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星空浩淼 2008-9-30 17:52
协变分量、逆变分量与对偶空间
谈论这个话题之前,先申明两点:1)凡是跟季兄有真正分歧的地方,均以季兄说的为准。
2)由于我编辑公式比较麻烦,许多分歧其实是表面上的,没有说清楚。
3)我发此贴的目的,是试图在物理的角度与数学的角度搭建一座理解的桥梁。我的论述,跟一些物理学中的微分几何教材是一致的。
[b]一、预备[/b]
直接说协变矢量、逆变矢量,似乎不太合适,因为同一个矢量R,既可以用基向量e_i展开,也可以用对偶基向量e^i(对偶基又叫作共轭基)展开:
R=R^ie_i=R_ie^i (重复指标按照爱因斯坦求和指标求和)
其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。因此下面只谈论逆变分量和协变分量。对于N维欧几里德空间,在笛卡尔直角坐标系中,无需区分基向量和对偶基向量,此时矢量的逆变分量和协变分量没有分别。从另一个角度看,此时用来升降指标的度规张量,即是Dirac的δ_ij函数(i,j=1,2,3,...N)
我们通常说的高阶张量,其实也是张量的某一个分量,而张量的完整形式,也是用张量基展开,一个(m, n)型的张量(m个逆变分量指标,n个协变分量指标),用来展开它的张量基对应m个基向量e_i和n个对偶基向量e^j的张量积。用d表示偏微分符号,现在微分几何中,通常分别用e_i=d/dx^i和e^j=dx^j来表示基向量和对偶基向量。
关于协变和逆变分量这种称呼的来源:设M是变换矩阵,N是M的逆矩阵,在基矢变换e→f=Me下
矢量分量r变换为:r→r'=Mr
而矢量分量s变换为:s→s'=Ns
则矢量分量r和矢量分量s分别是“协变”和“逆变”的矢量分量。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-9-30 18:38 编辑 [/i]]
星空浩淼 2008-9-30 18:36
在“协变矢量与逆变矢量”那栋楼里面,我直接接着季兄的6楼来说事儿:
对于线性泛函f(v)=f_iv^i,利用基向量e_i和对偶基向量ω^i(对偶基表达符号跟季兄的不同)之间满足的关系:ω^j(e_i)=δ_ij,有
f(v)=f_i v^i=(f_jω^j)(v^ie_i)
这样,对于向量空间V中的矢量v=v^ie_i,我们可以把f=f_jω^j看作是V的对偶空间V*中的向量。数学书上喜欢把线性函数(泛函)f(v)看作是对偶空间V*中的向量,因为全体线性泛函f,g等等在运算
(f+g)(v)=f(v)+g(v)
(αf)(v)=αf(v)
仍然构成体K上的向量空间,其中α∈K。但是在实际应用中,一旦f(v)=(v, f)代表内积运算,扮演对偶空间V*中向量角色的,更是f(v)=f_i v^i=(f_jω^j)(v^ie_i)中的f=f_jω^j。
对于线性泛函f(v)=(v, f),对于每个固定的f∈V*,f(v)=(v, f)是向量空间V上的线性泛函;对于每个固定的v∈V,f(v)=(v, f)是向量空间V*上的线性泛函。因此,对偶是相互的。然而,我们是把v=v^ie_i,[color=Red]而不是[/color]f(v)=(v, f),看作是向量空间V中的矢量。同理,一种更便于应用和理解的方式,就是把f=f_jω^j,[color=Red]而不是[/color]f(v)=(v, f),看作是向量空间V*中的向量。
季候风 2008-9-30 18:55
星空浩淼 2008-9-30 19:15
在固体物理中,晶体格点原胞基矢是位置空间中的基向量,与之对偶的基向量是倒格子空间中的基向量,这是波数矢量(即动量矢量)空间中的基向量。另一方面,前面提到过,用d表示偏微分符号,现在微分几何中,通常分别用e_i=d/dx^i和e^j=dx^j来表示基向量和对偶基向量。学过量子力学的知道,d/dx^i与动量算符对应(相差常数因子),如果把e^j=dx^j对应位置空间基向量,这两个例子给人这种感觉:从向量空间到它的对偶空间,例子之一就是从位置空间到动量空间,相应的基向量与对偶基向量可能方向不同,量纲也不同。此时,空间与它的对偶空间有着本质的不同。对于一个物理系统S,它的广义坐标构成位形空间M,M上的余切丛即是系统S的相空间。我们知道,相空间是位形空间(即M)与动量空间的直积空间。这跟这样的事实是相符的:广义动量是M上的协变向量,而余切空间是协变向量空间(余切丛则是位形空间M与余切空间的直积空间)。
前面还提到过,同一个矢量R,既可以用基向量e_i展开,也可以用对偶基向量e^i展开:R=R^ie_i=R_ie^i,其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。对于四维时空位置矢量,逆变矢量X^μ=(t,[b]x[/b]),而协变矢量X_μ=(t,-[b]x[/b]),其中t是时间,[b]x[/b]是三维空间矢量。如果逆变矢量空间与协变矢量空间互为对偶的空间,这两个空间不象上面位置空间和动量空间之间的差别那样大。特别地,
对于N维欧几里德空间,在笛卡尔直角坐标系中,不必区分基向量与对偶基向量,矢量的逆变分量和协变分量没有分别,此时用来升降指标的度规张量,即是Dirac的δ_ij函数。正是在这种意义上,我们说,N维欧几里德空间的对偶空间是它本身。在量子力学中,右矢|ψ>构成的空间与左矢<φ|构成的空间互为对偶,|ψ>与<ψ|互为厄米共轭。在这里,空间与对偶空间之间的差距,也不象上面位置空间和动量空间之间的差别那样大。
星空浩淼 2008-9-30 19:22
另一方面,在量子力学中,量子态之间的内积,属于V*×V→C,它对于左矢是反线性的(<aψ|=a*<ψ|,a*是a的复共轭),对于右矢是线性的(|aψ>=a|ψ>)。
写到这里我有点郁闷:许多人学泛函分析是为了量子力学,但是量子力学中的内积是半线性的,不是双线性的那种线性泛函。难道在这里,量子力学中的波函数只是一种推广了的线性泛函(即半线性的那种)?
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-9-30 20:12 编辑 [/i]]
季候风 2008-9-30 22:51
这第二种意义一定是在一个内积空间 V 中。如果 [tex]e_i[/tex] 是一组基,它的 “伴随基” [tex] e_i^\vee[/tex] 满足
[tex] (e_i, e_j^\vee) = \delta_{ij} [/tex]
它跟真正的对偶基不同的是,它仍然是 V 的基,而不是 [tex] V^*[/tex] 的基。当然,如果考虑的是内积空间, “伴随基” 与 “对偶基” 1-1 对应,因为总可以定义线性泛函
[tex] f^j (v) : = (v, e_j^\vee) [/tex]
这样
[tex] f^j(e_i) = (e_i, e_j^\vee) = \delta_i^j [/tex]
满足对偶基的定义。 这里的指标的上下(逆变协变)出了一点问题,是因为隐藏了度量张量 g,如果要使指标的上下保持一致,就需要把内积写成
[tex] (v,w) = g(v,w) [/tex]
这种在内积空间情形 “伴随基” 与 “对偶基” 的 1-1 对应正是很多人直接将它们等同的原因。
在基础的物理课本上,几乎所有的线性空间都是内积空间,所以在有限维的时候经常将协变矢量和逆变矢量等同,而在无穷维的时候经常将左矢和右矢等同。虽然在实际运用中这种等同并不会引起真正的问题,但必须意识到,这样的等同强烈依赖于内积。协变矢量和逆变矢量,或者左矢和右矢,本质上是不同的东西。在没有内积的线性空间 V 上,每一组基仍然会决定对偶空间 [tex]V^*[/tex] 里的一组 “对偶基”。如果固定 V 上一组基,然后放上不同的内积 g, g', 那么 V 里相应的 “伴随基” 就会不同,但是 [tex]V^*[/tex] 里的对偶基却不会发生变化。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-9-30 23:04 编辑 [/i]]
星空浩淼 2008-10-1 01:30
blackhole 2008-10-3 20:28
回复 6# 的帖子
恩,“对偶基” 和“伴随基”的区分具有基础意义,以前没有注意到。blackhole 2008-10-3 20:34
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
但前面说伴随基是可以诱导出对偶基的,如果内积变了,导致伴随基改变,那么它诱导出的对偶基呢?
季候风 2008-10-3 21:18
blackhole 2008-10-3 22:03
伴随基变了,但是 V 和 V^* 的对应也变了。 [/quote]
结果是对偶基仍然不变? 值得确认一下.
blackhole 2008-10-3 22:15
直接说协变矢量、逆变矢量,似乎不太合适,因为同一个矢量R,既可以用基向量e_i展开,也可以用对偶基向量e^i(对偶基又叫作共轭基)展开:
R=R^ie_i=R_ie^i (重复指标按照爱因斯坦求和指标求和)
其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。 [/quote]
大概这里就已经出现分歧了. 数学上可是可以直接谈论协变矢量和逆变矢量的, 而不是分量.
星空浩淼 2008-10-4 00:47
大概这里就已经出现分歧了. 数学上可是可以直接谈论协变矢量和逆变矢量的, 而不是分量. [/quote]
这个问题我后来意识到了,考虑到不影响我后面说的,就没有纠正
blackhole 2008-10-7 17:04
结果是对偶基仍然不变? 值得确认一下. [/quote]
其实根本不用费心思,因为线性函数由它在一组基下的值完全确定。既然改变内积的定义之后那个delta形式的结果是必须保持的,而这个就是函数值,所以是确定的,因此前后所“诱导”出的线性函数是同一个。
季候风 2008-10-7 20:53
其实根本不用费心思,因为线性函数由它在一组基下的值完全确定。既然改变内积的定义之后那个delta形式的结果是必须保持的,而这个就是函数值,所以是确定的,因此前后所“诱导”出的线性函数是同一个。 ... [/quote]
的确如此
woshijiashi 2008-10-30 21:37
我心里着实的激动啊
我是力学专业的学生
力学对张量的要求还是比较高的
我不是课班出身
所以对于力学是从头学起
而张量是一个大问题啊
现在我看到了逆变分量和协变分量
可我怎么看怎么不懂
两位高人能不能给点意见啊
季候风 2008-10-30 21:44
回复 16# 的帖子
看不懂就再看,直到看懂为止......或者试试就此提点问题,到底什么地方不懂woshijiashi 2008-10-30 22:08
我决定做死的看它
即使看不懂
也先硬记下来
不晓得这是不是个方法
季候风 2008-10-30 22:20
回复 18# 的帖子
本来就是些约定,记住就行小杰 2010-11-14 02:20
看到季前辈和星空兄的热议
我心里着实的激动啊
我是力学专业的学生
力学对张量的要求还是比较高的
我不是课班出身
所以对于力学是从头学起
而张量是一个大问题啊
现在我看到了逆变分量和协变分量
可我怎么看怎么不懂 ... [/quote]
以前對這主題沒有體悟,所以現在才談談。
先針對初學物理者,給個簡單答覆,其他星友意見,看完再談。
我認為這個部份,最好的入門是直接去看Schutz的GR第三章。
其中提到vector與one-form的區別。
你會發現你過去熟知的gradiant,在四維時空中,自然地成為one-form。
這是由於metric乃是(-+++)造成的。
如果你重新更改gradiant的定義,在第零個分量乘上一個負號,
你會發現他很自然地又變成了vector。
(這也是Feynman在物理學講義中採取的說法。)
從這個角度來看,可以說one-form是為了metric的(-+++)的方便性而需要的區分,
也可以說one-form和vector滿足不同的變換關係,
最起碼在gradiant的例子裡,理由非常具體。
abada 2010-11-17 16:41
[url]http://fxkz.net/viewthread.php?tid=3660&highlight=%2Babada[/url]
小杰 2010-11-22 07:17
因為伴隨基強調的是內積造成的影響,這點與對偶基明顯不同。
但我總覺得從動機上來講,似乎是同一回事?
就實用上來講,如果不談內積,似乎就沒有動機去談對偶基了。
isfahan 2010-11-22 18:35
则会出现2个 Levi-Civita connection.,彼此"共轭."(需定义),也就有2个联络系数,
这样就有共4个,first kind,or second kind Christoffel symbols.
小杰 2010-11-24 04:23
完全不需要透過對偶基,去得到你的內積。
這點不論是在廣義相對論或量子力學,都是ㄧ樣的。
要計算內積,可以不需要有對偶基的概念,所以我才說,
動機上來講,這也許只是為了方便性,不談內積(或類似的東西),
似乎就沒有必要存在對偶基的概念。
因此對偶基很可能動機還是源自於我們要考慮內積。
季候风 2010-12-4 05:20
星空浩淼 2010-12-4 10:45
完全不需要透過對偶基,去得到你的內積。
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不过,这也可以等价地理解为:先通过度规,把其中的一个基变成对偶基,再取基与对偶基之间的内积。此时,度规成为基与对偶基之间相互转换的桥梁
hanyy1988 2011-1-14 19:36
季候风 2011-1-14 21:56