哈密顿HJE 是唯一能夠將粒子邉颖磉_為波動的一種力學表述,一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为

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回答: 《一位老工程师的前沿物理科普贴》由 marketreflections 于 2010-10-07 13:13:53

哈密顿－雅可比方程
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在這篇文章內，向量與其量值分別用正粗體與斜體表示；例如，。
在物理學裏，哈密頓-雅可比方程（HJE）是經典力學的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明保守的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能夠將粒子邉颖磉_為波動的一種力學表述。因此，HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標（早至 18 世紀，約翰·白努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代）；那就是，尋找波傳播與粒子邉拥南嗨浦?帯Ａ?W系統的波動方程式與薛丁格方程式很相似；但是，並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。

目录 [隐藏]
1 數學表述
2 各種力學表述的比較
3 導引
3.1 哈密頓主函數
3.2 哈密頓特徵函數
4 分離變數法
4.1 球坐標系
4.2 橢圓柱坐標系
4.3 拋物柱面坐標系
5 薛丁格方程式
6 粒子方程式⇒波動方程式
7 波動方程式⇒粒子方程式
8 重力場
9 參閱
10 參考文獻

[编辑] 數學表述
哈密頓-雅可比方程是一個一階非線形偏微分方程式。用數學表達

；
其中，是哈密頓量，未知函數稱為哈密頓主函數，是廣義座標，是積分常數，是時間。

假若能夠找到哈密頓主函數的形式，就可以計算出廣義坐標與廣義動量隨時間的演變。這樣，我們可以完全地解析物理系統隨時間的演化。

[编辑] 各種力學表述的比較
哈密頓-雅可比方程是一個一階非線形偏微分方程式；其中，函數有個廣義坐標，和個不相依的積分常數。在 HJE 中，哈密頓主函數有一个很有意思的属性，它是一種经典作用量。

與拉格朗日力學的拉格朗日方程比較，共軛動量也並沒有出現於拉格朗日方程。可是，這些方程式乃是一組個二階微分方程式，用來表示個廣義坐標隨時間的演變。再作一個比較，在哈密頓力學裏，哈密頓方程乃是一組個一階微分方程式，用來表示個廣義坐標和個廣義動量隨時間的演變。

因為 HJE 等價於一個最小積分問題（像哈密頓原理）， HJE 可以用於許多關於變分法的問題。更推廣地，在數學與物理的其它分支，像動力系統、辛幾何、量子混沌理論，都可以用 HJE 來解析問題。例如，HJE 可以用來找尋黎曼流形的測地線，這是黎曼幾何一個很重要的變分法問題。

[编辑] 導引
在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標變換為一組新的正則坐標，而同時維持哈密頓方程式的型式（稱為型式不變性）。舊的哈密頓方程式為

，
；
新的哈密頓方程式為

，
；
這裏，、分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量，是時間。

假若，我們使用第二型生成函數來生成新正則坐標，則新舊正則坐標的關係為

，
。
而新舊哈密頓量的關係為

。
（條目正則變換有更詳細的说明。）

[编辑] 哈密頓主函數
假若，我們可以找到一個第二型生成函數。這生成函數使新哈密頓量恆等於 0 。稱這個生成函數為哈密頓主函數。那麼，新哈密頓量所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單：

。
這樣，新正則坐標都成為邉映?