数学物理01 路径积分 场论的观点, 把"运动"看作一维时间上的一个"场"

所以把这三个理论放在一门课里讲, 因为Hodge理论的对象--Laplace方程,
如果未知函数是二次形式, 就是规范群为U(1)的杨振宁-米尔斯方程. 即,
Maxwell方程组. 而Witten的论文"Supersymmetry and Morse Theory"
将微分拓扑中的Morse理论解释为一个超对称模型: 黎曼流形上的偶数次形式
是玻色态, 奇数次形式是费米态, Q1=d+d* 和 Q2=i(d-d*) 是两个超对称
算子, 它们把费米态映到玻色态, 把玻色态映到费米态, 而且反交换.
系统的哈密顿量 H=Q1Q1+Q2Q2=dd*+d*d 就是流形上的Laplace算子(动能).
所以寻找超对称的真空态的问题, 即求解 Q1|0>=0, Q2|0>=0, 等价于求解
黎曼流形上的Laplace方程. 如果引进相互作用(流形上的一个Morse函数),
那么这个超对称的量子力学模型在经典近似下给出Morse不等式.

在经典的层面上, 规范理论是很"整齐"的理论. 比如经典电磁学就是U(1)
主丛上的规范理论; 磁单极子是二维球面上一个非平凡U(1)丛的一个联络,
杨振宁-米尔斯瞬子是四维球面上一个SO(3)主丛的一个联络; 等等非常漂亮的
结论. 但是任何理论都要量子化, 规范理论也不例外. 与扭结相关的规范
理论采用路径积分量子化. 路径积分最初由Dirac想到, 在他的"量子力学原理"
中提到过, 并注明说"不关心高等动力学的同志可以略去这一节", 可见是
很费解的东西. 主要想法是在量子力学中重建最小作用量原理. 量子力学的
最初形式都是哈密顿模式: 矩阵力学模仿正则方程, 波动力学模仿Hamilton-
Jacobi方程, Dirac的变换理论又是模仿正则变换. 而用变分法从最小作用量
原理导出Lagrange方程也是经典力学里很漂亮的办法, 而且将时间空间同等
看待, 最容易与相对论结合. 后来Feynmann得到了一个理想的表达, 称为
路径积分, 实际上是构造Schr?dinger方程的格林函数的方法. 经过搞数学的
Kac严格化, 成为对一类抛物型微分方程构造格林函数的一般方法, 是概率论
与随机过程应用在数学物理上的典范. 对热传导方程来说, 粒子的动能是通过
混乱的布朗运动传递的, 传递的路线是不可预知的, 于是可以赋予每条可能的
路线一个概率, 格林函数(传播子)就是这些路线效果的期望值. 但是Schr?dinger
方程是一个很奇怪的方程, 形式上是抛物型, 所以可以用同样的办法构造
传播子, 然而赋予每条路线的那个权重没有概率的解释, 因为在时间导数的
前头有个虚数单位i, 这个i使得本该是概率的那个权重变成了一个模一的复数.
而传播过程不再是超距的, 而是有限速度的. 换言之, 它实质上描述波动.
所以这个传播子是很难从数学上理解的东西, 无穷维空间测度论的解释只适合
热传导的情况. 不知道有没有同学清楚这个传播子的数学解释, 希望可以讨论
一下. 量子力学的情况已经这么复杂, 推广到场论上去的路径积分简直就是
一个灾难.

经典力学里粒子的基本力学变量是坐标和与之共轭的动量, 其他力学
变量是它们的函数. 而粒子的"运动"是相空间的一条曲线. 所谓作用量
是所有"运动"的空间上的泛函. 这里我用"函数"来代表复合关系, 只跟
变量的取值有关; 泛函代表映射关系, 跟变量的形式(整个运动过程)有关.
比如能量就是动量的一个函数, 每个时刻都有一个值, 这个值只与那个
时刻的坐标,动量的值有关; 而作用量是Lagrange函数对时间的积分,
只对时间段有意义, 与坐标, 动量随时间的变换有关, 与某时刻的值无关,
是"运动"的泛函. 现在运用场论的观点, 把"运动"看作一维时间上的一个
"场", 就是说, 三个坐标和三个动量的值在时间上的分布. 那么能量就是
场的函数, 而作用量是场的泛函. 记场为 C: t--> R^6,
定义泛函x_t, p_t 为 x_t(C)=x(C(t)), p_t(C)=p(C(t)). 如果有经典力学
变量f(x,p), 那么量子化以后, 这个力学变量在t时刻的期望将是:
E[f(x_t,p_t)], 这里的测度空间是{所有可能的场C}, 概率密度是:
pdf(C)= exp{iS(C)}, S(C)=int L(x_t(C),p_t(C))dt 是作用量.
写开那个期望就是int f(x_t(C),p_t(C))exp{iS(C)}dC.

相对论的情形基本上是上面的推广, 有一点点区别. 基本力学变量是在时空
分布的场, 作用量是场的泛函, 其他力学变量, 与单粒子的情况不同, 一般
是场的泛函而不是场的函数, 这是因为在一个时空点的场的值不能提供关于
能量等我们关心的力学变量的信息, 而是要计及整个场的分布. 如果用A:
R^4 --> V 来表示时空中取值在V中的场, 那么量子化后一个力学变量f(A)
的期望是 int f(A)exp{iS(A)}dA, 积分的空间是{所有可能的场A}.

所有跟帖： 

• 数学物理01 路径积分 多粒子体系中元激发的思考 -marketreflections- ♂ (11476 bytes) () 05/19/2011 postreply 11:39:47

• 哈密顿正则方程 系综，在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合,各态历经假设，对于 -marketreflections- ♂ (4856 bytes) () 05/19/2011 postreply 11:48:30

• 在很多问题中，哈密顿量对转动是不变的,从一种基变到另一种基是通过幺正变换来实现的，这个变换的系数有一个重要性质：它们与α无关，只 -marketreflections- ♂ (1224 bytes) () 05/19/2011 postreply 13:13:18

• 哈密顿01 若相互作用的一群质点集中在一个小范围内，且相互作用势能随距离增大而趋于零，则对这一群质点而言，不管无穷远处是否存在物 -marketreflections- ♂ (3294 bytes) () 05/19/2011 postreply 13:40:02

• 哈密顿01 将坐标系安置在核上，它不是惯性参照系，将坐标系安置在氢原子的质心上，它才是惯性参照系。相对于前者，薛氏方程不成立，相 -marketreflections- ♂ (20707 bytes) () 05/19/2011 postreply 13:59:44

• 哈密顿01 第五章動量守恆定律→質點系統的質心運動 -marketreflections- ♂ (2336 bytes) () 05/19/2011 postreply 15:13:48

• 邱博文高中物理 重點整理 -marketreflections- ♂ (104 bytes) () 05/19/2011 postreply 15:15:43

• 前进，其中各点的运动情况很复杂，但是由于它受的合力只有重力（忽略摩擦），它的 质心在空中运动和一个质点在被抛出后运动一样，其轨迹 -marketreflections- ♂ (1703 bytes) () 05/19/2011 postreply 21:12:58

• 若相互作用的一群质点集中在一个小范围内，且相互作用势能随距离增大而趋于零，则对这一群质点而言，不管无穷远处是否存在物质，都可选无 -marketreflections- ♂ (249 bytes) () 11/10/2011 postreply 15:44:29

• 遍历理论01 假如系统的自由度n非常大,例如在一定容器中气体分子的运动（宏观上微小的体积中仍含有大量的分子），如果与外界没有能量 -marketreflections- ♂ (27408 bytes) () 05/19/2011 postreply 11:57:04

• 同一外部条件之中并且具有同一哈密顿量，但微观状态不一样的一切可能的系统:系统的哈密顿量H可以写成N个单体哈密顿量之和。 ... -marketreflections- ♂ (22936 bytes) () 05/19/2011 postreply 12:04:08

• 当系统的自由度无限增大时，遍历的可能性也就越来越增大,玻耳兹曼提出所谓遍历假设，认为一条相轨线可以跑遍（或者说充满）整个能量面 -marketreflections- ♂ (24905 bytes) () 05/19/2011 postreply 12:13:03

• 马氏链 大数定律 相空间上的期望等于"几乎任一"条轨道上的时间平均, 而不是任何一条或者某一条. "几乎"是相对于全测度来说的 -marketreflections- ♂ (13103 bytes) () 05/19/2011 postreply 12:17:36

• 数学物理01 单个分子的运动服从牛顿力学， 单个分子的运动以及分子间的碰撞是完全可逆的）即微观运动的可逆性 -marketreflections- ♂ (6876 bytes) () 05/20/2011 postreply 14:13:05

• 数学物理01 玻耳兹曼01 气体分子的频繁碰撞并未使它们的速度趋于一致，而是趋于某种分布 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 05/20/2011 postreply 14:30:24

• 力学体系运动可逆性（或可复性）的定理01 一个没有破洞的三维物体和一个三维的球体是拓扑等价的 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:34:51

• 拓扑等价01 质心参照系01 零动量参照系01 相对于质心参照系，物体系的总动量为零，所以质心参照系，又叫做零动量参照系:一颗手 -marketreflections- ♂ (2308 bytes) () 05/20/2011 postreply 17:51:30

• 玻色—爱因斯坦凝聚。这里所说的凝聚不是通常说的那种气体变液体的凝聚，而是“动量凝聚”。也就是说，许多分子都转到动量为零的状态，这 -marketreflections- ♂ (3304 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:38:36

• 固体比热容01 是指单位质量的物质在某一过程温度升高1K所吸收的热量，也是特定粒子（电子、原子、分子等）结构及其运动特性的宏观表 -marketreflections- ♂ (2050 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:49:43

• 比热容01 谐振子01 许多物质原子量和比热的乘积往往是同一常数。由此总结出一条定律：“所有简单物体的原子都精确地具有相同的热容 -marketreflections- ♂ (6517 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:52:37

• 定容比热容01 固体中讨论的热容量一般指定容比热容 ，他包括两方面的贡献：一是来源于金属中晶格振动的贡献，称为晶格比热容。二是来 -marketreflections- ♂ (2941 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:54:34

• 晶格振动对比热容的贡献 固体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。1906年，爱恩斯坦首先应用量子理论 -marketreflections- ♂ (8258 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:56:59

• 定容比热容01 电子热运动对固体比热容的贡献 金属中的公有化电子可以视为自由电子，有这些自由电子构成金属中的“电子气”。电子气服 -marketreflections- ♂ (861 bytes) () 05/20/2011 postreply 17:01:26

• 所以电子气的比热容和温度成正比。这个结果和实验相符合。如果按经典玻耳兹曼分布电子气的比热容与温度无关； 。可见，按量子统计计算的 -marketreflections- ♂ (6406 bytes) () 05/20/2011 postreply 17:03:43

• 比热容01 对金属材料，比热容有晶格振动和电子热运动两部分贡献。在常温下，电子热运动部分的贡献小得多，主要是晶格振动部分的贡献； -marketreflections- ♂ (2242 bytes) () 05/20/2011 postreply 17:06:38

• 电子的自旋波函数, 如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变量部分 之和, 空间坐标部分与自旋变量部分之和, 或者, -marketreflections- ♂ (3335 bytes) () 05/20/2011 postreply 21:33:29

• 数学物理01 "质点系集合论",玻耳兹曼,平衡态并非单一位形，而是压倒多数的可能位形的集合 -marketreflections- ♂ (16329 bytes) () 05/20/2011 postreply 14:01:38

• 数学物理01 "质点系集合论",玻耳兹曼,平衡态并非单一位形，而是压倒多数的可能位形的集合 -marketreflections- ♂ (16329 bytes) () 05/20/2011 postreply 14:01:41

• 数学物理01 分子平均动能按自由度均分的统计规律 -marketreflections- ♂ (23494 bytes) () 05/20/2011 postreply 14:20:42

• 非线型分子气体 多原子分子理想气体的比热容 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 05/20/2011 postreply 16:25:25

• 数学物理01 "质点系集合论",圆球的惯性运动，那么圆球就处于平衡状态中,然而，圆球上除了轴线上的点，其余各点的加速度都不是零; -marketreflections- ♂ (38288 bytes) () 05/20/2011 postreply 18:14:46

• 力学01 系统平衡的判别准则 -marketreflections- ♂ (2578 bytes) () 05/20/2011 postreply 18:19:27

• 数学物理01 "质点系集合论",圆球的惯性运动，那么圆球就处于平衡状态中,然而，圆球上除了轴线上的点，其余各点的加速度都不是零; -marketreflections- ♂ (38288 bytes) () 05/20/2011 postreply 18:14:53

• 数学物理01 "质点系集合论",圆球的惯性运动，那么圆球就处于平衡状态中,然而，圆球上除了轴线上的点，其余各点的加速度都不是零; -marketreflections- ♂ (38288 bytes) () 05/20/2011 postreply 18:15:27

• 数学物理01 如果考虑引力的话，即整个拉氏量必须加上很多项（因为引力和所有物质都耦合 -marketreflections- ♂ (1844 bytes) () 05/22/2011 postreply 21:14:53

• 基辛格01 夫兰克-赫兹实验仪实验指导书一、概述 1900 年是量子论的诞生之年，它标志着物理学由经典物理迈向近代物理。 量子论 -marketreflections- ♂ (13632 bytes) () 05/23/2011 postreply 15:33:40

• 波函数01 波在空间和时间的分布.波动中的物理量（或其扰动）是空间位置和时间的函数，这一物理量函数.（ｒE，ｔ）称V为波函数，其 -marketreflections- ♂ (3025 bytes) () 05/23/2011 postreply 15:49:15

• 对易关系从根本上说就是力学算符的作用序列不影响态矢量ψ本征值的求解 例如【A,B】两算符对易。即AB＝BA，具有这样性质的算符无 -marketreflections- ♂ (381 bytes) () 05/26/2011 postreply 19:45:20

• 分形01 Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的 -marketreflections- ♂ (38127 bytes) () 05/23/2011 postreply 15:58:06

• ，真空并非仅仅是一个真实虚空在平均态附近的量子起伏若真空具有永久不变的（正）能量密度，它必为一种负压力（张力）所平衡 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 05/23/2011 postreply 16:07:53

• 分形01 分形数理形理 -marketreflections- ♂ (234 bytes) () 05/23/2011 postreply 16:26:20

• 分形01 分形数理形理 http://iask.sina.com.cn/u/2117978614/ish -marketreflections- ♂ (102 bytes) () 05/23/2011 postreply 16:29:24

• 分形几何描述空间的结构性 -marketreflections- ♂ (104 bytes) () 05/23/2011 postreply 20:33:35

• 数学物理01 引力的微观本质 耦合理论简介 第三版 -marketreflections- ♂ (377 bytes) () 05/22/2011 postreply 21:34:32