玩数学——闲论Atiyah-Singer指标定理

玩数学——闲论Atiyah-Singer指标定理


来源: marketreflections 于 09-12-08 10:53:16 [档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话]





回答: 物体的重力是引力场中的引力和物体的质量共同作用的产物,天高皇帝远，场的阶级性 由 marketreflections 于 2009-12-08 10:25:40

http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=239600

玩数学——闲论Atiyah-Singer指标定理
闲论Atiyah-Singer指标定理
几番被人转载，已经不知道原文作者在哪儿了。感觉很不错，值得看一看

Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold

开场白

余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。

万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。

为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。

本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。

鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。
（几个荤笑话有些长，我删掉了。）
（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！

尊重江湖规矩，用黑话表达AS：
记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F） 与s(E,F＇）间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D） = Int_
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ）为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：
Topo_Ind(D） = (-1）^n
其中n是流形M的维度，s(D）是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , 是Kronecker配对。
如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。

先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有
1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴

也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋
洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约
几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。

这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。

映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。

如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？

能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见
智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还
要提的。

函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些
元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到
底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还
是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，
否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与
全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于
同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而
集合元素是核内元素之整数倍。

显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。

这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，
不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（
商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。

集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡
夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没
有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合
叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的
集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）

群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研
究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂
附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表
示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。

我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相
乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，
240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转12
0度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，
即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群
本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。

显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续
群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续
的。

群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲
了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群
，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！
）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。

线性映射是最简单的，也是最重要的：
f(aA+bB）＝af(A）+bf(B）。

举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f） + dim (im f）. dim
就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。

对偶空间：V-->V*, W-->W*
"内积"： g(v1,v2） , G(w1,w2）
伴随映射f^： G(w,fv） = g(v,f^w）
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^

至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：

对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im
f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f） + dim (im f）。 同样，我
们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显
然有：dim W = dim (coker f） + dim (im f）. 于是，我们立得：
dim (ker f） - dim (coker f） ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f） = dim (ker f^） 故上式亦可写成
dim (ker f） - dim (ker f^） ＝ dim V - dim W。

这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质
，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都
是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f） - dim (coker f）却与f没有关系！这一
简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓
扑指标（右边）。

─椭圆算子与纤维丛 zz

一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数
学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁
下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，
多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必
然的。

那就继续讲集合、算子。

一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二
阶，...导数拼凑成的算子多项式：
a f^(n） + a_(n-1） f^(n-1） +...bf
这里a,i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。

假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程
，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不
同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...）,
i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。

正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分
方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方
程（PDE）求解问题。

正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、
重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲
算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其
富里叶形式，
a_(jn） ξ_j^(n） + a_(n-1 k） ξ_k^(n-1） +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn）拼凑出n×n主象
征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征
矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。

因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵）
，则为椭圆算子。

我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，
但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的
内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b
时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个
解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。

看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。

同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征
为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才
是椭圆算子。

我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.

至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。

好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。

描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。

从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。

当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。

简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。

为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。

第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。

第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR(广义相对论）话题。

这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。

非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。

这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。

休息完，继续爬。

底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。

类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。
对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。

细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。

至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。

好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。

于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x）的推广。

以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。
古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。

阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。
前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G）。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。

下面是插曲，看官尽管可以略过。

令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。

插曲完了。到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定
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• 数学好图 只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 10/06/2010 postreply 21:17:35

• 数学好图 麦田圈里奇妙的四维世界 -marketreflections- ♂ (86 bytes) () 10/07/2010 postreply 08:00:47

• 四维空间就好像把三维的图像投影在第四条维线上,随地球转动变化 (图) -marketreflections- ♂ (913 bytes) () 10/07/2010 postreply 08:23:26

• 2维到3维看到的是体积的变化,4维空间就是存在的，我们看不到的是因为它变化在内部 -marketreflections- ♂ (637 bytes) () 10/07/2010 postreply 08:40:55

• 数学好图 时间维度是个突破口,规则就是必须是连续的 heart feeling 4D -marketreflections- ♂ (1118 bytes) () 10/07/2010 postreply 08:51:28

• 一个拓扑空间中的两个点并不是能用尺子量就叫可度量化，一个拓扑空间可度量化是说一个拓扑空间与由这个度量所诱导的空间同胚，也就是等价 -marketreflections- ♂ (2549 bytes) () 10/07/2010 postreply 10:53:29

• 当个人不能威风时，整个民族就可以威风了 -marketreflections- ♂ (5001 bytes) () 10/07/2010 postreply 10:55:52

• 黎曼定义的 “n 维流形” 大概是这个样子的：以其中一个点为基准，则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总 -marketreflections- ♂ (4152 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:02:17

• 连续变形下不变的性质是同伦不变性质但不是拓扑不变性质 -marketreflections- ♂ (128 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:05:20

• 扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影 (图) -marketreflections- ♂ (14752 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:07:29

• 人脑形成一个概念，大概相当于思维神经形成一个闭圈，概念与概念之间的关系就是拓扑关系 -marketreflections- ♂ (612 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:12:58

• 剖分的基本组成成份叫做 “单形”，“点” 是 0 维单形，“边” 是 1 维单形,同调群内含有多少个整数集，就说同调群的 “秩” -marketreflections- ♂ (8235 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:15:50

• 庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个 “链”，单形前面的加号减号具有几何意义 -marketreflections- ♂ (413 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:18:45

• 考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫 -marketreflections- ♂ (1001 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:21:41

• 黎曼度量的“曲率”，弯曲程度。如果光线从某一点向周围“线性发散”，即光强随距离线性减弱，则流形在这一点是“平直的”。球面上光强减 -marketreflections- ♂ (4927 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:30:03

• 复变函数多值,如果把函数图像本身作为定义域，每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了 -marketreflections- ♂ (3110 bytes) () 10/07/2010 postreply 11:37:02

• "波函数投影",三维投影上的一个光子就只是一个波函数投影出来的吗 -marketreflections- ♂ (2958 bytes) () 10/07/2010 postreply 12:37:26

• “悟空”就是说要让自己的意识领悟到外部世界是空的,科学家,三维空间上的所有事物在高限维度空间上是有联系的,规则，物理定律 -marketreflections- ♂ (4665 bytes) () 10/07/2010 postreply 12:42:51

• 坐标变换并不改变波函数本身。而是一个物理上的投影算符，有物理意义，改变了波函数，使得它被投影到某一子空间下 -marketreflections- ♂ (1694 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:00:52

• 波动力学,也正是这种非连续运动导致了波函数投影过程的存在.冯诺依曼最早严格地表述了这一过程的瞬时形式.并将它作为波函数的一种特殊 -marketreflections- ♂ (4690 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:10:58

• 既然所有gay的状态都可以用a*|1> + (1-a)*|0>来表示，我们就说1和0就是gay的两个“本征态”。所有可能的gay -marketreflections- ♂ (51543 bytes) () 10/07/2010 postreply 14:56:34

• 何祚庥 量子力学中的粒子，并不是通常牛顿力学里所定义的粒子，因为它们不能同时具有确定的位置和动量。量子力学中的波，又不等同于通常 -marketreflections- ♂ (3996 bytes) () 10/07/2010 postreply 15:57:50

• 何祚庥 对于诺依曼测量定理的批评一测量. 过程本质上是熵增加的过程. -marketreflections- ♂ (255 bytes) () 10/07/2010 postreply 16:00:20

• 测量导致量子退相干的“哥本哈根解释”（称为“量子力学互补性原理 ”或 “并协原理”）是这样的：物　质运动具有粒子和波的双重属性， -marketreflections- ♂ (18365 bytes) () 10/07/2010 postreply 16:12:25

• v 仪器并不能由薛定谔方程,诺依曼的出发点是用薛定谔方程来描写宏观仪器及其与粒子的相互作用, -marketreflections- ♂ (838 bytes) () 10/07/2010 postreply 16:18:58

• • 市场反应的特征时间同信息到达的间隔时间, former > latter -marketreflections- ♂ (4955 bytes) () 10/07/2010 postreply 18:12:06

• 两随机变量或者两个随机过程，若它们的互相关或互相关函数等于两者均值之积 -marketreflections- ♂ (1486 bytes) () 10/08/2010 postreply 08:00:19

• 统计独立：一个随机变量的任一取值的变化都不会引起另一个变量的任何取值的变化 -marketreflections- ♂ (203 bytes) () 10/08/2010 postreply 08:01:59

• 不相关则是统计平均意义下相互无影响，即间或存在的相互影响，经集合平均后显示不出来，宏观影响为0。 -marketreflections- ♂ (95 bytes) () 10/08/2010 postreply 08:03:04

• 由于位向分量是一种非保守变量，演化规律用弛豫方程描述 -marketreflections- ♂ (258 bytes) () 10/08/2010 postreply 08:20:58

• 平衡态混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。非平衡混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，可以预知的。只有经过长期 -marketreflections- ♂ (201 bytes) () 10/08/2010 postreply 08:32:25

• 混沌运动只能对照规则运动来研究。按照这个精神，把初始条件取为完全可积的 -marketreflections- ♂ (1260 bytes) () 10/09/2010 postreply 11:21:54

• 刘维尔方程描述了相空间分布函数（尽管数学中准确术语是测度，物理学家一般称为分布）的时间演变,断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是 -marketreflections- ♂ (4107 bytes) () 10/10/2010 postreply 02:44:11

• 方锦清 动力学理论中的根本思想之一是“分解", priced in EMT -marketreflections- ♂ (13642 bytes) () 10/10/2010 postreply 02:56:22

• 冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年 -marketreflections- ♂ (285 bytes) () 10/10/2010 postreply 03:26:07

• 为了研究振动系统受到微小扰动后的情况，人们利用反映扰动前系统的较简单的线性算子特征值问题的解，求出了反映经过扰动后算子特征值问题 -marketreflections- ♂ (2006 bytes) () 10/10/2010 postreply 03:56:58

• 确定性混沌，庞加莱共振 -marketreflections- ♂ (151128 bytes) () 10/10/2010 postreply 03:05:45

• 第六章 低速宏观运动规律的正则形式 -marketreflections- ♂ (9064 bytes) () 10/10/2010 postreply 03:40:57

• 各种变换如Ｚ变换，拉普拉斯变换，对数与波特图乃至二进制，其内核在于变换刻画的基范场（如频域到时域）或降维（如将axb─ > lg -marketreflections- ♂ (9295 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:22:07

• 时间维特殊化 x,y,z 三维用线性代数刻画是正交矩阵，即三维是互相垂直的，而当我们在时间阱中运动时，我们发现时间在x,y,z中 -marketreflections- ♂ (27 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:24:50

• 量子信息论- docin.com豆丁网 -marketreflections- ♂ (232 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:05:45

• 冯诺依曼将混合态与熵联系 -marketreflections- ♂ (287 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:09:16

• 物理数学好图 关于量子力学中算符的几点注记 正则对易关系 相于态 厄密算符 非厄密算符 -marketreflections- ♂ (6111 bytes) () 11/24/2010 postreply 16:03:10

• 冯诺依曼- 若纯态i Y 组成的总体是正交的它们之间互可区分就可作为经典状态对待对这 -marketreflections- ♂ (493 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:13:45

• 对于一个给定彩票空间,冯·诺伊曼等假设决策者能够对这个彩票空间中的任何两个彩票的序关系进行判定 -marketreflections- ♂ (1305 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:32:49

• VNM模型：序数效用的目的在于保证消费者选择排序的前后一致性.正单调变换只能保证排序信息不变，但未必能保证线性的成比例的变动，而 -marketreflections- ♂ (15881 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:41:34

• VNM模型一大贡献在于引入期望的效用U（E(g））与效用的期望U（g）。个人认为，这个区分在经济思想上具有重要的意义。何为期望的 -marketreflections- ♂ (439 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:44:10

• 混态是非相干叠加,叠加态是相干的叠加 -marketreflections- ♂ (15944 bytes) () 10/10/2010 postreply 10:38:53

• 如果密度矩阵不能对易(包括非正交的纯态) , 则这样的量子信源既不能拷贝, 也不能广播[46 ] -marketreflections- ♂ (688 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:20:24

• 幺正变换,增益函数(变换) -marketreflections- ♂ (1695 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:23:53

• 用正变换和逆变换可以把信号从时域变换到频域或反过来 -marketreflections- ♂ (371 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:26:30

• 由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。所以，从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换 -marketreflections- ♂ (483 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:30:23

• 投影咚愠Ｊ恰覆荒軐σ椎摹梗╪on-commutable），所以先測量A再測量B與先測量B再測量A的結果常常是不一樣的。如右圖，C -marketreflections- ♂ (1064 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:39:54

• 投影片 - 格物窮理--台灣師大物理學系 - -marketreflections- ♂ (812 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:46:11

• 投影片 - 格物窮理--台灣師大物理學系 -位置是一個矩陣 -marketreflections- ♂ (18668 bytes) () 10/10/2010 postreply 18:58:00

• 在一個特定狀態，對位置或動量測量所得結果形成一個統計分布，. 計算這個分布的標準差，即是位置與動量的不確定性. 海森堡的測不準原 -marketreflections- ♂ (1104 bytes) () 10/10/2010 postreply 19:07:50

• 水木社区 均方差收敛 -marketreflections- ♂ (23105 bytes) () 10/11/2010 postreply 06:20:50

• 找魂 -marketreflections- ♂ (1057 bytes) () 10/11/2010 postreply 10:08:24

• 问题：寻找权值最大的哈密顿路径，权值包括三方面：岛屿本身权值，桥梁权值，三角权值,状态转移时，对当前状态考虑所有可能的最后两个岛 -marketreflections- ♂ (1052 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:13:33

• 劉維爾證明了，對於一個具有n 個自由度的哈密頓系統（相空間為2n），如果存在n 個獨立並且互對合的首次積分，那麼這個系統可用求積 -marketreflections- ♂ (3764 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:24:37

• 一阶性微分方程组 -marketreflections- ♂ (307 bytes) () 10/12/2010 postreply 12:12:36

• Logistic模型,种群不因传染病美绝,conservative field, bubble buyers are a lim -marketreflections- ♂ (433 bytes) () 10/12/2010 postreply 12:32:05

• 刘维定理：柯西定理 在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定； -marketreflections- ♂ (4522 bytes) () 10/12/2010 postreply 12:40:18

• 解析函数的整体性：边界值完全决定内部值；解析函数的可导性：一次可导 =>无限次可导。 -marketreflections- ♂ (278 bytes) () 10/12/2010 postreply 12:51:46

• 模数原理: 设l 为区域B 的边界线, f (z) 在B 内解析,在B 上连续,则f (z) 只能在边界l 上取得最大值. -marketreflections- ♂ (252 bytes) () 10/12/2010 postreply 12:55:45

• 刘维定理指出：这一区域尽管可以改变形状但体积不变。移动中相区域体积之不变性 -marketreflections- ♂ (193 bytes) () 10/12/2010 postreply 14:29:08

• 吴大猷：t0＜＜t1＜＜t2,玻耳兹曼方程 -marketreflections- ♂ (21002 bytes) () 10/12/2010 postreply 14:37:35

• 利用速度空间的矩（零、一、二阶矩对应等离子体的质量密度、动量流密度和能流密度），可推导出磁流体力学方程 -marketreflections- ♂ (621 bytes) () 10/12/2010 postreply 19:24:37

• LarryWilliams,内移交易日意味着市场进入了密集交易区 (图) -marketreflections- ♂ (323 bytes) () 10/12/2010 postreply 20:33:28

• McClelland Oscillator had another small change which means the l -marketreflections- ♂ (566 bytes) () 10/13/2010 postreply 08:17:39

• 动力学系统中的任意一个分量的演化都是受与之相互作用的其它分量影响的，动力学系统状态某一个分量的变化包含有足够的信息来反映整个吸引 -marketreflections- ♂ (8887 bytes) () 10/13/2010 postreply 12:46:44

• 什么是基带信号 什么是宽带信号 -marketreflections- ♂ (2058 bytes) () 10/13/2010 postreply 12:55:35

• 假定体系各自由度之间没有相互作用，则配分函数可按其自由度因式化 -marketreflections- ♂ (12802 bytes) () 10/14/2010 postreply 09:49:50

• 如果粒子间存在着不可忽略的相互作用，则配分函数不能简单按其自由度因式化。相互作用势能一般只与粒子的位置坐标有关，而与粒子的冲量无 -marketreflections- ♂ (211 bytes) () 10/14/2010 postreply 09:51:17

• 平衡性质 　一个与外界没有热量交换的封闭和孤立的气体体系，从宏观上看,经过一段足够长的时间后,所有“自发”的不可逆变化都会停止。 -marketreflections- ♂ (303 bytes) () 10/14/2010 postreply 09:52:39

• 如果粒子间存在着不可忽略的相互作用，则配分函数不能简单按其自由度因式化。相互作用势能一般只与粒子的位置坐标有关，而与粒子的冲量无 -marketreflections- ♂ (204 bytes) () 10/14/2010 postreply 09:53:41

• 碰撞的相互作用长度远小于分布函数发生明显变化的长度；碰撞的持续时间远小于分布函数发生明显变化的时间 -marketreflections- ♂ (98 bytes) () 10/14/2010 postreply 09:55:29

• 物理好图：二体问题 碰撞的相互作用长度远小于分布函数发生明显变化的长度；碰撞的持续时间远小于分布函数发生明显变化的时间 -marketreflections- ♂ (281 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:14:25

• 现代物理学所研究的碰撞问题大多是微观粒子之间的碰撞，这时粒子间的相互作用是非接触作用。例如分子或原子相互接近时，由于双方很强的相 -marketreflections- ♂ (19723 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:16:30

• 相对速度达到或超过光速时，这两个粒子之间不存在任何相互作用的力 -marketreflections- ♂ (4000 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:22:45

• 狭义相对论：粒子与绝对空间在运动速度不同时所表现出来的相互作用关系的不同，从而引起了粒子的存在性质（质量、寿命等）的变化 -marketreflections- ♂ (1705 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:26:44

• 广义相对论则是在弯曲空间的名义下，实际揭示的是：质量与空间的相互作用表现在质量大小的不同时，从而引起了质量对空间的反作用的不同（ -marketreflections- ♂ (187 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:29:52

• 不确实性原理：库仑力是以光速传播的,当一个粒子的库仑力传播到另一个粒子上(这需要时间),并对其起作用时,另一个粒子以不在原来的位 -marketreflections- ♂ (465 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:35:39

• 任一物理上合理的波函数Y(x)，都可向任一力学量 的本征函数系展开 -marketreflections- ♂ (30764 bytes) () 10/14/2010 postreply 13:21:27

• 本征函数族就相当于一组坐标系的基底,至于本征函数族要正交，这个要求并不是很强。就像描述一个矢量的时候，可以选择一组完备的基底，但 -marketreflections- ♂ (11736 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:12:27

• 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数 -marketreflections- ♂ (6266 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:40:09

• 波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符 -marketreflections- ♂ (261 bytes) () 10/14/2010 postreply 13:39:43

• 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数， -marketreflections- ♂ (282 bytes) () 10/14/2010 postreply 13:44:34

• 在线性空间V中引进了内积之后，就构成了欧氏空间,在欧氏空间里，我们才能考察向量的长度、向量的夹角等性质 -marketreflections- ♂ (228 bytes) () 10/14/2010 postreply 13:50:29

• 将量子力学"几何化"→在矢量空间中建立它的一般形式 -marketreflections- ♂ (532 bytes) () 10/14/2010 postreply 13:59:14

• 希尔伯特空间是一抽象的空间，如果在希尔伯特空间中选择不同的基底，就可以使量子力学原理有不同的表象 -marketreflections- ♂ (9847 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:08:11

• 物理好图：希尔伯特空间是我们研究微观世界的空间，由于空间中基底的选择不同，使的量子力学有不同的表象，又由于对时间演化的处理方法不 -marketreflections- ♂ (220 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:16:09

• 狄拉克总结了海森伯的用矩阵表示力学量的做法和薛定谔的按照德布罗意思想而在原子理论中引入了的态的概念，在希尔伯特空间中提出了自己独 -marketreflections- ♂ (470 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:17:56

• 有心力场中时，势能只是质点距力心距离的函数，而与方向无关，即）(rUU=在这种情况下，更方便的是采用球坐标系）,,(ϑ -marketreflections- ♂ (589 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:19:46

• 希尔伯特在研究积分方程时首先提出的，它定义了内积的概念，并把空间看作欧几里得空间向无限维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解 -marketreflections- ♂ (148 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:21:23

• 分离变量法,函数不含显时，保守场，或保守点，旋或源,本征函数展开 -marketreflections- ♂ (20452 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:27:34

• 积分方程解的物理意义. (1)本征函数 和激光横模. 本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的 -marketreflections- ♂ (15432 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:24:38

• 电磁场本征态：不随时间变化的稳态场分布 -marketreflections- ♂ (9062 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:29:18

• 第八章量子力学的积分形式与路径积分 积分形式 高斯定律、安培定律、法拉第定律 -marketreflections- ♂ (440 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:43:22

• 路径积分。 .... portfolio optimization -marketreflections- ♂ (335 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:45:35

• 物理好图 电磁场本征态：不随时间变化的稳态场分布,麦克斯伟方程组积分形式和微分形式的物理意义, 电位移 与场强 的关系 -marketreflections- ♂ (3644 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:58:17

• 数值计算中Maxwell方程的运用形式 -marketreflections- ♂ (269 bytes) () 10/15/2010 postreply 08:25:15

• 对电位移矢量D法向的边界条件推导，一般总是在分界面上取一个扁平的圆柱，而且这个圆柱的两个底面分别在两种介质中，然手利用积分形式的 -marketreflections- ♂ (3007 bytes) () 10/15/2010 postreply 08:47:40

• 高维、相依和不完全数据, 不完全边界 -marketreflections- ♂ (296 bytes) () 10/15/2010 postreply 09:50:19

• 时变场情况下,磁场仍是有旋场,但旋涡源除传导电流外, 时变场情况下,磁场仍是有旋场,但旋涡源除传导电流外,还 有位移电流. 有位 -marketreflections- ♂ (22637 bytes) () 10/15/2010 postreply 11:39:26

• 引入标量电位和矢量磁位来分离方程中的电场量和磁场量,形成所谓的位函数方程（势函数方程） -marketreflections- ♂ (35 bytes) () 10/15/2010 postreply 11:41:21

• bidu weekly 10 week ma (图) -marketreflections- ♂ (2734 bytes) () 10/15/2010 postreply 14:22:08

• 这表示：标量场在某点的梯度,数值上等于φ沿等值面的法向导数，其方向与φ的等值面垂直（沿φ增加最快的方向）. -marketreflections- ♂ (8257 bytes) () 10/15/2010 postreply 15:03:58

• 物理好图 北京航空航天大学电磁场理论教学团队 电磁场理论讲稿 -marketreflections- ♂ (294 bytes) () 10/15/2010 postreply 15:16:10

• 物理好图 北京航空航天大学 电磁场理论 -marketreflections- ♂ (135 bytes) () 10/15/2010 postreply 16:03:01

• 标量场在某点的梯度 微分算符（读作“del” ）,电磁学网上课堂,黄迺本 -marketreflections- ♂ (8182 bytes) () 10/15/2010 postreply 16:50:02

• 百度的突破性理念——“框计算”， -marketreflections- ♂ (11599 bytes) () 11/23/2010 postreply 05:58:07

• netgear 192.168.1.1. -marketreflections- ♂ (2047 bytes) () 11/24/2010 postreply 03:13:56

• 如电磁场的性质可以用电场强度和磁场强度或用一个三维矢量势A(X,t）和一个标量势嗘(X,t）描述〕。这些场量是空间坐标和时间的函 -marketreflections- ♂ (3250 bytes) () 10/15/2010 postreply 14:39:45

• 对应描述场的标量势函数,一定存在定义在空间上的矢量强度函数,二者可以通过微分算子∇相互联结 -marketreflections- ♂ (32108 bytes) () 10/15/2010 postreply 14:43:47

• 當傳播中的輻射，像光波、音波、電磁波、或粒子，在通過局部性的位勢時，由於受到位勢的作用，必須改變其直線軌跡，這物理過程，稱為散射 -marketreflections- ♂ (5657 bytes) () 10/15/2010 postreply 14:50:42

• 差分法计算区域内的电位、电场强度，绘制等位线 -marketreflections- ♂ (195 bytes) () 10/18/2010 postreply 08:21:13

• 被激发的电离气体电离到一定程度后，便处于导电状态，这种状态的电离气体表现出集体行为，即电离气体中每一带电粒子的运动，都会影响其周 -marketreflections- ♂ (23307 bytes) () 10/18/2010 postreply 09:09:44

• 黄雅山：实物体与能量场（含电子场、电磁场、磁场、引力场、介子场等量子场）是两种不同形态存在方式，凡是聚集态的实物体结构都具有相应 -marketreflections- ♂ (6785 bytes) () 10/18/2010 postreply 09:23:18

• 保守场就是以某种形式对于奇点上趋于无限大的“核函数”的空间积分，这个空间积分域只有包含“奇点”时，才有确定的值，这就是逻辑的“明 -marketreflections- ♂ (21481 bytes) () 10/18/2010 postreply 10:12:14

• 牛顿-莱布尼茨积分分布密度函数 -marketreflections- ♂ (832 bytes) () 10/19/2010 postreply 12:28:39

• Schordinger 放弃了原来的二阶方程呢？简单地说，是因为求解二阶方程需要两个初始条件，一个是波函数本身，另一个是波函数对 -marketreflections- ♂ (5494 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:32:28

• 波动方程—— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性 -marketreflections- ♂ (267 bytes) () 10/19/2010 postreply 14:58:58

• 物理好图 泊松方程和拉普拉斯方程 在引力体系中，每一质点的质量除以它们到任意观察点P的距离,并且把这些商加在一起，其总和即P点的 -marketreflections- ♂ (2335 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:42:57

• 拉普拉斯方程分离变量法 实际应用电磁 -marketreflections- ♂ (257 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:47:26

• 傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息 拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用,z变 -marketreflections- ♂ (743 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:51:06

• 泊松方程的格林函数法：用叠加的方法计算任意源产生的场 -marketreflections- ♂ (362 bytes) () 10/19/2010 postreply 14:25:50

• “偏微分方程进入理论物理学 时是婢女，但逐渐变成了主妇， ”麦克斯韦在这一转变中起了重要的作用 -marketreflections- ♂ (20493 bytes) () 10/19/2010 postreply 14:34:05

• 物理中的向量场 势,流函数,一个动力系统就是一个向量场 -marketreflections- ♂ (4685 bytes) () 10/21/2010 postreply 04:47:48

• 拉普拉斯函数 1-1.ppt -marketreflections- ♂ (55 bytes) () 10/21/2010 postreply 05:07:10

• 开普勒问题的运动轨道，其形状与取向，可以用 LRL 矢量决定 -marketreflections- ♂ (15242 bytes) () 10/21/2010 postreply 12:21:29

• 一个不受外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的 -marketreflections- ♂ (6600 bytes) () 10/21/2010 postreply 16:57:11

• 粒子从静止或匀速直线运动的初始条件开始，这一系统内就不会产生力的有旋分量 -marketreflections- ♂ (311 bytes) () 10/22/2010 postreply 12:52:38

• 与物理时空对应的就是量器或度量标准，而与逻辑时空对应的则是如何确定时间空间量度的规则 -marketreflections- ♂ (1010 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:41:23

• 牛顿理论中时间与空间的分离,对物质运动过程的瞬时观察和描述 -marketreflections- ♂ (192 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:45:29

• 欧拉所引入的复数：在实数集中，所有波动的问题时间和空间是不能分离的，这将给数学分析带来困难，而复域中所有波函数时间和空间是分离的 -marketreflections- ♂ (787 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:52:36

• 如果只考虑有旋力，即在牛顿理论的框架内，就会推导出热力学第二定律和出现宇宙热寂说。只要物理系统中一加入旋量场 (或涡量场) ，所 -marketreflections- ♂ (156 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:58:47

• 引力场只是实体物质的背景场，它与实体物质保持瞬时的互动关系。 从牛顿理论的超距作用和爱因斯坦把引力场作为空间来处理都为了保持瞬时 -marketreflections- ♂ (15270 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:06:46

• 引力场，或者所有其它的场，相互之间只有线性叠加，而不会发生相互作用，所以说每一个引力场都存在与整个宇宙也不会再对物质的存在形式产 -marketreflections- ♂ (138 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:08:14

• 当我们考虑实际的宏观物质时，只要求这种宏观物质是电中性的，允许物质的形状和质量可以有线性范围内的变化，既允许在小的时间间隔内发生 -marketreflections- ♂ (14895 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:13:13

• 有了极性才能产生散度以外的力。也就是说有了极性才使外积与某种物理存在产生确定的对应关系。当然这种外积是指三维物理空间上的外积，任 -marketreflections- ♂ (190 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:21:44

• 背景场时表示实物存在本身的一种外延性质，它当然也是可以随实物一起运动的，但是其形状是不随时间而变化的，所以波方程中时间微分项为零 -marketreflections- ♂ (1352 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:27:04

• 光没有加速度，所以惯性质量自然没有物理内容 -marketreflections- ♂ (78 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:32:36

• 电子没有中性物质的那种引力质量，而被电磁力的质量所代替,电磁力有无旋的和有旋的两种力，电子运动既有定向运动又有旋涡运动 -marketreflections- ♂ (528 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:50:37

• 加速度相对于社会，人因此才有感觉，社会动物,相对论 -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:35:06

• 在爱因斯坦时代把它看成时间和空间的四维几何是完全可以理解的，由于那个时代还没有对于偏微分方程的一般数学理论，如线性微分算子、线性 -marketreflections- ♂ (298 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:39:30

• 对空间（流形）微分写相互作用场 在流体力学中我们已经看到了力学家怎样通过微团模型在流体中造出微观和宏观的两重空间，实际上它的微观 -marketreflections- ♂ (276 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:44:28

• 牛顿关于质量或惯性的假设，麦克斯韦关于位移电流的假设，爱因斯坦的光速不变性和相对性原理的假设都是一样 -marketreflections- ♂ (139 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:55:13

• 气缸中与飞机相作用的燃烧后的粒子的质量。这种燃烧过程中产生的粒子显然可以出现两种不同的运动状态：一种是与牛顿力 (这里是指瞬时作 -marketreflections- ♂ (1028 bytes) () 10/22/2010 postreply 16:04:20

• 柏拉图以及与它他同时代的希腊人有它们自己的对于“匀速和规则运动的看法。既然匀速圆周运动被认为是所有运动中最完美、最对称的运动，所 -marketreflections- ♂ (242 bytes) () 10/22/2010 postreply 16:14:49

• 开普勒三定律,时间,常数，本证运动 -marketreflections- ♂ (926 bytes) () 10/22/2010 postreply 16:18:54

• 在一般的初始条件下是得不到稳定解的 (图) -marketreflections- ♂ (21063 bytes) () 10/22/2010 postreply 19:29:02

• 矢量波函数空间中的物理量在空间是连续的，而它在欧氏空间的特定的点上的值不满足任何的守恒规律，不代表任何真实的物理量。 也许有人会 -marketreflections- ♂ (12370 bytes) () 10/22/2010 postreply 19:55:55

• 其实我们现在也应该知道所谓瞬时的测量实际上也只是某一时间段测量的平均 (或某种自然的加权平均 )，人的眼睛和大脑实际上就在不断地 -marketreflections- ♂ (276 bytes) () 10/22/2010 postreply 19:59:51

• http://whengeniusprevailed.com/ must read there wasn’t much for -marketreflections- ♂ (87 bytes) () 10/23/2010 postreply 07:49:52

• 如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性 -marketreflections- ♂ (14831 bytes) () 10/23/2010 postreply 08:39:59

• 去垂直与E的人一直线l以及l上的任意一点p，那么此时在l上（在E的另一侧）就存在一点p′(且只存在一点p′)与E有同样的距离。仅 -marketreflections- ♂ (7677 bytes) () 10/23/2010 postreply 09:29:40

• 相位因子 微分对运动界面变化的揭示 -marketreflections- ♂ (14078 bytes) () 10/23/2010 postreply 10:21:07

• 任何一个系统只要存在不可控的干扰，那么这个系统都是趋于发散而最终不稳定的，这一点，无论暂态的平衡性，因为暂态可能是小范围的 -marketreflections- ♂ (643 bytes) () 10/23/2010 postreply 16:29:38

• "双侧对称性自同构纤维" -marketreflections- ♂ (3607 bytes) () 10/23/2010 postreply 10:36:23

• 电势和磁矢量势共同形成一个四维矢量 google 矢量势梯度 -marketreflections- ♂ (4006 bytes) () 10/23/2010 postreply 08:45:03

• "矢势梯度"，电磁化，等离子突破，正反馈，指数化 -marketreflections- ♂ (99 bytes) () 10/23/2010 postreply 10:04:42

• 绝对速度正是相对论所必须回避的，因为这曾被看作正是相对论必须对牛顿理论进行改革的出发点。所以爱因斯坦把引力场不再看成是物理量，而 -marketreflections- ♂ (306 bytes) () 10/22/2010 postreply 12:58:16

• 如果函数f(x,y)在点可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 -marketreflections- ♂ (267 bytes) () 10/21/2010 postreply 06:08:59

• 高维力学系统：位移对时间的导数是速度,速度对时间的导数是加速度,加速度的导数? -marketreflections- ♂ (420 bytes) () 10/21/2010 postreply 12:11:35

• a lot of churning and no price movement,on a very strong market -marketreflections- ♂ (1504 bytes) () 10/21/2010 postreply 07:30:58

• 微分就是微能量元，流形，能量质量时间空间守恒，有进有出或有源，旋度，梯度，各向同性 -marketreflections- ♂ (184 bytes) () 10/21/2010 postreply 13:23:50

• 太阳光是纯粹的能量(没有质量的能量，或熵为0的能量状态)，怎样利用是要作很好的基础性研究的;能源和能量是两个不同的概念，地球正在 -marketreflections- ♂ (1213 bytes) () 10/22/2010 postreply 11:27:23

• 电介质极化　　外电场作用下，电介质显示电性的现象 -marketreflections- ♂ (895 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:26:19

• 有电就有磁,磁矩: 粒子自旋通常都会使它带有磁矩，这样它就像一块小磁铁，在有梯度的磁场中它就会受力偏转（打到接收屏上后一般都明显 -marketreflections- ♂ (1162 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:29:38

• 磁有两个来源，电子和一些自旋不为零粒子 -marketreflections- ♂ (38 bytes) () 10/19/2010 postreply 15:26:28

• 投资回报是资本家（或企业家）唯一的效用,资产价格的泡沫本质上是人的一种宣泄,人民币内在升值压力来自于经济超速增长，进来的钱是博资 -marketreflections- ♂ (3441 bytes) () 10/20/2010 postreply 14:05:02

• 路线整体向左的方向定了，开始拆庙了 [ 绝顶清风 -marketreflections- ♂ (751 bytes) () 10/20/2010 postreply 19:46:52

• 历次社会的大变革都毫不例外的从土地开始 [ 绝顶清风 ] -marketreflections- ♂ (663 bytes) () 10/21/2010 postreply 04:55:34

• 假定资本家这样的理性经济人的信息量为无穷大，理性分析能力为无穷大的微观经济学里面，当然，效用也就等同于效益了 -marketreflections- ♂ (1543 bytes) () 10/20/2010 postreply 20:09:49

• 正电子是不稳定粒子，遇到电子会与之发生湮灭,放出两个伽玛光子(gamma ray photon)，每个能量为0.511MeV -marketreflections- ♂ (2293 bytes) () 10/20/2010 postreply 16:28:01

• 强大的核力维持原子核的稳定性. 弱相互作用. 导致基本粒子的不稳定,引起衰变 -marketreflections- ♂ (601 bytes) () 10/20/2010 postreply 16:35:04

• 赵亮：在科大初学《量子场论》 -marketreflections- ♂ (4745 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:32:05

• 人脑中分析信息的亿万个神经元，参与的也是电磁相互作用,也参与弱、引力其他两种相互作用 -marketreflections- ♂ (642 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:38:58

• 在所有情况下，包括恒定电流情况下，能量都是在场中传播的。但是在低频情况下，由于场与线路中电荷和电流的关系比较简单，因而场在线路中 -marketreflections- ♂ (4879 bytes) () 10/15/2010 postreply 08:30:08

• 电磁场本征态：不随时间变化的稳态场分布 电位移 与场强 的关系,当已知自由电荷的分布时，可先由高斯定理求出 ，再由上式求出电介质 -marketreflections- ♂ (1952 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:55:37

• 在结合不同表象下不变的基本关系——对易关系，量子力学理论就可以在希尔伯特空间中以抽象的形式基本建立起来了，我们就可以在这个空间中 -marketreflections- ♂ (146 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:30:22

• 关于能量表象，我们接触的比较多的一种常见的能量表象是谐振子的能量表象，也可以把它称作占有数表象。我们知道在不同的哈密顿形式下，就 -marketreflections- ♂ (446 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:49:45

• 考虑一个用波包 描述的量子态，它由许多平面波叠加而成，其中每一个平面波（～ ）描述具有确定动量 的量子态（动量本征态） -marketreflections- ♂ (2839 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:58:11

• 动量本征值方程的解：. 它就是 的单色平面波，在量子力. 学中，平面波代表粒子有确定的动量、在. 空间各处出现的几率相同的状态 -marketreflections- ♂ (262 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:05:13

• 希尔伯特空间 薛定谔绘景中引入量子力学几大基本假设的，但是与此同时，我们知道量子力学有另外一套同时建立的表示形式，那就是海森堡的 -marketreflections- ♂ (218 bytes) () 12/07/2010 postreply 03:49:57

• 希尔伯特空间是由伟大的数学家希尔伯特提出来的一个模有限的无限维复线性空间 -marketreflections- ♂ (72 bytes) () 12/07/2010 postreply 03:51:57

• 吴中祥 希尔伯特空间一个模(大小（模长）)有限的无限维复线性空间,大小（模长） -marketreflections- ♂ (4433 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:04:06

• 对易关系的不变性：一般可以简单的将坐标定义为描述空间位置的变量，却无法简单的将动量定义为质量和速度的乘积，我们必须从物理本质上去 -marketreflections- ♂ (1410 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:10:16

• 解决能量表象中的问题，有时候我们还需要从海森伯矩阵力学出发，或者换句话我们可以这样说，由于我们研究的能级是不连续的，所以薛定谔波 -marketreflections- ♂ (344 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:13:27

• "波函数常数因子不定性位相因子不定性" -marketreflections- ♂ (2870 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:34:33

• 粒子受到的势场决定:V>E束缚态；V<E自由态;几率流密度矢量 -marketreflections- ♂ (5798 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:37:36

• 在解原子周围电子波函数时，波函数可以分解为两个独立的部分，分别是径向部分R（r）和角度部分Y（φ，θ），电子径向概率分布就等于R -marketreflections- ♂ (2263 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:52:21

• 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子：粒子受到的势场决定:V>E束缚态；V<E自由态;几率流密度矢量;经典力学中，固有性 -marketreflections- ♂ (13046 bytes) () 12/07/2010 postreply 09:02:17

• 物理好图 pku.edu.cn 第五章 波函数与薛定谔方程 -marketreflections- ♂ (1446 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:43:11

• 只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的 -marketreflections- ♂ (683 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:48:14

• 物理好图 让所有的投资者（各有各的世界观维度）统一行动:只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的 -marketreflections- ♂ (583 bytes) () 12/10/2010 postreply 09:47:36

• 位置x及其函数V的内积 -marketreflections- ♂ (436 bytes) () 12/07/2010 postreply 05:01:07

• 物理好图 态函数及其演化方程 -marketreflections- ♂ (36 bytes) () 12/07/2010 postreply 05:05:13

• 物理好图 理论物理导论教学网页 微观粒子 能够在空间很小的范围和很短的时间内被整个观察到而不包含经典粒子具有轨道的运动特征 -marketreflections- ♂ (20497 bytes) () 12/07/2010 postreply 05:35:48

• 黑体子外灾难 有重物质 粒子每个自由度有限用位矢和速度描写,光电磁辐射 场自由度无穷用三维空间的连续函数描写 -marketreflections- ♂ (17080 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:03:52

• 当光和物质相互作用时光的能量在空间中不是连续分布的而是表现为个数有限的局限在空间某些点的能量子这些能量子......不能再分割而 -marketreflections- ♂ (3615 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:38:55

• q 为某一自由度p 为该自由度相应的广义动量积分在一个运动周期内进行 -marketreflections- ♂ (64 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:41:11

• 物理好图:两体到两体反应的运动学 Mandelstam不变量s, t, u ,s: 质心系总能量的平方 , 两体到两体反应的运 -marketreflections- ♂ (946 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:45:14

• 数学物理好图：苏剑林 《方程与宇宙》:拉格朗日点的点点滴滴(四) -marketreflections- ♂ (1334 bytes) () 12/07/2010 postreply 09:26:53

• 二体问题中关于能量和角动量 -marketreflections- ♂ (119 bytes) () 12/07/2010 postreply 09:33:33

• 光子为什么有角动量？带电原子除了具有电荷和质量自由度，还存在第三个自由度，这一自由度就是电子的自旋 -marketreflections- ♂ (2799 bytes) () 12/07/2010 postreply 10:00:50

• 麦克斯韦方程描述的是矢量场，对矢量场量子化必然得到自旋为1场量子 -marketreflections- ♂ (624 bytes) () 12/07/2010 postreply 10:13:21

• 原子核外电子排布 -marketreflections- ♂ (265 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:45:15

• 某些自由度可隐藏在体系内部，它仅在一定条件下才被激发出 -marketreflections- ♂ (1521 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:47:19

• 近似能级图实际上只反映同一原子外电子层中原子轨道能级的相对高低，而不一定能完全反映内电子层原子轨道能级的高低 -marketreflections- ♂ (346 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:53:23

• 原子内部自由度和外部自由度演化：内部自由度而言，其时间标度具有激发态的自然寿命(r )的量数,而外部自由度，其时间标度的量级为l -marketreflections- ♂ (8307 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:58:47

• 外界影响小于能级差，系统哈密顿仍然时间对称 -marketreflections- ♂ (246 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:09:09

• 物理好图 周飞 王玲丽 ：薛定谔猫是一个宏观物体,它具有非常大的状态空间和特别密集的能谱.例如,我们假设"猫"是由N 个二能级原 -marketreflections- ♂ (6194 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:19:50

• 物理好图 冯·诺意曼投影或波包塌缩和波函数约化.图形象地加以说明 -marketreflections- ♂ (12982 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:29:40

• 物理好图 孙昌璞： Φ 1 和 Φ 2 是物理体系的两个可能状态相干叠加 Φ = Φ 1 +Φ 2 ,空间表示的模平方|Φ |2 -marketreflections- ♂ (24675 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:44:20

• 能级是不连续的，所以薛定谔波动力学在这里已经不适用了，薛定谔波动力学一般都是建立在薛定谔方程的基础上，我们不能用薛定谔方程，即一 -marketreflections- ♂ (560 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:30:09

• 原子的存在时间比宇宙寿命长? 时间在普朗克维度下无意义 -marketreflections- ♂ (2431 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:34:07

• "希尔伯特空间能级不连续" -marketreflections- ♂ (3069 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:36:45

• 物理好图 ：量子力学数学形式表述的由来和特点 量子力学里原子客体的状态可改变的方式有二：其一，在未受观察的干扰时，在严密的因果律 -marketreflections- ♂ (10840 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:56:32

• 兔子在兔子更多的地方繁殖更快：该特征值方程的解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ -marketreflections- ♂ (21224 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:06:32

• 共轭特征向量 在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态 -marketreflections- ♂ (375 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:09:01

• 薛定谔方程 束缚於氢原子内的电子的波函数可以视为氢原子的哈密顿算子的特征向量，同时也是角动量算子的一个特征向量。它们对应於能级( -marketreflections- ♂ (1270 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:15:50

• 马克思生产价格方程组 第一, 有唯一一组利润率和相对生产价格的正实数解 第二, 这个解是由生产耗费矩阵A 所决定的。 -marketreflections- ♂ (4122 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:23:40

• 实际上决策层对王八拳的后遗症心知肚明，不寒而栗 -marketreflections- ♂ (4754 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:30:42

• 物理好图：：不确实性原理：库仑力是以光速传播的,当一个粒子的库仑力传播到另一个粒子上(这需要时间),并对其起作用时,另一个粒子以 -marketreflections- ♂ (4639 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:08:24

• 动量算符的本征值，在直角坐标系下实数;动量本征值方程的解：单色平面波,复空间,粒子有确定的动量、在空间各处出现的几率相同的状态 -marketreflections- ♂ (150 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:13:20

• 束缚在定态不随时间变化，也不与外界交换能量。当有扰动时将从一个定态跃迁到另一个定态,跃迁过程的波函数可由态的叠加原理给出 -marketreflections- ♂ (400 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:16:52

• 量子力学“一次量子化”中并没有做完：首先，它的时空背景是Euclid -marketreflections- ♂ (2977 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:34:15

• 物理好图：玻茲曼 理論統計力學上常討論的系統是硬球模型(Hard Sphere)，當兩個球狀粒子球心之間距離等於半徑和時，之間作 -marketreflections- ♂ (13009 bytes) () 11/27/2010 postreply 09:31:24

• 拉普拉斯方程：描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 ... 成立就可使得柯西-黎曼方程 -marketreflections- ♂ (1401 bytes) () 10/12/2010 postreply 12:44:17

• 劉維,也就是說如果能知道n 個沒有重複的訊息，我們就可以對系統完全瞭解,保守场 -marketreflections- ♂ (435 bytes) () 10/12/2010 postreply 13:20:13

• 冼卓鹏：利用熵增加原理、推导出组成物质的最基本粒子是光子 -marketreflections- ♂ (283 bytes) () 10/12/2010 postreply 14:51:22

• 香农,熵和信息的一个守恒定律熵和信息有一个守恒定律，就是一个体系的信息与熵的和保持守恒，并等于该体系的最大信息或最大熵 -marketreflections- ♂ (12649 bytes) () 10/12/2010 postreply 14:53:55

• 10/11/2010 Market Recap: VIX to VXV Ratio Hit Record Low (图) -marketreflections- ♂ (233 bytes) () 10/12/2010 postreply 18:56:30

• 相空间是指反映系统嵌入维的向量空间,将时间序列中的点序列根据嵌入维转换成相空间中的点,这些点组成的轨迹就是反映系统规律的吸引子 -marketreflections- ♂ (11245 bytes) () 10/13/2010 postreply 12:30:05

• 相空间是指以"时间"为横坐标, 相空间是指以"时间"为横坐标, 频域"为纵坐标的欧氏空间, "频域"为纵坐标的欧氏空间,而相空 -marketreflections- ♂ (8755 bytes) () 10/14/2010 postreply 06:57:23

• 有效窗口宽度Dt越小,对信号的时间定位能力越强,给定能量下的最佳逼近 -marketreflections- ♂ (94 bytes) () 10/14/2010 postreply 07:53:38

• 拉氏变换不仅像傅立叶变换一样提取了信号的频率信息，另外还提取了信号幅度变化的信息， -marketreflections- ♂ (1422 bytes) () 10/14/2010 postreply 08:24:59

• 被截断后的频谱不同于它加窗以前的频谱, monthly chart! -marketreflections- ♂ (319 bytes) () 10/14/2010 postreply 09:17:08

• 電位變化與粒子的相空間分布改變量，兩者達到平衡. 態時，我們可以直接給予一個不隨時變的電位結構 -marketreflections- ♂ (49105 bytes) () 10/12/2010 postreply 19:15:48

• f 是相空间分布函数（概率密度） -marketreflections- ♂ (274 bytes) () 10/12/2010 postreply 19:18:28

• 可积系统的相空间总可以用不变环面来分层（或者说具有叶层构造），而且每个环面都具有与自由度相同的维数 -marketreflections- ♂ (5155 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:33:05

• 狭义相对论：时空存在一个特征速度，这个速度在坐标变换前后是不变的（所以叫“特征”速度）。由此，加上一些其它上的物理要求，我们就可 -marketreflections- ♂ (7489 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:38:55

• 本从从广义相对论的拉氏量出发，通过时空的3+1分解来得到其基本场量和正则共轭动量，并且最终得到广义相对论的哈密顿量，以及对应的四 -marketreflections- ♂ (135 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:40:15

• 物理好图：第六章 低速宏观运动规律的正则形式 -marketreflections- ♂ (9604 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:42:33

• 构造四维正则动量 -marketreflections- ♂ (325 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:46:24

• 正则坐标和正则动量,通过柏松括号,逻辑推导，刘维定理,勒让德变换把广义速度换成了广义动量貌似 -marketreflections- ♂ (3876 bytes) () 10/11/2010 postreply 20:50:49

• 正则量子化是针对经典场而言的。首先将经典场纳入正则形式（即哈密顿形式），并得到其共轭场。量子化就是将经典场及其共轭场看作希尔伯特 -marketreflections- ♂ (2377 bytes) () 10/11/2010 postreply 21:02:14

• 粒子是相应的场的一种激发态，反粒子是相应的复共轭场的一种激发态。 -marketreflections- ♂ (268 bytes) () 10/11/2010 postreply 21:09:59

• 數據誤差處理,物理的可重複性與確定性完全喪失！ 電子除了波函數已沒有其它的性質可以進一步來標定它區分它。 -marketreflections- ♂ (21107 bytes) () 10/10/2010 postreply 19:13:31

• 尤拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）建立了牛頓力學的數學架構，雅可比（Jacobi）將費瑪（Fermat）最少時間原 -marketreflections- ♂ (4258 bytes) () 10/10/2010 postreply 04:59:19

• 所谓动力系统，就是一个集合上的单参数变换群，或者一个相流。有离散动力系统和连续动力系统之分。 -marketreflections- ♂ (14432 bytes) () 10/09/2010 postreply 11:24:01

• 正则变换：也就是说，Q成为循环坐标，与其共轭的广义动量P变成常数。这也可以说是对谐振动进行变换，使之变为一种匀速运动。进一步变换 -marketreflections- ♂ (687 bytes) () 10/09/2010 postreply 11:26:31

• 互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示“挪”了多少的“距离”，比如一 个信号不动，另一个以起点开始“错动”，“挪”到某点时， -marketreflections- ♂ (6172 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:14:20

• 周期性方波的分解t 直流分量t 基波t 三次谐波 -marketreflections- ♂ (255 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:32:49

• 纯交流就是傅立叶展开后直流分量为零时，直流分量就是频率为零的能量分布情况。 -marketreflections- ♂ (5922 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:41:42

• 交流电，大小和方向随时间作周期性变化,有示波器的话看一下会明白 -marketreflections- ♂ (364 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:51:03

• 不同电源的非静电力不同，对于干电池而言，这种非静电力是化学亲和力 -marketreflections- ♂ (708 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:54:01

• E{XY}称为随机变量X和Y的互相关，若为0, 正交。 -marketreflections- ♂ (2108 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:19:43

• 正交：X^H * Y = 0 ( X^H 向量X的共轭转置）； -marketreflections- ♂ (2108 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:20:57

• 在信号空间的这样一种表示系统下，相似性的度量工具自然就是内积了。在信号空间中，还有一个表示信号的形似性的工具就是欧氏距离 -marketreflections- ♂ (1520 bytes) () 10/08/2010 postreply 09:23:34

• 协方差和试验结果之间存在直线回归关系，就可利用这种直线回归关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的结果，使得处理间的比较能在 -marketreflections- ♂ (1769 bytes) () 10/10/2010 postreply 02:19:18

• 何祚庥 事物的客观实在性要在四度时空里来定义。某个事件在不同的三度的惯性坐标中会表现出不同的行为，但是在四度时空的描述中，却有 -marketreflections- ♂ (31102 bytes) () 10/07/2010 postreply 16:25:12

• 路径”的时空间隔涵义使其成为分形时空的基础，同样，时间、空间间隔使其可以定义粒子的速度．这意味着传播子中同时包纳了时空量和能量、 -marketreflections- ♂ (611 bytes) () 10/07/2010 postreply 18:24:14

• 张璞扬力学 在本征参考系中进行的测量称为本征测量或原测量，测得的长. 度、时间间隔为本征长度或固有长度、本征时间间隔或固有时. -marketreflections- ♂ (187 bytes) () 10/07/2010 postreply 18:21:51

• 密度矩阵出发的对量子测量 直接明了地描述统计系综,2.用密度矩阵不仅可以方便地描述封闭系统的状态演化，更可以很方便地描述开放系统 -marketreflections- ♂ (1112 bytes) () 10/07/2010 postreply 15:41:17

• 多元函数积分学,由格林公式可导出平面曲线积分与格经无关的充要条件，从而给出了平面保守场的特征刻画；可导出二元函数全微分求积的判定 -marketreflections- ♂ (239 bytes) () 10/07/2010 postreply 12:00:17

• 平面保守场 -marketreflections- ♂ (286 bytes) () 10/07/2010 postreply 12:11:09

• 若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数 -marketreflections- ♂ (1269 bytes) () 10/07/2010 postreply 12:14:31

• 物理好图 “调和场的势函数必满足Laplace方程.” ,散度是单位体积上的发散量的极限 -marketreflections- ♂ (8336 bytes) () 10/07/2010 postreply 12:29:09

• 《一位老工程师的前沿物理科普贴》 -marketreflections- ♂ (44 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:13:53

• 水分子中得到能量较多的分子运动速度比其它水分子快，这就产生了后面的水分子涌到了前面的水分子上面形成了水波峰 -marketreflections- ♂ (6113 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:20:23

• 在牛顿绝对时间、绝对空间中万有引力是以无限速度传递的，而电磁波是以有限速度传播的、当时已经认定光也是电磁波中的一种。 -marketreflections- ♂ (1577 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:32:39

• 引力场方程明白显示出宇宙决非是静止的，他却满怀忧心地为此在自己的引力场方程中，特地引进了一项宇宙常数，而心安理得地将宇宙禁锢于稳 -marketreflections- ♂ (646 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:34:28

• 测不准关系,玻尔根据广义相对论中的等效原理，钟在重力场发生位移时，它的快慢会发生变化，因而粒子跑出时钟随盒子在重力场不可避免地产 -marketreflections- ♂ (1397 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:39:22

• 黑洞的面积定律；随着时间的增加面积不减 -marketreflections- ♂ (950 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:44:49

• 超弦理论最大的特点是,时空坐标是以场量的形式出现的,而不象一般的场论中时空 坐标是参数空间 -marketreflections- ♂ (4545 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:53:57

• Hawking的"量子引力"也只能称为弯曲空间量子场论.超弦的量子化 就是说,场量(时空座标）被解释为态空间的算符. 正是因为时 -marketreflections- ♂ (175 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:55:14

• 粒子已不再是占有空间的点，而是只有长度的，像是一根无限细的弦一样的东西。没有这如同银河系一般大的加速器，我们就无法进入4维之外的 -marketreflections- ♂ (619 bytes) () 10/07/2010 postreply 13:57:27

• 哈密顿HJE 是唯一能夠將粒子邉颖磉_為波動的一種力學表述,一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为 -marketreflections- ♂ (25092 bytes) () 10/15/2010 postreply 18:16:59

• 粒子的邉勇窂骄哂泄饩 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 10/15/2010 postreply 18:19:25

• 哈密顿, 方向余弦必须是某函数的梯度 -marketreflections- ♂ (11160 bytes) () 10/15/2010 postreply 18:23:25

• 哈密顿, 方向余弦必须是某函数的梯度 粒子，运动于一个保守的位势 。 -marketreflections- ♂ (20598 bytes) () 10/15/2010 postreply 18:28:20

• 微扰对某能级波函数的影响是'掺和'进其他能级的波函数，影响大小与能量差的倒数成正比,零点能的存在， 称为基态能量 -marketreflections- ♂ (920 bytes) () 10/16/2010 postreply 08:12:29

• 量子物理通俗讲座,100讲（100小时）概括从经典力学到量子场论的发展 -marketreflections- ♂ (20157 bytes) () 10/16/2010 postreply 17:16:51

• 庞小峰：知道粒子所处的势场就能决定粒子在任何深刻，任何地点的状态和特征,Schr&ouml;dinger 方程得不到一个在时-空 -marketreflections- ♂ (44112 bytes) () 10/16/2010 postreply 17:49:49

• 于孤立子的形成是体系或粒子系的内因决定的。在（2）式色散项（ψ222&#8711;&#8722;mη）是表示粒子动能项，它表示了 -marketreflections- ♂ (5905 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:09:21

• 准粒子时说过“牵一发而动全身”， 强调准粒子激发是系统整体的行为l巴丁的约化哈密顿本质上是对电声子相互作用的二阶微扰的 结果。从 -marketreflections- ♂ (359 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:15:19

• "哈密顿主函数" -marketreflections- ♂ (2555 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:19:26

• 用牛顿运动定律描述力学体系的运动，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性 -marketreflections- ♂ (13249 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:21:05

• F=ma（牛顿第二定律）关于位置x的二阶微分方程,波动方程!要想在某一时刻同时测量出全世界所有粒子的位置和速度是不可能的，但这种 -marketreflections- ♂ (20512 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:25:28

• 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数. 的阶数, 称为微分方程的阶. -marketreflections- ♂ (298 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:45:03

• 电磁场算子方程：电位移线对封闭曲线的通量没有贡献,涡旋场，对封闭曲面无贡献 -marketreflections- ♂ (12310 bytes) () 10/16/2010 postreply 18:55:11

• 高斯定理：在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通 -marketreflections- ♂ (817 bytes) () 10/16/2010 postreply 19:00:39

• 静电场是有源场：凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾 -marketreflections- ♂ (2529 bytes) () 10/16/2010 postreply 19:03:27

• 静电场是有源场：根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和 -marketreflections- ♂ (78 bytes) () 10/16/2010 postreply 19:37:25

• 标量场是张量场代数中的标量 -marketreflections- ♂ (26 bytes) () 10/16/2010 postreply 19:39:18

• 叉乘使两个向量变成一个新向量，并与原来两个向量组成的平面垂直。向量微积分：只要向量是随空间和时间连续变化的，就可以对它求微积分。 -marketreflections- ♂ (12056 bytes) () 10/16/2010 postreply 19:50:04

• 叉乘,弯曲右手手掌(称赞别人时所做的动作)，拇指向外，另外四指弯曲的方向与从a到b的转角方向相同，拇指所指的方向即是a×b的方向 -marketreflections- ♂ (321 bytes) () 10/16/2010 postreply 19:54:45