张量（Tensor）是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多线性函数，其坐标是 n 维空

张量（Tensor）是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多线性函数，其坐标是 n 维空间内，有 n^r 个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。 r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。

 

在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），第一阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。 例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）^T。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。

 

在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。

 

虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。

 

例子

 

张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1,1,1,>到<2,5,7>。张量可以在指标为<1,1,1>有一个值，在指标为<1,1,2>有另一个值，等等一共70个值。 （类似的，向量可以表示为一个值的序列，用一个标量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示，定义域中的数字是自然数，称为指标，不同的指标的个数有时称为向量的维度。）

 

一个张量场是在欧几里得空间中的每一点都给定一个张量值。这样不是像上面的例子中简单的有70个值，对于一个3阶张量，维度为<2,5,7>，空间中的每一个点有70个值和它相关。换句话说，张量场表示某个张量值的函数，其定义域为欧几里得空间。不是所有的函数都行 -- 更多关于这些要求的细节参看张量场。

 

不是所有自然中的关系都是线性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多线性映射来局部的逼近。这样多数物理学中的量都可以用张量表示。

 

作为一个简单的例子，考虑水中的船。我们要描述它对受力的反应。力是一个向量，而船的反应是一个加速度，它也是一个向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因为船体的特定形状。但是，这个力和加速之间的关系实际上是线性的。这样一个关系可以用一个（1,1）类型（也就是说，它把一个向量变成另一个向量）的张量表示。这个张量可以用矩阵表示，当它乘以一个向量时就得到另一个作为结果。坐标系改变的时候，表示一个向量的数字会改变，同样，表示这个张量的矩阵中的数字也会改变。

 

更多可参考维基百科http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B5%E9%87%8F

 

 

相关转贴

   引入张量的意义：

  (1)我们的目的是要用数学量表示物理量，可是标量加上向量都不能够完整第表达所有的物理量。所以物理学家使用的数学量的概念必须扩大，于是张量就出现了。

（2）既然张量要尽可能地表达所有的物理量，而物理量是客观实体，必须与我们解决问题而主观选用的坐标系无关，所以任意张量必须满足座标变换时保持不变，即所谓“座标变换的不变性”。

（3）当然既然标量、向量都能够表示部分物理量的行为，所以标量和向量也必须是张量的特例。

（4）向量表示物理量的缺陷的例子最明显的是线速度与角速度，两者在向量语言里是分不开的。可是在物理上是不同的：前者在反演的对称动作下是反对称的，而后者是对称的。显然用向量语言不足以区分线速度和角速度。后来，在张量语言里，前者属于（1/0）张量，后者属于（0/1）张量。

（5）张量还把矩阵概念也包含进去了。

（6）张量不但能够处理平直空间的问题，也能处理弯曲空间的问题。

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张量的定义有多种。

最抽象的定义，采用“多线性函数”的定义，即认为张量是一类“多线性函数”。

最直观的定义，是用一组分量来定义。这组分量，当坐标变换以后，会按规定的方式去变换。

譬如矢量——最简单的张量或曰一阶张量，是由三个分量来定义的。这三个分量，当坐标变换以后，也会改变，就会按一个统一的公式去变换。

二阶张量，其分量可以使用矩阵来表示，但二阶以上的张量就很难用这种直观的排列方式来表达出来了。

物理中的张量，最能说明其用处的，也是最早引出张量概念的，就是“应力张量”。“某一点的应力”这个量，用矢量是无法表达的，而用二阶张量，则就可以了。

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由惯例约定（应力张量）＝－（压强张量），所以可以拿压强张量来说：

我们过去把作用在某个单位截面上的力理解为压强，实际上这里隐喻着这个力的方向在该截面的法向上。所以这种说法只适用于没有粘性的流体和气体（或极慢流速的粘性流体）的场合，即各向同性的场合；只有在这种情况下，作用在任意截面上的合力一定垂直于该截面。

当在粘性流体和固体的场合，这个力的方向就不见得正好在该截面的法向上。所以，完整意义的压强概念要同时用9个标量才能完整表达，即是一个二阶张量，称为“压强张量”。例如在用笛卡儿坐标系的情况下，压强可表为一个3x3的矩阵；其中各个分量的含义为：
    例如Pxy：第一个下标x规定了该单位面积的法向为x轴的正方向；因为作用在这个单位面积上的力一般不见得也正好在x轴的正方向，而是在三个方向上都有不为零的分量；第二个下标y是指那个力在y方向上的分量为Pxy。

其余类推，如作用在法向为z方向的单位面积上的力在x方向上的分量记为Pzx。所以，完整的“压强”概念要用9个量来表示，而不是3个量（即一个向量）。《自己添加如下：压强张量P=pxx+pxy+pxz+pyx+pyy+pyz+pzx+pzy+pzz；张量=张量分量的和=所有基矢量并矢的线性组合；（对矢量而言，矢量=矢量分量的和=基矢量的线性组合）》

当然进一步证明“压强”这个二阶张量是一个对称张量，这是深一步的原因了。那是根据d’Alambert原理，任意一个微体积元DV受到的所有三种力（质量力、面力和惯性力）的合力应当为零，造成的。

在各向同性的场合下，所有方向上的力是相同的。于是压强张量P简化为
P＝p1；这里p为“静压力”（就是中学生理解的压强），1为3x3的单位矩阵。

附上一段本人授课讲义中与此有关的一段。参考书为：
1、北大武际可教授的《弹性力学》
2、北大吴望一教授的《流体力学》


我羡慕物理学家，他们把问题说清楚了。传统的化学课从一开始就不求严谨。当然，可喜的是从1998年的化学诺贝尔奖开始（奖给电子密度泛函理论和量子化学分子轨道的从头算理论），我们化学家也能敢像物理学家一样喊出：“化学不再是纯粹实验科学了”，“化学也在走向严密科学”！而此前不久，化学中的保守派还振振有辞地说：“化学是实验科学”、“化学有化学的规律”。

这里我建议把“Exact Science”译成“严密科学”，不要像哲学家那样把它译成为“精密科学”。因为，从物理的眼光看：“精密”只是数值意义上的正确，而“严密”兼有物理意义上的“严格”和数值意义上的“精密”两个方面正确的意思。

量子计算机的奠基人、牛津大学量子物理教授David Deutsch指出：“预言事物或描述事物，不论多么准确，也和理解不是一回事。……物理学家研究并形成理论的真正动机恰恰是渴望更好地理解世界”[12]。理解就是要求得到物理模型。数值上准确的模型不见得机理上也正确，机理上正确的模型数值上一定准确。剑桥大学物理系教授John C. Taylor说：“当人们在设想物理模型的过程中陷入绝境时，有时会倒退回数学领域”[13]。数学模型只是寻找科学真理的第一步，它只是在理论预计的数值上与实验值相符而已。物理模型还要求在客观机理上也要正确。物理学是严密科学（exact science），化学也正在步入严密科学。

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