马克思生产价格方程组 第一, 有唯一一组利润率和相对生产价格的正实数解 第二, 这个解是由生产耗费矩阵A 所决定的。

long's long term average cost, and shorts positions!


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作者：白暴力 - 2007 - 被引用次数：1 - 相关文章
满足这个方程组的λ和x 就是A 的特征值和特征向量, 或者说, A 的特征值λ和特征向量x 就是. 这个方程组的解。 3、马克思生产价格方程组的解与A 的特征值和特征向量 ...
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　广东社会科学　　2007 年第1 期　
马克思生产价格方程组的数学特性
X
白暴力　方凤玲
[提　要] 依据“Frobenius 定律”, 马克思生产价格方程组有两个数学特征: 第一, 有唯一一组利润
率和相对生产价格的正实数解; 第二, 这个解是由生产耗费矩阵所决定的。
[关键词] 生产价格方程组　Frobenius 定律　数学特性
[中图分类号] F03113 [文献标识码] A [文章编号] 1000 - 114X (2007) 01 - 0013 - 03
对“价值转化形式”的研究, 需要有一个数学上的基础: “Frobenius 定律”。这个定律将说明
马克思生产价格方程组的数学特性, 揭示价值转化为生产价格过程中的客观经济现象。本文为
“价值转形问题”研究提供必要的学术基础。
　　(一) 马克思生产方程组的矩阵表达
用qi 表示第i 种商品的数量,
wT
i =
WT
i
qi
表示单位商品的生产价格, 用
αij =
Xij
qi
表示生产单位第i 种商品所耗费的第j 种商品的数量, 则马克思生产价格方程组
WT
i = (1 + r) Σ
n
j = 1
XijwT
j 　i = 1 , 2 , Λ, n
可写为
wT
i = (1 + r) Σ
n
j = 1
αi
jwT
j 　i = 1 , 2 , Λ, n
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X 项目来源: 国家社会科学基金项目, 项目批准号: 04BJL010 ; 教育部博士点基金研究项目, 项目批准号:
03JB790005。
用矩阵表达则为
[ (1 + r) A - I ] wT = 0 (1)
其中, A = (αij) n ×n是生产耗费系数矩阵, I 是单位矩阵。(1) 式就是马克思生产价格方程组的
矩阵表达①。
　　(二) 矩阵的特征值和特征向量与生产价格方程组的解
1、矩阵的特征值和特征向量
数量λ称为n ×n 矩阵A 的一个特征值, 如果存在一个n 阶向量x ≠0 使
Ax =λx
向量x 称为A 的特征向量。
2、方程组的解
调整
Ax =λx
为
Ax - λx = 0
[ A - λI ] x = 0
[
1λ
A - 1 ] x = 0
满足这个方程组的λ和x 就是A 的特征值和特征向量, 或者说, A 的特征值λ和特征向量x 就是
这个方程组的解。
3、马克思生产价格方程组的解与A 的特征值和特征向量
令
(1 + r) =
1λ 即
λ=
1
1 + r
或
r =
1λ
- 1 =
1 - λ
λ
则有
[ (1 + r) A - I ] x = 0
令
x = wT
则有
[ (1 + r) A - I ] wT = 0
这正是马克思生产价格方程组。根据前面的说明, 可以看出, 马克思生产价格方程组的解中的利
润率r 是由矩阵A 的特征值λ决定的, 生产价格向量wT 则是特征值λ对应的特征向量。
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　　(三) Frobenius 定律②
1、如果A = (αij) n ×n ≥0 , A 有至少一个非负特征值, 最大的非负特征值称为A 的Frobenius
根, 记为λ ( A) 。A 有一对应于λ ( A) 的非负特征向量。
2、如果A = (αij) n ×n ≥0 是不可分解的, 则:
Frobenius 根λ ( A) > 0 是特征方程的一个单根, 并且存在一与之相伴的特征向量x > 0 。
如果Ax =μx 对于某一μ≥0 和x > 0 成立, 则μ=λ ( A) 。
　　(四) 马克思生产价格方程组解的特性
由于
1、马克思生产价格方程组中的A = (αij) n ×n ≥0 是非负的;
2、假定所有的产品都直接或间接加入其他产品生产, 也就是都是基本品, 即A = (αij) n ×n
≥0 是不可分解的。
(存在非基本品时, 情况会复杂一些, 但所得出的结论是一致的。)
因此, 根据“Frobenius 定律”, 马克思生产价格方程组有唯一一组正实数解: 利润率r (λ)
和相对生产价格wT , 这组解是由生产价格方程组[ (1 + r) A - I ] wT = 0 自身决定的, 或者说是
由矩阵A 决定的。由此得到以下结论
　　　　马克思生产价格方程组解具有两个数学特性:
　　第一, 有唯一一组利润率和相对生产价格的正实数解;
　　第二, 这个解是由生产耗费矩阵A 所决定的。
　　以上, 依据“Frobenius 定律”, 说明马克思生产价格方程组解的数学特性。马克思生产价格
方程组的数学特征是客观存在的, 是无法用主观方法所改变的。对“价值转形问题”的研究必须
在马克思的生产价格方程组及其数学特性的基础上进行。
①白暴力: 《价值转形问题研究的三个学术基础》,
《经济评论》, 2005 年第4 期。
②参见Knut Sydsaeter 等著: 《经济学家数学手册》, 复
旦大学出版社, 2001 年, 第158～159 页。
作者简介: 白暴力, 北京师范大学经济学院教
授、博士生导师。北京　100875 　　方凤玲,
西北工业大学经济研究中心社会经济系统工程
专业博士生。西安　710072
[责任编辑　郑栋才]
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