[PPT] 量子若干基本问题研究的新进展 - PowerPoint Presentation文件格式: Microsoft Powerpoint - HTML 版
例如,我们假设“猫”是由N 个二能级原子组成;每个粒子的基态能量为0 ,而激发态的能量为E ,则猫的总能量必处于0 和N E 之间,而可能存在的不同状态总数为2 N ,则平均能量 ...
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量子若干基本问题研究
的新进展
刘富才
材料物理专业
０３１０２６０
以量子力学为核心的量子物理,不仅代表了人类对微观世界基本认识的革命性进步,而且带来了许多划时代的技术创新,直接推动了社会生产力的发展,从根本上改变了人类的物质生活。
量子理论过去的成功并不意味着它是一个彻底完善的物理学理论。自量子力学诞生以来,关于量子力学的思想基础和基本问题的争论,从来就没有停止过。人们对于量子力学本身的完备性及其一些基本观念的理解,甚至持有截然不同的观点。
最近,由于这些量子力学基本问题所涉及的观念,在信息科学可能有着重要的应用,再加上实验方面的飞速进展,量子力学基本问题的研究得到了物理学界更加广泛的重视.
在1927 年Solvay 物理学会议上,爱因斯坦和玻尔开始了关于量子力学基本问题的论战 ,引发了一系列关于量子物理的思想观念的深入讨论。如:
爱因斯坦—波多斯基—罗森的EPR 佯谬(1935 年) ,
薛定谔的“死猫—活猫”佯谬(1935 年) ,
Bell 不等式及其实验验证(1964 年,1981 年,1975 年) 。
对于这些问题进行稍微仔细的考察,就不难发现它们均密切联系于量子力学测量的基本问题 : 对于微观粒子运动状态的有效测量,必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变。
下面将对这些问题的理论和实验进行比较全面地介绍.
量子退相干的单粒子描述和系综描述
量子力学的基本特征之一是运用波函数代表的几率幅描述微观物理体系状态.原则上,通过基于波函数进行的量子测量,人们可以得到关于微观系统运动规律的全部信息。
设| n > 是力学量A 的本征态,相应的本征值为an 。量子力学的测量原理告诉我们,对处于 | f > = ∑cn| n > 态的量子体系测量力学量A ,得到的结果是不确定的:它可能是A 的本征值{ an| n = 0 ,1 ,2 ⋯} 中的一个,相应的几率为 | cn | 2 。
在这个意义下,玻恩把波函数| f > 理解成几率波,即在坐标表象中f ( x ) = < x | f > 代表在x 点发现粒子的几率密度幅。由于这种空间几率波的描述,我们可以通过态的叠加原理来刻画量子干涉现象:
由于描述微观粒子运动的基本方程—薛定谔方程是线性的,若| f 1 > 和| f 2 > 是体系的两个可能状态,则它们的叠加| f > = | f 1 > + | f 2 > ,也是系统的可能状态,即| f > 满足与| f 1 > 和| f 2 > 一样的薛定谔方程,在坐标表象中,依据量子态波函数的玻恩解释,上述态的叠加原理可表现为物质波的空间干涉行为。即Ik = | f k ( x ) | 2 在座标空间中描述几率幅f k ( x ) = < x| f k > ( k = 1 ,2) 对应的几率分布,但f ( x ) = < x | f > 并不对应几率分布I1 ( x) 和I2 ( x) 简单的相加。事实上
I ( x ) = |f ( x ) |2 = I1 ( x) + I2 ( x ) + f 1 ( x) f2 ( x) + f1 ( x ) f 2 ( x ) , 其中最后两项意味着态的量子相干性或量子干涉。
如果在单一的量子测量中得到结果an ,在紧接着的第二次测量中,应当重复得到确定的结果an 。这时可以断定体系的波函数| f > = ∑cn| n > 必将塌缩到它的一个分支| n > 上,即| f > → | n >
这种由于测量所导致的波函数瞬间鼓变称之为冯·诺意曼投影或波包塌缩和波函数约化.
这种波包塌缩的过程, 可以用图形象地加以说明:
粒子波函数f ( y) = < y| f > 描述了沿x 方向运动的粒子束沿y 方向的分布。我们用一个筛形装置来探测粒子出现在y 方向的何处。一旦单粒子实验在p 发观粒子,则根据波包塌缩的描述,便可断言测量后波包变窄, f ( y ) 变成如图描述的狭窄波包
f n ( y ) =< y| n > 。
上述波包塌缩的描述及出现的问题是针对单个粒子测量而言的,这种结果被称为第一类波包塌缩.
波函数是通过统计解释与具体实验相联系的,即通过多次的单一测量,或对大量同一客体的复制品的集合———系综进行一次同时测量,得到宏观上可区分的结果。在这个意义下,需要引入第二类波包塌缩的概念。假定对体系的系综进行测量,而不是针对单个量子系统进行一次测量,不必读出一个确切的结果。这时,要引入密度矩阵的概念去描述测量后系统的状态。
。对处于| f > = ∑cn| n > 的系统进行连续的两次测量:第一次测量A ,然后再测量与A 不对易的B 。若| m > 是B 的本征函数,相应的本征值为bm ,则在给定| n > 态上得到bm 的几率为| < m | n > | 2 。由于在| Ψ > 上第一次测量得到an 的几率为| cn| 2 ,则两次连续测量得bm 的几率为:
Pm = ∑cn2 < m | n > 2 = < m | ρ | m > = Tr (| m > < m | ρ)
波包塌缩代表的量子退相干过程,可表示为该密度矩阵非对角项的消失。
对系综而言,波包塌缩可描述为从纯态密度矩阵到完全混合态密度矩阵的转变。从物理上讲,这种约化过程代表了测量导致的相干性的破坏—量子退相干。简要地考虑如图3 所示的物质波干涉的双缝实验。不对粒子束作任何测量,从源S 产生的粒子束经双缝分束后在屏C 上发生干涉。上述的干涉效应代表了粒子的波动特征。双缝干涉实验强调了物质波粒二象性的波动性侧面。
EPR 佯谬与Bell 不等式
以下先扼要地介绍一下EPR 佯谬的基本思想:
考虑一个由两个粒子组成的复合系统。如果这一双粒子系统的始态中总动量p = 0 ,那末在两个粒子分开后,按照动量守恒定律,第一个粒子的动量p1 必定与第二个粒子动量p2 有关联,即p1 = - p2 ,作反向飞行。但在未测量前,人们并不十分清楚p1 或p2 的方向和它们的绝对值的大小。当探测器测到了粒子1 ,得到p1 = q 以后,粒子2 必将处在p2 = - q 态上。问题是,在量子系统的测量过程中,有一个“整体的”波包塌缩的现象:探测器将从某个描述粒子1 的波包中“选择”动量为p1 = q 的平面波。按照量子力学的哥本哈根解释,这一“选择”对应仪器和波包间某种“不可控制的相互作用”的结果。在这种“不可控制相互作用”影响下,可能有p1 = q ,也可能p1 = s , ⋯⋯等等。但令人奇怪的是:只要探测器量出p1 = q ,那末不论是否对粒子2 的波包进行测量与否,就必然有p2 = - q ,描述粒子2 的波包也将自动发生塌缩现象。粒子1 和粒子2 的波包一起塌缩,我们也称之为整体波包塌缩。
从数学上讲,上述的EPR 态是“距离差算子”x 1 - x2 和“动量和算子”p1 + p2 的共同本征函数,是一种特殊的量子纠缠态。我们可以把它表达为
如果对粒子1 测量,得到了一个确切的结果p1 ,测量后发生波包塌缩.紧接着测量第2 个粒子动量必定得到一个确定的值
p - p1 。
EPR 态的一种直观的描述是由Bohm 提出的. 。他考虑了处在自旋单态上的双电
子体系,其波函数是
其中z 代表自旋的轴, ±代表设z 轴的方向。
从上述讨论可以看出,对第二个粒子进行测量,得到结果依赖于事先对第一个粒子的什么力学量进行测量,如对第一个粒子测量S z ,得到结果+ 1/ 2 ,则对第二个粒子测量S z得到确定的- 1 / 2 ,而测量S x 得到结果是不确定的,得到±1 / 2 的几率各为50 %。一般说来,对任意方向n ,我们仍然有
这种量子关联本质上还是起源于量子相干性和量子测量的波包塌缩。因此,在经典意义下,这种关联是很不确定的,究竟在一次测量中唯一的态| EPR > 代表什么样的自旋关联,取决于事先对其中一个粒子做什么样测量。
通过量子纠缠和经典纠缠物理上差别的讨论,我们对EPR 关联精神实质已有了较好的了解。在此基础上,完全可以按着Bell 的原来的讨论,证明Bell 不等式。Bell 的证明是基于下列两个假定:
一个是存在人们尚未知晓的隐变量l (下面假定l 连续变化) ;
另一个就是要求理论是定域性的。
设在“空间点”A 测量粒子1 的自旋沿空间方向a 投影σ。a 所得结果记为A ( a , l) ,仅依赖于方向a 和隐变量l ,而A ( a , l ) =±1 ,隐变量l 的取值决定了测量的结果。设另一个粒子2 的自旋沿b 方向的投影σ。b的取值记为B ( b , l) ,依赖于方向b 和λ,B ( b ,λ) = ±1 。理论的定域性意味着A ( a , l) 不依赖于b , B ( b , l) 不依赖a ;关联性要求,对于a = b , A ( a , l ) = - B ( b , l ) 。两个粒子的自旋沿不同方向a 和b 的投影的关联用A ( a , l) B ( b , l ) 刻画(图5) 。
下面考虑粒子1 自旋沿a (或a′) 方向的投影与粒子2 自旋沿b (或b′) 方向的投影的联系p = | < A ( a) B ( b) - A ( a) B ( b′) > |
= | < A ( a) B ( b) [1 ±< A ( a′) B ( b′) ] >
- < A ( a) B ( b′) [1 ±A ( a′) B ( b) ] > |
考虑到
| A ( a) B ( b) | ≤1 , | A ( a) B ( b′) | ≤1
不难得到
p ≤< 1 ±A ( a′) B ( b′) > + < 1 ±A ( a′) B ( b) >
于是,我们有广义的Bell 不等式
| < A ( a) B ( b) > - A ( a) B ( b′) > | ≤2 ±( < A ( a′) B ( b′) > + < A ( a′) B ( b) >)
可以证明,上列Bell 不等式与量子力学理论是矛盾的。
利用纠缠光子对实验,Aspect 等检验了Bell 不等式的等价形式 。测量结果基本与量子力学预期值相符,而与这个等价的不等式明显偏离达5 个标准偏差。后来,一些更精确的实验进一步肯定了Aspect 小组的结果。
薛定谔猫佯谬,宏观物体的空间定域化
作为量子力学创始人之一,薛定谔对量子力学的“哥本哈根解释”是心存怀疑的。他认为,如果“哥本哈根解释”关于量子力学测量的讨论是正确的,则对由满足量子力学的微观粒子组成的宏观物体也应是有效的。
。由此推论,如果一只“宏观的猫”处在死态和活态的相干叠加上,猫的死活不再是一种独立于观察者主体的客观存在,而是依赖于观察者测量。
显然,这是有背常理的,从而量子力学的合理性和普适性均受到了严重的责难和挑战。
薛定谔假想了一个理想实验(图17) :把一只猫和一个具有两个状态| 0 > 和| 1 > 的放射性粒子封闭在一个盒子里。当粒子处于激发态| 1 > 上,便会发出一种射线触动特定装置,把猫杀死;而粒子处在基态| 0 > 时便不辐射,猫则安然无恙。如果猫处在如下的相干叠加态上猫就会处在一种非死非活、又死又活的悬而未绝的状态。“死”和“活”的客观性在“哥本哈根解释”中是不存在;打开盒子后的测量和观察(主观参与) 决定猫的命运。这个推论通常是不合理的,薛定谔由此怀疑量子力学可能有内在的不自恰性。
与薛定谔猫佯谬相联系是宏观物体空间局域化问题。它的讨论起源于1950 年前后爱因斯坦和玻恩的通信．他们发现一个质量为M 的宏观物体质心运动由自由哈密顿量H = p2/ 2 M 描述,其能量本征态是一个平面波。这是一个没有空间局域化特征的扩展态,与实际观察相矛盾:宏观物体是定域在空间特定区域内。因此,宏观物体波函数应是一个时间相关的波包,而不是一个平面波。然而,这个理解会导致一个新的矛盾,即波包
会扩散,初始波包宽度为α的波包在t 时刻波包宽度为
当t →∞时,空间局域化将被破坏。玻恩对这个问题的回答是:
宏观物体的质量M 很大,从而α( t) 是一个变化很慢的函数,故宏观物体仍然可以在量子力学的框架下,通过一个很窄的扩展很慢的波包来描写。
爱因斯坦进一步反驳了玻恩的观点:宏观物体的“波函数很窄”的要求,与量子力学基本原理—态叠加原理是有矛盾的。设| ψ> 1 和| ψ> 2 是薛定谔方程的两个解,则| ψ> = | ψ> 1 + | ψ> 2 也是薛定谔方程式的一个解,虽然| ψ> 1 和| ψ> 2相对宏观坐标都很窄,但它们的叠加却不一定很窄。
从环境粒子与宏观物体散射导致量子测量的角度,Wigner及Joos 和Zeh讨论了解决上述问题的可能性。设| x > 是宏观物体的位置本征态,| ξ> 是所有散射粒子的入射初态。由于宏观物体散射的反冲可以忽略,散射过程会导致被散射粒子与宏观物体位置的纠缠:
其中S x 是相应于位置x 的散射矩阵。因此,对任意波函数ψ( x) 有
这时宏观物体约化密度矩阵从初态ρ( x , x′) =ψ( x)ψ( x′) 改变为
进而,通过散射平移不变性的分析,他们计算得到
T ( x , x′) = < ξ | S +x′ S x | ξ >～ e- Λt ( x - x′)2
其中Λ是一个与具体作用相联系的已知参数,它描述了宏观物体局域化程序。ρ( x , x′)不再具有非对角长程序,即当| x - x′| ≠0 时,ρ( x , x′) t →∞ →0 ,相干性消失了。
对于这些问题,也可以根据量子测量动力学因子化理论加以解答。
谈到的宏观—“猫”的“死”和“活”是代表猫两种集体状态(或两个宏观可区别的波包) ,如质心自由度所处的状态。由于宏观物体由大量微观粒子组成,其组成的部分的运动不是严格地协调一致。在这种情况下,必须考虑众多内部自由度对集体态的影响,这种影响与集体状态形成理想的量子纠缠, “平均掉”内部自由度的影响,宏观物体的相干叠加性就会
被破坏了,如果我们用
| L > = ∏ | L i > , | D > =∏|Di >分别代表与活态| L > 和死态| D > 相关联的内部状态,| A i > 代表组成“猫”的每个粒子的单态,则完整薛定谔猫态可表达为：
当不管猫的内部如何,只顾猫的死活,便应当用约化密度矩阵：
由于因子化结构的存在,如上所述,当N →∞时,非对角项消失。因此,虽然我们可以形式地写出了死态与活态的相干叠加,但在严格的意义下,只要谈到通常的“宏观物体”,其相干性是不存在的。
对于薛定谔猫佯谬问题的上述分析,人们可能会提出以下质疑:为什么不同的集体态“死”和“活”会与不同的内部状态相关联? 如果“死”和“活”只与相同的内部状态相关联,就没有有效的量子测量,不存在量子退相干。因此,可能存在宏观物体状态的相干叠加。
的确,只有在极特殊的情况下,宏观量子态是存在的,如超导和玻色—爱因斯坦凝聚。然而,一般讲来,对于日常的实际物理问题,这是不可能的。
由于薛定谔猫是一个宏观物体,它具有非常大的状态空间和特别密集的能谱。例如,我们假设“猫”是由N 个二能级原子组成;每个粒子的基态能量为0 ,而激发态的能量为E ,则猫的总能量必处于0 和N E 之间,而可能存在的不同状态总数为2 N ,则平均能量间隔为N E/ 2 N 。因此,当N 很大时,能量间隔趋近于零。
由于能级间隔很小,内部状态既便经历了一个很小的扰动,也很容易跃迁到不同的状态上。就是说,集体自由度在不同的状态上会对不同的内部状态产生不同的影响。上述不稳定性会导致与“死”和“活”关联的内部状态不一样。事实上,由于内态包含了很多分量,只要其中一个正交,便出现了量子退相干。
参考文献
量子力学若干基本问题研究的新进展
量子理论若干基本问题研究的新进展
孙昌璞
谢谢
例如,我们假设“猫”是由N 个二能级原子组成;每个粒子的基态能量为0 ,而激发态的能量为E ,则猫的总能量必处于0 和N E 之间,而可能存在的不同状态总数为2 N ,则平均能量 ...
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量子若干基本问题研究
的新进展
刘富才
材料物理专业
０３１０２６０
以量子力学为核心的量子物理,不仅代表了人类对微观世界基本认识的革命性进步,而且带来了许多划时代的技术创新,直接推动了社会生产力的发展,从根本上改变了人类的物质生活。
量子理论过去的成功并不意味着它是一个彻底完善的物理学理论。自量子力学诞生以来,关于量子力学的思想基础和基本问题的争论,从来就没有停止过。人们对于量子力学本身的完备性及其一些基本观念的理解,甚至持有截然不同的观点。
最近,由于这些量子力学基本问题所涉及的观念,在信息科学可能有着重要的应用,再加上实验方面的飞速进展,量子力学基本问题的研究得到了物理学界更加广泛的重视.
在1927 年Solvay 物理学会议上,爱因斯坦和玻尔开始了关于量子力学基本问题的论战 ,引发了一系列关于量子物理的思想观念的深入讨论。如:
爱因斯坦—波多斯基—罗森的EPR 佯谬(1935 年) ,
薛定谔的“死猫—活猫”佯谬(1935 年) ,
Bell 不等式及其实验验证(1964 年,1981 年,1975 年) 。
对于这些问题进行稍微仔细的考察,就不难发现它们均密切联系于量子力学测量的基本问题 : 对于微观粒子运动状态的有效测量,必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变。
下面将对这些问题的理论和实验进行比较全面地介绍.
量子退相干的单粒子描述和系综描述
量子力学的基本特征之一是运用波函数代表的几率幅描述微观物理体系状态.原则上,通过基于波函数进行的量子测量,人们可以得到关于微观系统运动规律的全部信息。
设| n > 是力学量A 的本征态,相应的本征值为an 。量子力学的测量原理告诉我们,对处于 | f > = ∑cn| n > 态的量子体系测量力学量A ,得到的结果是不确定的:它可能是A 的本征值{ an| n = 0 ,1 ,2 ⋯} 中的一个,相应的几率为 | cn | 2 。
在这个意义下,玻恩把波函数| f > 理解成几率波,即在坐标表象中f ( x ) = < x | f > 代表在x 点发现粒子的几率密度幅。由于这种空间几率波的描述,我们可以通过态的叠加原理来刻画量子干涉现象:
由于描述微观粒子运动的基本方程—薛定谔方程是线性的,若| f 1 > 和| f 2 > 是体系的两个可能状态,则它们的叠加| f > = | f 1 > + | f 2 > ,也是系统的可能状态,即| f > 满足与| f 1 > 和| f 2 > 一样的薛定谔方程,在坐标表象中,依据量子态波函数的玻恩解释,上述态的叠加原理可表现为物质波的空间干涉行为。即Ik = | f k ( x ) | 2 在座标空间中描述几率幅f k ( x ) = < x| f k > ( k = 1 ,2) 对应的几率分布,但f ( x ) = < x | f > 并不对应几率分布I1 ( x) 和I2 ( x) 简单的相加。事实上
I ( x ) = |f ( x ) |2 = I1 ( x) + I2 ( x ) + f 1 ( x) f2 ( x) + f1 ( x ) f 2 ( x ) , 其中最后两项意味着态的量子相干性或量子干涉。
如果在单一的量子测量中得到结果an ,在紧接着的第二次测量中,应当重复得到确定的结果an 。这时可以断定体系的波函数| f > = ∑cn| n > 必将塌缩到它的一个分支| n > 上,即| f > → | n >
这种由于测量所导致的波函数瞬间鼓变称之为冯·诺意曼投影或波包塌缩和波函数约化.
这种波包塌缩的过程, 可以用图形象地加以说明:
粒子波函数f ( y) = < y| f > 描述了沿x 方向运动的粒子束沿y 方向的分布。我们用一个筛形装置来探测粒子出现在y 方向的何处。一旦单粒子实验在p 发观粒子,则根据波包塌缩的描述,便可断言测量后波包变窄, f ( y ) 变成如图描述的狭窄波包
f n ( y ) =< y| n > 。
上述波包塌缩的描述及出现的问题是针对单个粒子测量而言的,这种结果被称为第一类波包塌缩.
波函数是通过统计解释与具体实验相联系的,即通过多次的单一测量,或对大量同一客体的复制品的集合———系综进行一次同时测量,得到宏观上可区分的结果。在这个意义下,需要引入第二类波包塌缩的概念。假定对体系的系综进行测量,而不是针对单个量子系统进行一次测量,不必读出一个确切的结果。这时,要引入密度矩阵的概念去描述测量后系统的状态。
。对处于| f > = ∑cn| n > 的系统进行连续的两次测量:第一次测量A ,然后再测量与A 不对易的B 。若| m > 是B 的本征函数,相应的本征值为bm ,则在给定| n > 态上得到bm 的几率为| < m | n > | 2 。由于在| Ψ > 上第一次测量得到an 的几率为| cn| 2 ,则两次连续测量得bm 的几率为:
Pm = ∑cn2 < m | n > 2 = < m | ρ | m > = Tr (| m > < m | ρ)
波包塌缩代表的量子退相干过程,可表示为该密度矩阵非对角项的消失。
对系综而言,波包塌缩可描述为从纯态密度矩阵到完全混合态密度矩阵的转变。从物理上讲,这种约化过程代表了测量导致的相干性的破坏—量子退相干。简要地考虑如图3 所示的物质波干涉的双缝实验。不对粒子束作任何测量,从源S 产生的粒子束经双缝分束后在屏C 上发生干涉。上述的干涉效应代表了粒子的波动特征。双缝干涉实验强调了物质波粒二象性的波动性侧面。
EPR 佯谬与Bell 不等式
以下先扼要地介绍一下EPR 佯谬的基本思想:
考虑一个由两个粒子组成的复合系统。如果这一双粒子系统的始态中总动量p = 0 ,那末在两个粒子分开后,按照动量守恒定律,第一个粒子的动量p1 必定与第二个粒子动量p2 有关联,即p1 = - p2 ,作反向飞行。但在未测量前,人们并不十分清楚p1 或p2 的方向和它们的绝对值的大小。当探测器测到了粒子1 ,得到p1 = q 以后,粒子2 必将处在p2 = - q 态上。问题是,在量子系统的测量过程中,有一个“整体的”波包塌缩的现象:探测器将从某个描述粒子1 的波包中“选择”动量为p1 = q 的平面波。按照量子力学的哥本哈根解释,这一“选择”对应仪器和波包间某种“不可控制的相互作用”的结果。在这种“不可控制相互作用”影响下,可能有p1 = q ,也可能p1 = s , ⋯⋯等等。但令人奇怪的是:只要探测器量出p1 = q ,那末不论是否对粒子2 的波包进行测量与否,就必然有p2 = - q ,描述粒子2 的波包也将自动发生塌缩现象。粒子1 和粒子2 的波包一起塌缩,我们也称之为整体波包塌缩。
从数学上讲,上述的EPR 态是“距离差算子”x 1 - x2 和“动量和算子”p1 + p2 的共同本征函数,是一种特殊的量子纠缠态。我们可以把它表达为
如果对粒子1 测量,得到了一个确切的结果p1 ,测量后发生波包塌缩.紧接着测量第2 个粒子动量必定得到一个确定的值
p - p1 。
EPR 态的一种直观的描述是由Bohm 提出的. 。他考虑了处在自旋单态上的双电
子体系,其波函数是
其中z 代表自旋的轴, ±代表设z 轴的方向。
从上述讨论可以看出,对第二个粒子进行测量,得到结果依赖于事先对第一个粒子的什么力学量进行测量,如对第一个粒子测量S z ,得到结果+ 1/ 2 ,则对第二个粒子测量S z得到确定的- 1 / 2 ,而测量S x 得到结果是不确定的,得到±1 / 2 的几率各为50 %。一般说来,对任意方向n ,我们仍然有
这种量子关联本质上还是起源于量子相干性和量子测量的波包塌缩。因此,在经典意义下,这种关联是很不确定的,究竟在一次测量中唯一的态| EPR > 代表什么样的自旋关联,取决于事先对其中一个粒子做什么样测量。
通过量子纠缠和经典纠缠物理上差别的讨论,我们对EPR 关联精神实质已有了较好的了解。在此基础上,完全可以按着Bell 的原来的讨论,证明Bell 不等式。Bell 的证明是基于下列两个假定:
一个是存在人们尚未知晓的隐变量l (下面假定l 连续变化) ;
另一个就是要求理论是定域性的。
设在“空间点”A 测量粒子1 的自旋沿空间方向a 投影σ。a 所得结果记为A ( a , l) ,仅依赖于方向a 和隐变量l ,而A ( a , l ) =±1 ,隐变量l 的取值决定了测量的结果。设另一个粒子2 的自旋沿b 方向的投影σ。b的取值记为B ( b , l) ,依赖于方向b 和λ,B ( b ,λ) = ±1 。理论的定域性意味着A ( a , l) 不依赖于b , B ( b , l) 不依赖a ;关联性要求,对于a = b , A ( a , l ) = - B ( b , l ) 。两个粒子的自旋沿不同方向a 和b 的投影的关联用A ( a , l) B ( b , l ) 刻画(图5) 。
下面考虑粒子1 自旋沿a (或a′) 方向的投影与粒子2 自旋沿b (或b′) 方向的投影的联系p = | < A ( a) B ( b) - A ( a) B ( b′) > |
= | < A ( a) B ( b) [1 ±< A ( a′) B ( b′) ] >
- < A ( a) B ( b′) [1 ±A ( a′) B ( b) ] > |
考虑到
| A ( a) B ( b) | ≤1 , | A ( a) B ( b′) | ≤1
不难得到
p ≤< 1 ±A ( a′) B ( b′) > + < 1 ±A ( a′) B ( b) >
于是,我们有广义的Bell 不等式
| < A ( a) B ( b) > - A ( a) B ( b′) > | ≤2 ±( < A ( a′) B ( b′) > + < A ( a′) B ( b) >)
可以证明,上列Bell 不等式与量子力学理论是矛盾的。
利用纠缠光子对实验,Aspect 等检验了Bell 不等式的等价形式 。测量结果基本与量子力学预期值相符,而与这个等价的不等式明显偏离达5 个标准偏差。后来,一些更精确的实验进一步肯定了Aspect 小组的结果。
薛定谔猫佯谬,宏观物体的空间定域化
作为量子力学创始人之一,薛定谔对量子力学的“哥本哈根解释”是心存怀疑的。他认为,如果“哥本哈根解释”关于量子力学测量的讨论是正确的,则对由满足量子力学的微观粒子组成的宏观物体也应是有效的。
。由此推论,如果一只“宏观的猫”处在死态和活态的相干叠加上,猫的死活不再是一种独立于观察者主体的客观存在,而是依赖于观察者测量。
显然,这是有背常理的,从而量子力学的合理性和普适性均受到了严重的责难和挑战。
薛定谔假想了一个理想实验(图17) :把一只猫和一个具有两个状态| 0 > 和| 1 > 的放射性粒子封闭在一个盒子里。当粒子处于激发态| 1 > 上,便会发出一种射线触动特定装置,把猫杀死;而粒子处在基态| 0 > 时便不辐射,猫则安然无恙。如果猫处在如下的相干叠加态上猫就会处在一种非死非活、又死又活的悬而未绝的状态。“死”和“活”的客观性在“哥本哈根解释”中是不存在;打开盒子后的测量和观察(主观参与) 决定猫的命运。这个推论通常是不合理的,薛定谔由此怀疑量子力学可能有内在的不自恰性。
与薛定谔猫佯谬相联系是宏观物体空间局域化问题。它的讨论起源于1950 年前后爱因斯坦和玻恩的通信．他们发现一个质量为M 的宏观物体质心运动由自由哈密顿量H = p2/ 2 M 描述,其能量本征态是一个平面波。这是一个没有空间局域化特征的扩展态,与实际观察相矛盾:宏观物体是定域在空间特定区域内。因此,宏观物体波函数应是一个时间相关的波包,而不是一个平面波。然而,这个理解会导致一个新的矛盾,即波包
会扩散,初始波包宽度为α的波包在t 时刻波包宽度为
当t →∞时,空间局域化将被破坏。玻恩对这个问题的回答是:
宏观物体的质量M 很大,从而α( t) 是一个变化很慢的函数,故宏观物体仍然可以在量子力学的框架下,通过一个很窄的扩展很慢的波包来描写。
爱因斯坦进一步反驳了玻恩的观点:宏观物体的“波函数很窄”的要求,与量子力学基本原理—态叠加原理是有矛盾的。设| ψ> 1 和| ψ> 2 是薛定谔方程的两个解,则| ψ> = | ψ> 1 + | ψ> 2 也是薛定谔方程式的一个解,虽然| ψ> 1 和| ψ> 2相对宏观坐标都很窄,但它们的叠加却不一定很窄。
从环境粒子与宏观物体散射导致量子测量的角度,Wigner及Joos 和Zeh讨论了解决上述问题的可能性。设| x > 是宏观物体的位置本征态,| ξ> 是所有散射粒子的入射初态。由于宏观物体散射的反冲可以忽略,散射过程会导致被散射粒子与宏观物体位置的纠缠:
其中S x 是相应于位置x 的散射矩阵。因此,对任意波函数ψ( x) 有
这时宏观物体约化密度矩阵从初态ρ( x , x′) =ψ( x)ψ( x′) 改变为
进而,通过散射平移不变性的分析,他们计算得到
T ( x , x′) = < ξ | S +x′ S x | ξ >～ e- Λt ( x - x′)2
其中Λ是一个与具体作用相联系的已知参数,它描述了宏观物体局域化程序。ρ( x , x′)不再具有非对角长程序,即当| x - x′| ≠0 时,ρ( x , x′) t →∞ →0 ,相干性消失了。
对于这些问题,也可以根据量子测量动力学因子化理论加以解答。
谈到的宏观—“猫”的“死”和“活”是代表猫两种集体状态(或两个宏观可区别的波包) ,如质心自由度所处的状态。由于宏观物体由大量微观粒子组成,其组成的部分的运动不是严格地协调一致。在这种情况下,必须考虑众多内部自由度对集体态的影响,这种影响与集体状态形成理想的量子纠缠, “平均掉”内部自由度的影响,宏观物体的相干叠加性就会
被破坏了,如果我们用
| L > = ∏ | L i > , | D > =∏|Di >分别代表与活态| L > 和死态| D > 相关联的内部状态,| A i > 代表组成“猫”的每个粒子的单态,则完整薛定谔猫态可表达为：
当不管猫的内部如何,只顾猫的死活,便应当用约化密度矩阵：
由于因子化结构的存在,如上所述,当N →∞时,非对角项消失。因此,虽然我们可以形式地写出了死态与活态的相干叠加,但在严格的意义下,只要谈到通常的“宏观物体”,其相干性是不存在的。
对于薛定谔猫佯谬问题的上述分析,人们可能会提出以下质疑:为什么不同的集体态“死”和“活”会与不同的内部状态相关联? 如果“死”和“活”只与相同的内部状态相关联,就没有有效的量子测量,不存在量子退相干。因此,可能存在宏观物体状态的相干叠加。
的确,只有在极特殊的情况下,宏观量子态是存在的,如超导和玻色—爱因斯坦凝聚。然而,一般讲来,对于日常的实际物理问题,这是不可能的。
由于薛定谔猫是一个宏观物体,它具有非常大的状态空间和特别密集的能谱。例如,我们假设“猫”是由N 个二能级原子组成;每个粒子的基态能量为0 ,而激发态的能量为E ,则猫的总能量必处于0 和N E 之间,而可能存在的不同状态总数为2 N ,则平均能量间隔为N E/ 2 N 。因此,当N 很大时,能量间隔趋近于零。
由于能级间隔很小,内部状态既便经历了一个很小的扰动,也很容易跃迁到不同的状态上。就是说,集体自由度在不同的状态上会对不同的内部状态产生不同的影响。上述不稳定性会导致与“死”和“活”关联的内部状态不一样。事实上,由于内态包含了很多分量,只要其中一个正交,便出现了量子退相干。
参考文献
量子力学若干基本问题研究的新进展
量子理论若干基本问题研究的新进展
孙昌璞
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