除非内禀角动量单独守恒， 否则能量动量张量将是非对称的。 由于内禀角动量显然不单独守恒， 因此上面定义所涉及的能量动量张量是非对

http://www.changhai.org/articles/science/physics/einstein_cartan.php

除非内禀角动量单独守恒， 否则能量动量张量将是非对称的。 由于内禀角动量显然不单独守恒， 因此上面定义所涉及的能量动量张量是非对称的。

如果能量动量张量非对称， 那么 Einstein 场方程 G^ab=8πT^ab将要求 G^ab 非对称。 这表明时空几何将不会是单纯的 Riemannian 几何。

物理学球对称时空度规的相互变换及其观测意义

卞保民 赖小明 杨玲 李振华杨孝平 贺安之

(南京理工大学理学院，南京，210094)

摘要 物理学球对称时空的基本类型分为均匀平直四维时空、星球外真空近似条件下史瓦西度规对应的引力非线性时空、均匀宇宙模型R-W度规对应的弯曲时空。在上述四维时空形式下，物理学理论给出描述实物元运动状态的四维时空间隔。基于随时序变化的空间尺度因子函数

R （t ），在四维平直时空内可建立均匀膨胀空间球坐标系。严格的数学计算证明，通过非线性空、时坐标变换，能够实现上述四种时空度规形式之间的相互变换，并给出与R-W度规对应的空间尺度因子函数形式。

关键词 时空度规

1.

 

 

引言

牛顿物理学的逻辑基础是抽象的、绝对的、均匀的、数学的时空概念。

1905年，爱因斯坦提出了相对论时空概念。新时空概念的核心内容即观测光信号与时空度量之间的关系。在相对论时空概念基础上，爱因斯坦成功地将牛顿力学加以推广，以四维时空间隔元形式为逻辑基础，建立了相对论力学体系。1917年，爱因斯坦提出了宇宙学原理和稳定理想气体宇宙的观点；1920年前后，Slipher发现河外星系光谱普遍存在红移现象；1929年，Hublle根据对河外星系光谱红移普遍性的研究及分析计算，提出了小红移条件下的哈勃定律。哈勃定律被认为是现代宇宙学最重要的观测基础之一。Friedmann在广义相对论、宇宙学原理基础上建立了标准宇宙物理学模型，用RW度规描述四维时空间隔元，并从理论上给出与、0k1对应的三种可能时空类型。同时，在0kW的非平直性时空模型中，留下了一个被称为空间尺度因子的待定函数。R 度规实际上是?宇宙大爆炸模型?的理论基础。

本文基于均匀平直空间四维间隔定义，结合均匀膨胀空间球坐标系的空时坐标变换，通过严格的计算证明

RW度规三种形式之间的存在相互转换关系，同时也给出均匀膨胀空间球坐标系和史瓦西度规之间对应关系。可见，?均匀膨胀宇宙?、?四维弯曲空间?其实是对均匀膨胀空间坐标系形式的一种理解。

2.

 

 

均匀平直时空形式下的实物元四维间隔

均匀平直时空形式下，与空间球坐标系对应的四维间隔为



2222222222222222sinlnsindscdcdtdrrddcdtrdrdd  (1)

式中

001/c为物质普适常数0、0组成的具有速度量纲的参数。r 是原点到实物元 ,,r的空间距离。取距离单位0R 为常数，定义径向坐标为

0

 

rR (2)

则用球坐标参数

 ,,描述的四维时空间隔元形式为



2222222220lnsindscdtRddd (3)

由（3）式可以看出，一般情况下角度微元

d、sind与lnd同量级。若引入随时序变化的空间尺度因子Rt ，且定义实物元的径向坐标为

rR



 

(4)

（4）式定义的任意径向坐标点到原点距离的时序变化率

rRHtrtR与空间坐标,, 无关，即,, 为具有空间均匀膨胀特性的球坐标系。在不同的应用环境中，（4）式的物理意义不同：对确定的空间距离，其径向坐标随时序变化；而确定的非零径向坐标r ，其与原点之间的空间距离随时序变化。

对任意具体实物元

m 而言，坐标参数,,一般为变化量。确定坐标原点后，实物元m 的四维时空间隔一般形式为



22222222222222222222sin2sdscdtRdtRdRddcRdtRdRRddtRdd  (5)

（

3）式、（5）式是与（1）式对应的两种不同数学形式。三个公式中微分元前的系数组，构成四维时空度规。不同的空间尺度因子R ，四维时空度规的形式不同。取尺度因子函数Rt 的一般形式为



1/001RRHt   (6)

当，空间尺度因子

0RR，时空间隔与（3）式对应。1时



001RRHt (7)

空间尺度因子的导函数

00RRH为常数。0时

0

 

HHtRRe (8)

坐标系空间膨胀率

/HRRH为常数。若用原点时序差dt 度量实物元的速度

222

 

lnsindrurdt  (9)

代入四维间隔公式，则有

22

 

1uddtdc  (10)

（

10）式即相对论运动时钟变慢效应的表达式，且d与运动实物元本征时对应。

3.

 

 

宇宙学R-W 时空度规形式的相互转换

Friedmann

 

标准宇宙模型的四维时空间隔形式为



2222222222lnsin1ddscdDddk  (11)

D

 

 

是以时钟参数为自变量的空间尺度因子，常数0,1k。，D 为常数的平直时空形式与（3）式对应。0k1k时，（11）式可写成



2222222222lnsin1ddscdDdd   (12)

将（5）式中时空微元交叉项进行下列整理



22222222222222222222222222222222222222222222222222sin2ssin1dscRdtRRddtRdRddRdtRdRdcRdtRddcRcRRRdcRdcRdtRddcRcRc 22222222222222222lnsin11dRRcdRcdtRddRcRc （13）

（13）式在形式上具有完全平方结构。令



22222222222222222222222222ln1s11lnsin1dRRcdcRcdtRddRcRcdcdDdd    (14)

对应的三个独立等式为

2222222222222222222

 

1111dRRdRcdRRRdRdDRcDR  (15)

（

15）式中dRdtR，与1222 RRcd Rc 对应的00000RRHtRRtR，即0RR为定值时。此时，（15）式中的第一等式对应于全微分



2220011ddRRcR  (16)

新时序参数

的变换公式为

2222220000

 

11RR RctRcRR  (17)

由（

15）式中的第二、三等式，消去参数D

 



 

21220222222222222000222221022200122200111111111dRcddRcRcRcRcRcRcdRcRc (18)

则两个新径向坐标满足



212012222222211002222122220020222222222200111111111dRcdRcRcRcRcdRcdRcRc (19)

两种径向坐标变换关系分别为

1101022220

 

1RcRcRc (20)

代入（

15）式中的第三式，并考虑到（17）式，可得两个参数D

 

01222000222222020000

 

111cRRDcctRRRcRRDcRcctRccRR  (21)

满足（11）式的空间尺度因子为

1k2Dc ，且新空间坐标系径向坐标2值域对应自变量的定义域为

0

 

/cR (22)

至此，可解出R-W度规第二个显函数形式为



2222222222222222lnsin1ddscdcdcdd  (23)

为计算R-W度规的第三个显函数形式，将（1）式写成



222222222sincdtcddrrdd (24)

以为自变量，取空间尺度因子形式为



1/001RRH   (25)

将

rR代入（24）式，可得



2222222222222222222222222222222222222222222222222222si2ssin1cdtcRdRRddRdRddRdRdRdcRdRddcRcRRRdcRdcRdRddcRcRc 2222222222222222lnsin11dRRcdRcdRddRcRc （26）

令



22222222222222222222222222ln1s11lnsin1dRRcdcRcdRddRcRcdcdDdd    (27)

对应的三个独立等式为

2222222222222222222

 

1111dRRdRcdRRRdRdDRcDR  (28)

式中

dRdR，取（25）式中1，则有0RR，222222211RRRcddRcRRc，则（25）式中第一式为



2220011ddRRcR  (29)

新时序参数

的变换公式为

2222220000

 

11RR RcRR   (30)

由（

28）式中的第二、三等式，消去参数D

 



 

21220222222222222000222221022200122200111111111dRcddRcRcRcRcRcRcdRcRc (31)

则可得两个径向坐标满足



212012222222211002222122220020222222222200111111111dRcdRcRcRcRcdRcdRcRc (32)

两个径向坐标解函数分别为

1101022220

 

1RcRcRc (33)

（

28）式中的两个参数分别为D

 

03222000222222040000

 

111cRRDcccRRRcRcDRRccRccRR  (34)

满足R-W度规条件的可能解为

4Dc ，变换函数2自变量的定义域不受限。代入（24）式

222222222222222

 

lnsin1dcdtcdcdd  (35)

容易看出（

35）式与R－W度规在形式上不同，还需要进行下列非线性时钟坐标变换00,,t ，0为时间单位符号



00//tteeeeee  (36)

进行微分计算



00//dtteeedeeddeeedeed    (37)

微分平方分别为



2222222022222220/2/2dtteeedeedeeeedddeeedeedeeeedd    (38)

考虑到

t 为原点本征时，将所有本征时单位统一0t，则微分平方差为



222222220/dtdeeeeedd   (39)

结合（

36）式，可得



22222222222224eeeeedddtdeeeddee  (40)

代入（

35）式后，可得与R-W度规中1k对应的四维间隔



2222222222222000222lnsin21deecdcdcdd   (41)

取无量纲的数学形式



22222222222lnsin21deedddd    (42)

与R-W度规对应的空间尺度因子：

02eeDc 。时钟变换公式为

220

 

lnln14tttt  (43)

可见，从常数尺度因子形式下的平直四维时空间隔（

3）式出发，能够通过尺度因子函数变换到（23）、（42）式。（23）、（42）两种间隔形式对应的度规失去逻辑空间的平直性形式，但仍保持了物理空间的均匀性本质。

4.

 

 

广义相对论西瓦斯时空度规的近似性

对（

5）式进行如下整理



22222222222222222222222222222222222222222sinln2lnsinln2lnlnsinln1ln12lndscRdtRdRRddtRdddRcRdtRddddRcRdtRdddRddRdRcdtRdcd 2222222222222sin21ln1ddRcRcdtRdddcRc   (44)

式中

 

2lnlndRdRdtcRdRdtdRc。一般情况下，运动实物元的t具有任意性，函数,RFtR代表实物元径向运动微分方程，,Ft为待定函数。

但是，当整体物质系统具有统计平衡性时，实物元运动相对于整体而言是一种空间顺序互换效应。此时的

t33 r 并非某一个确定实物元的运动轨迹，而是平衡状态下实物元空间位置互换顺序对应的一种统计形式。实物元之间空间位置的这种互换保持了物质系统整体的平衡，即呈现一种统计意义上的稳定的可观测结构，此时(44)式中的t与物质整体特性有关。考虑到球对称性，与r 相关的基本物理基本参数为质量M 、平均密度。结合引力常数G ，r 、H 、M或可构成无量纲参数

232

 

43GMGHrH (45)

对于

00HHtRReHHH，可得与时空坐标无关的条件为

2

 

43HGconstconstH (46)

即以空间体积为度量基础的密度

参数为常数。43HGH即与平均密度值相关的哈勃常数。在为常数的模型下，可得

22222

 

43GMrRrHGr (47)

容易看出

GMr对应于单位质量实物元在球半径处的引力势能值。四维间隔公式中的无量纲参数2222002RrHc。由（6）式的一般Rt函数可得



1000001000111/HHHRRHtRRHtHtRRR  (48)

则

22222332222220000002221221

 

34 RHRRHRHRRVccRcR  (49)

式中

3343RV为空间球体积。若取0，则有

222222

 

3344HHHRVMcRcr  (50)

将（

47）式代入（44）式最后一个等式，可得



222222222222221ln1dscdGMcGMcdtRdddcrRcr   (51)

在物质系统整体统计稳定条件下，取待定函数

t满足

2222

 

2114113cGMGMGRcrrcrc (52)

则（

51）式变成



22222222222222222222dlnd1ddsind1dln41ddsin4313GMsctRGMcRcRGrctrGcrc   (53)

考虑到哈勃常数的量级，一般情况下，（

7）式中1HHt0RR。则有近似



2022222202020dlnd1ddsind1RGMsctRGMcRcR  (54)

广义相对论中，星球外局域空间真空近似条件下的史瓦西时空四维间隔为



22222222dln2d1ddsind21rGMsctrGMcrcr  (55)

考虑到（

54）、（55）两式中质量相等，可推得12。

若取尺度因子函数中

32，2300312RRHt ，则有



232333233000002011HHrRHtHRHt (56)

（

45）式中无量纲参数与时空坐标无关的条件为

2323323330000

 

GMGMGMMconstconstHrHRHR (57)

即以空间坐标球体积为度量基础的密度

为常数。对应的四维时空间隔可写成



2222222222222222222222dlnd1ddsind14dln1ddsin4313GMsctRGMcRcRGctRGcRcR  

0

 

312Ht 3

2/



 

2022222202020dlnd1ddsind1RGMsctRGMcRcR 

1/2

 

0RR的还是局域不均匀条件下对应于近似形式。

坐标微元量的观测意义。 （

1）式中，有与空间概念对

d



 

、d dr物dt、d。在物理学模型中，必须首先搞清楚（1）式四维间隔与何种可观测物理过程对应。dt代表原点两次相邻闪光信号之间的时间间隔，d代表非原点实物元,,r接收到该对闪光信号之间的时间间隔，信号源和实运动量为,,drdd元都只能以自身本征时钟记录时间间隔。。五个微元量是原点一对相邻闪光信号的不同表现形式。

空间坐

,,也与上述闪光信号有关，其中r代表闪光信号从原点



r光子自号接收元之间的由程，r也代表基于确定光子的光源、接收实物元之,,tr ,测量意义，而是对应于抽象的、绝对的、均匀的、数学的时空概念。所以，相对



Rt 数/rRt作为度量光子自由程r的一种形式，Rt中的时序数t代表确定光子从原点到r,,的自由传播过程。而尺度因子函数自身的观测意义是自由传播光子的周期/Rc。根据（6）式，径向坐标点的本征时微元参数T1ducdtRc 

22222

 

1钟也不等价。从物理测量



0RtR1对应述的考察，与k的R-W度规为由观测者时钟d、坐标点时钟d、空间坐标2,,描原点两次相邻闪光信号传播过程一种形式。 与（1式将光源时序t变换成坐标点时序形式的类似，（30）

变换成坐标点时序形式

，进一步再变换成、。这两次时序变换从形式上掩盖了原点光源时钟观测记录、实验室接收信号时钟观测记录的基础地

2022



 

22222211/111 0,,0,1Rc (63)



 

222222202211/111 0,1,0,Rc 关系，并没有

斯坦广义协变性原理。但是，由于

Rt函数形式的缺失，三个度规之间的内在在四维间隔形式中，, 

,

 

接收信号性质的实物元。实物元因其内部物质结构能够发出光子信号，也能够接收辐射光信号，所以?质点?具有计时功能。光信号成为不同质点之间建立信息联系、实现能量转移的观测基础。在闵可夫斯基平直四维时空形式

222222

 

dscdcdtdxd

2

 

ydz、观测者时钟。当

dt

 

 

）d 换间球坐标形式时，（64式变成（1）式，出现了r、dr两个径向距离参数。当孤立地考察这两个距离参数时，可认为它们对应于三个坐标点。其实不然，dr代表一个?质点?与dt对应的?物理过程?。所以，（64）式的抽象形式必须具体的?信号过程?对应才能准确反映其物理意义。取0与，即为常数的物理模型中，参考系坐标

22222

 

HHHHrdRuHRtdturaHRHrtr

00

 

TTT r成正比的特性。取3/2，即为常数的物理模型中，参考坐标点的?径向?速度、加速度分别



23/23/2300000023220023122RrduRHtHHdtRrHrrart

GM



2

 

1。由此可见，在物质分布不

均匀的?真空环境?中，两个质点之间的牛顿引力公式严格意义上是与

3对

应的均匀膨胀空间坐标系形式，

r即实物元质点模型M和m?质心?之间的空6.小结理均匀、各向同性的相对论时空具有内在逻辑统一性的形式，即由均匀膨胀空间坐标系也能够转换成史

均匀平直空间可以用基于传播信号特征的不同尺度因子进行度量。