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自然界中的对称
2009年06月15日 11:29 浏览次数:796
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序
自然界各种奇特的对称令人琢磨不透，仿佛万事万物在无形中遵循着某种规律。最近读了一本德国学者赫尔曼·外尔的《对称》，颇有些感想，所以浅谈些观点，算是个总结吧。
对称性的概念
对称有两种含义：
１.对称的即意味着是非常匀称和协调的，而对称性则表示结合成的整体的好几部分之间所具有的那种和谐性。
2.天平的形象是我们能自然地联系到对称一词的第二种含义（近代使用这次所指的意思）。即左和右的对称性。
这里提到左和右，我觉得有必要对左右的实质进行一番阐述。对于有科学头脑的人来说，左和右之间并没有内在的差异和截然的相反性。需要有一个人为的选择才能确定什么是左，什么是右。用莱布尼茨的术语就是——左右是不可区分的。我们平时所说的向左旋转，那你指的是：你的旋转方向以及在你身上从足到头的朝上的方向两者结合起来组成一个左螺旋。
几种常见的对称性
1. 双侧对称性
一个物体，即一个空间构形，如果在关于平面E的反射下变为其自身，我们就说它是关于E对称的。去垂直与E的人一直线l以及l上的任意一点p，那么此时在l上（在E的另一侧）就存在一点p′(且只存在一点p′)与E有同样的距离。仅当p在E上，点p′才与p重合。如果引入映射概念，p→p′把任意点p变为它关于E的镜像p′。进一步阐述双侧对称性就要用到自同构的概念，存在这样一个事实：平面中的反射是一个自同构。
讲了这么多理论还是联系一下实际吧。符合双侧对称性的人体构造是最好的例子：眼睛、耳朵、手、脚等等。有人会说了，人体有些器官是不对称的啊？所有不对称的出现都是次要的特征，彼且影响内部器官的较为重要的不对称主要是由于肠道表面的必要增加与身体的生长不合比例而造成的，肠道长度的增加就引起了不对称的折叠和回盘。而且在这种系发生的进化过程中，这些与肠道系统及其附属器官有关的最初的不对称性就带来了其他器官系统的不对称性。我们必须懂得自然界总的构造具有这种对称性。但是我们也不那个期望自然界中的任意特定物体都是完美的具有这种对称性。关于过去和未来（倒转时间的方向就能将它们互换），以及正电荷与负电荷，同样具有对称性。
2.平移、旋转对称性
空间一个映射S使得空间每一点p与它的像p′相对应。恒同映射I是这种映射的一个特例，它将每一点p映为它自身。恒同变换I是一个自同构，而且如果S是自同构，那么其逆S-1 也是自同构。两个自同构S、 T的复合ST还是自同构。数学家们采用了群这个词来描述这种情况，所以就有自同构构成一个群的说法。这一切与对称性有什么关系呢？它们为定义对称性提供了一种适当的数学语言。空间任意图形的对称性由此群的一个子群描述。
平移和旋转对称性的应用
最常见的是带状装饰图案，大多是通过一个较为简单的图形经过若干次平移、旋转操作所组成新的奇特而美丽的图案。一些建筑物，艺术作品中也能找到它们的影子。最有趣的是在一些动植物的结构上体现出来的对称性，动物学家们称之为分节现象。例如枫树的芽枝和杈枝风兰的芽枝,动物中最具代表性的肯定要数蜈蚣，它中间部分具有非常规则的平移对称性，当然也包括双侧对称行性，它的基本操作为一节平移和纵向反射。最不可思议的是对称和音乐也有联系。在一维时间上的等间隔重复即是节律的音乐原理。当一芽枝在生长时，人们可以说它把一种缓慢的时间节律转化为一种空间节律。
旋转对称性的几种代表
五角形对称性在花卉世界里是最为常见的，许多美五彩缤纷的花朵花瓣都不约而同的满足旋转对称。五角星对称性在有机界中频繁出现，但是在无机界的最具有完美对称性的创造物（即晶体）中，却找不到它的踪影。除了阶数为2，3，4和6的旋转对称性外，就没有别的可能的旋转对称性了。
六角形对称性最为熟知的样本自然是雪花。热爱文学的人可能会想起布朗爵士在他的《居鲁士大帝的庄园》中对六角形对称和“梅花型”对称所作的富于奇趣的描述，这种对称“确实简洁的表明了大自然是如何按几何原理办事，并使万物遵循秩序的。”塔状建筑也常常具有六边形的对称性。
八边形对称的例子就应该是园盘水母，生活在海里的它们以奇特的外形吸引不少科学家的目光，如果要探讨根源，恐怕要深入到生物进化论了。中世纪以来的第一座道地的主建筑物——佛罗伦萨的圣·玛利亚天使大教堂就是八边形对称的。
螺旋运动是三维空间中最一般的刚体运动，它由绕某轴的旋转与沿着该轴的平移复合而成，在相应的连续匀速运动的左右下，任何不再该轴上的一点将描绘出一条螺旋线或螺旋。也许平时我们并没有把它们和对称联想在一起。假设有一个固定点O，当对O点以某种比例a :1伸缩，这种操作的无限迭代构成了群T。双锥螺的壳，是具有这种对称性的一个很好的例子。这种螺壳的各壳阶宽度相继按照的比数列的规律变化，其精确程度确实十分惊奇。
3.装饰对称性
最后讨论一种特殊的几何对称性，无论从哪一方面看，这都是一种最复杂，但也是最有趣味的对称性。在二维情况中，它与表面装饰艺术有关；在三维情况中，它刻画了原子在晶体中的排列，所以把它称为装饰对称性或结晶对称性。
在这里我以蜜蜂筑造的蜂窝为例具体谈一下。蜜蜂的巢室为棱柱形，从外观上看有许多个六边形组成，如果把许多球形小珠堆积成一堆，它们就会在三维中把自己安排的类似于这种六边形的构形。在二维情况中，要实现的是把一些完全相同的圆尽可能的紧密的挤集在一起。从彼此相切的一行水平圆开始，如果你在这一行圆之上丢下另一个圆，那么它将嵌在这一行的两个相邻的圆之间，而这三个圆的则会构成一个等边三角形。从这个处于上一层的圆就能引伸出第二行水平的圆，它们都是嵌在第一行的两个圆之间。以后各行也是这样。这些圆之间几乎没有空隙。在一个圆与其周围的六个圆的相切处做出的切线，组成了与该圆外切的正六边形。如果用这一六边形来代替它的内接圆，就能得到一个充满整个平面的正六边形的构形。根据表面张力的规律，我们知道在细金属丝圈所给定的周界上张成的肥皂膜具有表面为最小的形状，也就是说它的面积要比具有同样周界的其他任何表面的面积都小。吹入一定量气体后的肥皂泡成球状，这是因为球面以其最小的表面包围了给定的体积。因此，具有相同面积的二维泡沫会把自身安排成六边形图案，就不足为奇了。因为在把平面划分为面积相等的一些部分时，对于所有的图案来说，六边形图案的边界网所具有的长度是最小的。现在理解蜂窝的结构就不会感到诧异了。因为大小都差不多的蜜蜂是在飞旋中建造它们的巢室的，所以这些巢室就聚集成一个平行圆柱的最密集的堆积，其横截面就好比我们的圆的六边形图形一样。只要蜜蜂还在进行工作，蜂蜡便处于一种半流体状态，所以此时的表面张力很可能超过蜜蜂身体从内部对蜂蜡施加的压力，就把这些圆转换为一些外切的六边形了。
对称性的思考
自然界对称性普遍存在的程度着实是令人惊奇的。但是为什么会如此巧合呢？这是值得我们深思的问题。我猜测原因可能是：平衡状态很可能是对称的。更精确地说，在能确定一个唯一的平衡状态的条件下，这些条件的对称性必定转移到该平衡状态中去。那些悬浮在水中的小生物，大体上都是成球形的。对于那些固定生活在海洋底部的动物的形状来说，中立的方向就是一个重要因素，它把对称性运作的范围从环绕中心P的所有旋转缩小为绕一根轴的所有旋转。但是对于那些在水中、天空中或陆地上能自己运动的动物来说，它们的身体向前移动的方向以及重力的方向，此时都具有决定性的影响。动物身体结构的对称性可能与它们适应环境有关吧。不仅是生物，就连我们的家园——地球原本可能是个球形，如果地球不绕轴自转的话，它也将是一个球体。自转使得地球在两极处变得平坦了，而关于此轴的旋转对称性和柱对称性则仍然保持了下来。
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