物理中的向量场 势,流函数,一个动力系统就是一个向量场

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[PPT] 第三章单相液体稳定渗流
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也有一些物理中的向量场，在 这些场中曲线积分的值只与起点、终点位置有关，而与 ... 则称复变函数W(z)为解析函数。一个解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程， ...
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第三章 单相液体稳定渗流


基本概念及单向流
平面径向流
球面向心流及渗透率突变地层的渗流
不完善性及稳定试井
势的叠加和多井干扰理论
叠加原理的典型应用
镜像反映法
圆形边界反映、例题
复势的基本概念
复势叠加及应用
保角变换
等值渗流阻力法
复变函数在某区域解析时，其实部和虚部为正交的共轭调和函数，而表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质，因此可用复变函数来表征渗流场。
通过复变函数的理论来求解复杂的渗流问题；通过复变函数的保角变换，可把一个复杂的渗流场变为一个简单的渗流场进行处理。
复势的基本概念


曲线积分一般与积分路径有关，也就是说，即使起点、终点固定，常常也会由于积分路径不同而使曲线积分的数值不同。


也有一些物理中的向量场，在 这些场中曲线积分的值只与起点、终点位置有关，而与积分路径无关。如重力场


在重力作用下使某一物体从A(x0、y0、z0)点移到B(x1、y1、z1)点所做的功为：


显然这个积分仅与A、B点位置有关，与积分路径无关。


1.势函数

这样向量的曲线积分与路径无关的向量场称为有势场。这种场可以引入势函数简称势来描述。
渗流速度场同重力场一样属于有势场，所以可类似于重力势引入速度势的概念，使渗流速度场的研究更方便、有效。


渗流速度势可定义为：


对于任意点M处的势是相对于参考点M0而言的


写成微分形式，则：


由此不难推得：

单相不可压缩液体稳定渗流时


由


则


在无源区域内


即


得


因渗流场中渗流速度是矢量，渗流场是有势场，Φ称为势函数或速度势，且势函数Φ满足拉普拉斯方程。


势函数Φ(x，y) =C1 表示一条等势线，改变C1可得到等势线族方程。

2.流函数


流线的切线方向代表液体质点运动方向。

沿流线S取dS长度，dS可近似看成直线，在坐标上的投影分别为dx，dy。液体在M点的速度v(x，y)应与dS的方向一致，在坐标轴上的投影分别为：vx、vy。由三角形相似关系可得：


即


Vx


Vy


流线方程


在无源渗流场中


即


或


(1)


表明(1)式左端为某一个函数的全微分，并用dψ表示

(a)


（a）为全微分的充要条件是


全微分函数

则


上式积分有


则ψ称为流函数。ψ=常数为流线族方程。


(2)


由(2)式知渗流速度与流函数关系


又


得


柯西—黎曼条件，已知Φ可求ψ，已知ψ 可求Φ


(3)


(4)

(3)式对y微分，(4)对x微分


二式相加得


可知流函数也满足拉普拉斯方程。

3.势函数与流函数的正交性


沿等势线，势函数的全微分应等于零, 即


其上任一点切线斜率


沿流线，流函数的全微分等于零


其上任一点切线斜率


所以


证明了流线与等势线在平面渗流场中任一点都是正交的。

4.举例


例1 求线性渗流时的势函数和流函数。


由达西定律知


为单向线性渗流时势函数的表达式


由


积分


为单向线性渗流时流函数的表达式


如给定边界条件，就可确定C1和C2，并可进一步画出等势线和流线.


解：

例2设已知一平面流动的势函数


求流函数和渗流速度


解：


由柯西黎曼条件


对y积分


对x微分


(3)


对比(2)(3)可知


C(x)=C2

5.平面渗流场的复势


如果在复平面z上，复数z=x+iy，在一定范围内变化时，复平面W上的复数W随之而变，则称W为z的复变函数。W(z)=f(z)，将其实部和虚部分开可有：


若复变函数W(z)在区域D内连续可微，其实部ξ (x，y)和虚部η(x，y)有连续偏导数存在，并且满足柯西—黎曼条件


则称复变函数W(z)为解析函数。一个解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程，称为共扼调和函数，则ξ (x，y)和η(x，y)所代表的曲线族相互正交。

前面分析知,势函数Ф(x,y)和流函数ψ(x,y)均满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条件,它们是调和函数且所代表的曲线族互相正交。
因此用势函数和流函数分别作为复变函数的实部和虚部就可以构造一个解析函数。


该解析函数称为平面渗流场的复势函数，简称复势。


如果已知某一平面渗流场的复势，那么将其实部和虚部分解便得到了描述该渗流场特征的函数——势函数和流函数

根据复势，也可以求出平面渗流场中任一点处的渗流速度。


复速度

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