Topology; a first course | James R. Munkres |
| 對於點集拓樸有較全貌的介紹，如果想對點集拓樸有全面的認識，這是一本質得研究的好書，一開始還包含了一些集合論的內容，如選擇公理、 Zorn's lemma 等，對於數學的抽象和邏輯思考訓練有很大的幫助，其中第四、五兩章主要談的是比較艱深較少應用的拓樸觀念，第六章為 metrization ，探討如何定拓樸空間的 metric ，但是對第一次接觸拓樸的人來說比較難懂，而且應用上也比較少，可以先略過不讀，書中最後談及代數拓樸，不過比起 Armstrong 的則稍嫌不足。(楊樹文老師) |
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| 比較像是字典和習題書。(曾祥華學長(B85)) |
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| Algebraic topology | Allen Hatcher |
| 這本書寫的很好，包含相當多內容(至少講到了homotopy theory)。另外這本書是免費的，可以從作者的網頁 http://br.crashed.net/~akrowne/algtop/ 下載整本書。(曾祥華學長(B85)) |
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| Topology from the differentiable viewpoint | John W. Milnor |
| 由拓樸大師 Milnor 所著，是一本對於學微分拓樸的人很好的入門書，其中對於 Sard's theorem 有較簡短的證明，證明中用到了微分的 Fubini's theorem ，可以讓讀者看到微分拓樸的基礎，並且了解 Sard's 定理在微分拓樸學的用處。(楊樹文老師) |
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| 這本小書談 Hopf 指標定理，是微分拓樸的第一課。學過高微線性代數應可接受。(鄭日新老師) |
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這是拓樸大師 Milnor 著名的一系列微分拓樸教程中最輕薄小巧的一冊，介紹了許多微分拓樸的基本工具，很適合作為微分拓樸的簡易入門。 第一章首先探討了光滑流形及其上的光滑函數，定義了切空間和導函數，說明了流形上的隱數定理，引進光滑函數正則值的概念，並利用來證明代數基本定理。第二、三章證明了 Sard 定理：任一光滑函數臨界點集合之 Lebesgue 測度為零，並應用此定理證明了 Brouwer 不動點定理：歐氏空間中的單位閉圓盤上的連續自映射必有不動點。第四章定義了流形間光滑映射的模2次數，並證明這在光滑同倫之下是不變量。第五章考慮可定向流形的情形，定義了流形間光滑映射的次數並證明這在光滑同倫之下是不變量。 第六章討論流形上的向量場；首先利用映射的次數定義向量場奇異點的指標，接著證明流形上任一向量場的指標和等於其一管形鄰域的高斯映射次數，再造一個易於計算指標和的向量場，由此證明了 Poincare-Hopf 定理：流形上的向量場奇異點指標和等於該流形的 Euler 示性數。第七章引進標架同痕﹙framed cobordism﹚及 Pontryagin 構造，並應用之證明了 Hopf 定理：一光滑 m 維流形至 m 維球面光滑映射之光滑同倫等價類與其次數一一對應。(齊震宇學長(B86)) |
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| Differential topology | Morris W. Hirsch |
| 雖然這本書在微分拓樸上有完整的內容，但是讀起來卻不容易抓到重點，不如直接讀代數拓樸方面的書。可以先讀過 Milnor 的 "Toplogy from the differential of view point" 後再來念較好。 (楊樹文老師) |
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| Morse Theory | J﹒Milnor |
| 這兩本書其實是由 Milnor 著然後 Spivak 和 Wells 讀過後再作筆記。 讀此書一開始會覺得像在讀微分幾何。第一章是介紹 Morse theory ，接下來第二、三兩章都在談有關微分幾何的東西，如 geodesic 和 conjugate points 等，前七章都是在探討 Morse theory 。 但其實作者是以微分幾何的手法來解決拓樸方面的問題，而書中在最後證明了拓樸學上重要的 " Bott periodicity theorem "，這也是作者最主要的目的。(楊樹文老師) |
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| Part I 介紹有限維 Morse 理論及在拓樸學上的初步應用， 往後運用此有限維 Morse 理論證明在 Part IV 的 Bott 週期定理。J. Milnor 的書一向清楚，學過一些基本微分幾何來讀較佳。(鄭日新老師) |
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這是拓樸大師 Milnor 著名的一系列微分拓樸教程中的一冊，深入淺出地介紹了 Morse 理論，可說是這方面入門讀者必讀的經典之作。 全書分為四大部分：第一部分探討流形上的非退化光滑函數，先證明了 Morse 引理，說明此類函數在臨界點附近的性質便像歐氏空間中的非退化二次函數一般，並可依此定義一個臨界點的指標；以此為基礎在流形上做局部操作，證明了對任一在其上給定了一個非退化光滑函數的流形，其同倫型必等同於一 CW 複體，且一個指標為 m 的臨界點便對應了一個維度為 m 的原胞。接著對嵌入歐氏空間中的光滑流形探討了焦點與非退化光滑函數的關聯，利用 Whitney 嵌入定理及 Sard 定理，說明了對任意光滑流形其上均存在有非退化光滑函數；此外還包含了原始 Morse 不等式的討論，及在複多樣體上的應用：Lefschetz 超平面截痕定理。 第二部分為黎曼幾何的簡介，證明了黎曼流形上 Levi-Civita 聯絡的存在﹙黎曼幾何基本定理﹚，討論了共變微分，曲率張量及其基本性質，測地線的延伸與流形完備性的關聯﹙Hopf-Rinow 定理﹚。 第三部分討論測地線"能量"的變分，試圖將第一部分理論中的光滑流形及其上的非退化光滑函數，分別代之以連結某流形上固定兩點的片段光滑路徑空間及路徑之能量泛函。探討了能量泛函的第一變分公式﹙相當於先前求函數臨界點，此時得出的"臨界點"即測地線﹚，第二變分公式、Jacobi 向量場及定義共軛點的重數﹙相當於函數臨界點非退化條件及指標的討論﹚，並證明了 Morse 指標定理，說明測地線作為能量泛函的臨界點，其指標即其上與起點共軛點之重數總合，搭配上一些有限維逼近的手法，證明了Morse 理論基本定理： 對連接一完備黎曼流形上相對於任何測地線均不共軛之兩點的路徑空間，其同倫形等同於一可數 CW 複體，且任一連接該兩點具指標 m 之測地線對應了一個維度 m 原胞。 第四部份為 Morse 理論的應用，得出了對稱空間及李群的一些幾何性質，並對路徑空間中達能量最小的最短測地線流形的拓樸加以分析，搭配纖維化﹙fibration﹚導出的同倫群正則序列，到達本書的高潮，證明了關於酉群及正交群的 Bott 週期性定理。(齊震宇學長(B86)) |
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| Differential Forms in Algebraic Topology | Raoul Bott, Loring W. Tu |
| 這本書提供了一些大域微分幾何上拓樸方面的工具，或者說是一本比較從微分幾何角度來看的代數拓樸書籍。(蔡宜洵老師) |
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