弦外之音
2011年1月18日 ... 叫Morse 函数. Morse 函数是流形上光滑函数的常态, 就是说, ... 是Morse 函数, 而且其梯度流决定的升圆盘降圆盘之间相交的情况良好, 即, ...
xiphoid.scinese.com/ - 网页快照
xiphoid.scinese.com/ - 网页快照
Morse势函数参数的疑问。 - 【LAMMPS】 - 分子模拟论坛Molecular ...
2 个帖子 - 2 个作者 - 新贴子： 1月13日
[讨论交流] Morse势函数参数的疑问。 相关搜索: Morse, 函数, 疑问, 参数. 在Morse势中，参数D0是原子之间的内聚能。我查找了很多文献查找到一些Morse ...simulation.5d6d.com › 分子模拟论坛 › 【LAMMPS】 - 网页快照
获得更多论坛结果
Morse函数-论文
中文摘要: Marton Morse[5]最先引出了Morse理论,其思想是通过研究流形上的Morse函数的临界点来给出这个流形的拓扑.基于类似的思想,Thom, Smale, Milnor和Wit. ...
www.lunwentianxia.com/lwkey_new_80073/ - 网页快照
www.lunwentianxia.com/lwkey_new_80073/ - 网页快照
一个Morse 函数的典型例子就是垂直站立在桌面上的环面的高度函数
1 附图: 1.bmp (240726 字节)
![]()
这个环面的高度函数有4 个指标分别为0, 1, 1, 2 的四个临界点。它的Morse 多项
式是
$M_t(f)=1+2t+t^2$.
对于紧流形M 上的Morse 函数f，Morse 理论的基本结果和下述事实有关，对于f 的
指标为$\lambda$ 的临界点，M 和粘有一个$\lambda$维胞腔的CW 复形同伦。这个
事实是根据1950 年代 Pitcher, Thom 和Bott 的工作。
立即得到如下两个推论:
i) 弱Morse 不等式:
指标为i的临界点个数$\geq$第i 个Betti 数.
若
$P_t(M)=\sum dim H_i(M)t^i$
是M 的Poicare 多项式，Morse 不等式可以重述为
$M_t(f)\geq P_t(M)$,
这意味着$M_t(f)-P_t(M)$是有非负系数的多项式。这个不等式对分析提供了一个拓
扑约束，因为它说流形的第i 个Betti 数是函数f 指标i 临界点个数的必须下界。
ii) 空隙原理: 如果Morse 函数f 的任两个临界点的指标都不相连，那么
(1) $M_t(f)=P_t(M)$.
原因很简单: 因为M 的CW 复形没有两个胞腔的维数相连，边界算子自动是零。因此
胞腔链复形是它自己的同调。
M 上满足(1) 的Morse 函数f 称为是完美的。环上的高度函数就是一个完美的Mors
e 函数。
经典的Morse 理论仅处理所有临界点都是非退化的函数；特别地，临界点必须是孤
立的。但是，在许多情形，临界点构成M 的一个子流形。例如，如果环面象一个油
炸饼圈一样放平在桌面上，那么高度函数以顶部和底部的圆环为临界流形(图2).
2 附图: 2.bmp (153494 字节)
![]()
Bott 的 第一感觉之一就是看看怎么把Morse 理论推广到这个情况。在[9] 中他引
入了非退化临界流形的概念：称一个临界流形N 是非退化的，若对N 上的p 函数f
的Hessian 限制到N 的法空间都是非奇异的。然后非退化临界流形N 的指标$\lamb
da(N)$ 定义为这个法Hessian 的负特征值的个数；它表示f 下降的独立方向的个数
。简单起见，假定非退化临界流形的法丛皆是可定向的。为了构造f 的Morse 多项
式，对每个临界流形N 都计算它的Poincare 多项式；这样,
$M_t(f):=\sum P_t(N)t^{\lambda(N)},
关于所有临界流形求和。
在这个Morse 多项式的定义下，Bott 在[9] 中证明如果光滑流形M 上的光滑函数f
仅有非退化的临界流形, 那么Morse 不等式仍然成立:
$M_t(f)\geq P_t(M)$.
1 附图: 1.bmp (240726 字节)
这个环面的高度函数有4 个指标分别为0, 1, 1, 2 的四个临界点。它的Morse 多项
式是
$M_t(f)=1+2t+t^2$.
对于紧流形M 上的Morse 函数f，Morse 理论的基本结果和下述事实有关，对于f 的
指标为$\lambda$ 的临界点，M 和粘有一个$\lambda$维胞腔的CW 复形同伦。这个
事实是根据1950 年代 Pitcher, Thom 和Bott 的工作。
立即得到如下两个推论:
i) 弱Morse 不等式:
指标为i的临界点个数$\geq$第i 个Betti 数.
若
$P_t(M)=\sum dim H_i(M)t^i$
是M 的Poicare 多项式，Morse 不等式可以重述为
$M_t(f)\geq P_t(M)$,
这意味着$M_t(f)-P_t(M)$是有非负系数的多项式。这个不等式对分析提供了一个拓
扑约束，因为它说流形的第i 个Betti 数是函数f 指标i 临界点个数的必须下界。
ii) 空隙原理: 如果Morse 函数f 的任两个临界点的指标都不相连，那么
(1) $M_t(f)=P_t(M)$.
原因很简单: 因为M 的CW 复形没有两个胞腔的维数相连，边界算子自动是零。因此
胞腔链复形是它自己的同调。
M 上满足(1) 的Morse 函数f 称为是完美的。环上的高度函数就是一个完美的Mors
e 函数。
经典的Morse 理论仅处理所有临界点都是非退化的函数；特别地，临界点必须是孤
立的。但是，在许多情形，临界点构成M 的一个子流形。例如，如果环面象一个油
炸饼圈一样放平在桌面上，那么高度函数以顶部和底部的圆环为临界流形(图2).
2 附图: 2.bmp (153494 字节)
Bott 的 第一感觉之一就是看看怎么把Morse 理论推广到这个情况。在[9] 中他引
入了非退化临界流形的概念：称一个临界流形N 是非退化的，若对N 上的p 函数f
的Hessian 限制到N 的法空间都是非奇异的。然后非退化临界流形N 的指标$\lamb
da(N)$ 定义为这个法Hessian 的负特征值的个数；它表示f 下降的独立方向的个数
。简单起见，假定非退化临界流形的法丛皆是可定向的。为了构造f 的Morse 多项
式，对每个临界流形N 都计算它的Poincare 多项式；这样,
$M_t(f):=\sum P_t(N)t^{\lambda(N)},
关于所有临界流形求和。
在这个Morse 多项式的定义下，Bott 在[9] 中证明如果光滑流形M 上的光滑函数f
仅有非退化的临界流形, 那么Morse 不等式仍然成立:
$M_t(f)\geq P_t(M)$.
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
