在Euclid空间的旋转中，有一个不变量，那就是质点到旋转中心的距离是不变的——这里采用的自然是Euclid平直度规。在Mink

SR基础之四：从Lorentz变换到质能关系

在《系列2.从光速不变到Lorentz变换》中，我们已经得到了Lorentz关系。那么，Lorentz变换到底是一种什么样的变换呢？ 让我们先来看二维Euclid空间中的旋转： 我们将三角函数部分写开，利用，则有： 形式上与我们得到的Lorentz变换非常类似： 因而，我们可以得到一个合理的推理：Lorentz变换也是一种时空旋转，所不同的是这里不是Euclid空间——这点很自然，因为我们知道时空是Minkowski的。 利用双曲函数的性质：，我们可以将Lorentz变换写成一种更加直观的旋转的形式： 从而，我们认识到：Lorentz时空变换就是Minkowski时空中的旋转，遵守的是双曲变换规则——称为赝转动，因为当时空是3+1维时候需要和空间部分的旋转区分开。 在Euclid空间的旋转中，有一个不变量，那就是质点到旋转中心的距离是不变的——这里采用的自然是Euclid平直度规。 同样的，在Minkowski空间中的赝转动中，也存在一个不变量，就是质点到旋转中心的时空间隔，也就是位置矢量的模，是不变的——这里采用的自然也就是Minkowski度规了。 这里矢量的模为矢量（在度规下的）内积： 这也可以用矩阵形式写为（上标T表示转置）： 现在，我们来证明这个模在Lorentz转动下是不变的： 利用这条，我们就知道，在Minkowski时空中，时空间隔在Lorentz变换下是不变的。 现在，我们就要把这个结论运用在物理中。 在Minkowski时空中，物质的4-动量就是（静止）质量乘上物质运动的4-速度矢量： 由于质量是标量，因而现在如果我们有如下两个参照系，那么该物体在其中的动量“模”肯定是相同的： 物体在参照系A中是静止的，而在参照系B中是以运动。 从而有：（这里要注意3-速度和4-速度空间分量的关系，差一个Lorentz因子） 现在，我们将之前一直忽略的c因子补上，此时Lorentz变换为： 同时，度规为： 而4-速为： 从而，在静止系中物体4-速为： 现在把这些带回到之前得到的关系中，就有： 由于4-动量的时间分量为物质的能量除以光速，从而在静止系看来就有： 那，为什么要将4-动量的时间分量视为物质的能量除以光速呢？让我们先来看一下运动系中的情况： 由静止系中得到的质能关系，我们可以认定在运动系中也有一样的关系： 从而可得运动系与静止系的质量变换关系： 这就是狭义相对论中著名的质量变换公式。 随后，我们来看在低速下的情况： 从而对于此时的运动系物体能量就为：