用牛顿运动定律描述力学体系的运动，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性

来源: marketreflections 于 2010-10-16 18:21:05 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (13249 bytes)

回答: 庞小峰：知道粒子所处的势场就能决定粒子在任何深刻，任何地点的状态和特征,Schrödinger 方程得不到一个在时-空由 marketreflections 于 2010-10-16 17:49:49

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7 经典力学的哈密顿理论

内容： · 哈密顿正则方程

　　　· 哈密顿原理

　　　· 正则变换

　　　· 哈密顿—雅可比方程

重点： ·哈密顿正则方程

· 正则变换

难点： · 正则变换

在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。

7.1 哈密顿函数和正则方程

（1）哈密顿函数

拉格朗日函数是

和t的函数：

，它的全微分为

将广义动量和拉格朗日方程：

代入上式，得

（7.1）

式中

（7.2）

，

是体系的广义能量。由

可以解出

故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。

　　若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守恒，则

H=E=T+V

（2）哈密顿正则方程

哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为

（7.3）

比较（7.2）和（7.3）式，得

（7.4）

（7.5）

（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对称，结构紧凑。

对于非保守系，正则方程形式为

哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。

[例1] 写出粒子在中心势场

中的哈密顿函数和正则方程。

解：粒子在中心势场中运动的特点、自由

度、广义坐标如何？

粒子的拉格朗日函数为

（1）

广义动量

（2）

哈密顿函数

于是得正则方程

（3）

（4）

[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。

解：取图7.3所示的转动参考系。粒

子的L函数为（参见5.12式）

（1）

所以

（2）

（3）

则哈密顿函数

（4）

（3）式代入（4）式，得

（5）

正则方程为

（6）

将

代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程

7.2 哈密顿原理

（1）最速落径问题和变分法

数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。

如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。

设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲

线运动速度为

质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间

（7.6）

显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为

δJ = 0

（7.6）

算符δ称为变分记号。

变分运算法则和微分运算法则相似：

（7.8）

（2）变分问题的欧拉方程

求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件：

为普遍起见，将（7.6）式改写

（7.9）

对上式求变分，令δJ=0：

因此，

（7.10）

（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程，

思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？

（3）哈密顿原理

一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标

来描述。

在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，

随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻

和

体系位于位形空间的

点和

点，相应的广义坐标为

和

（或缩写为

和

），

由

点通向和

点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实

轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的

真实轨道？即在

时间内，为何确定体系的s个广义坐标？

哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。

· 定义：

体系的拉格朗日函数在

内的积分

（7.11）

为哈密顿作用量（或主函数），是

的泛函数。

· 哈密顿原理

1843年哈密顿提出：对于一个保守系

的完整力学体系，其由动力学规律所决定

的真实运动轨道可由泛函数

取极值的条件

（7.12）

给出——哈密顿原理。

对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为

（7.13）

式中

为广义力。

由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。

7.3 正则变换

（1）选好广义坐标的重要性

选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。

（2）正则坐标变换的目的和条件

正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。

设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它们的变换关系为

（7.14）

如果变换后，新的哈密顿函数

仍然满足正则方程

（7.15）

满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。

满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：

（7.16）

式中F为正则变换母函数。

由（7.16）式可得

（7.17）

（7.18）

以上二式表明：由

时，

可任意规定；

规定后，

则

由

规定，F由

来选取，

由

来确定。

（3）四种不同类型的正则变换

（7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。

① 第一类正则变换

（7.19）

② 第二类正则变换

③ 第二类正则变换

④ 第二类正则变换

（4）正则变换的关键

若变换后新哈密顿函数只是变量

及t的函数，即

则由（7.15）式知

=常数

∴

可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。

[例1] 用正则变换法求平面谐振子的运动

，振

解：设振子沿x，y方向的动量为

动频率为

，哈密顿函数为

设母函数

由（7.19）式，得

（2）

将（3）式中的

及

表示代入（1）中，得

（4）

（5）

由（7.15）式，得

（6）

积分得

（7）

积分常数

由起始条件决定。

由（3）式得振子运动方程

（8）

7.4 哈密顿——雅可比方程

（1）方程的推导

通过正则变换可使新的哈密顿函数

结构简化，从而使正则方程

易于求解。最理想的情况是

，这时（常数），

（常数）。

的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧

哈密顿函数的关系为

（7.23）

取第二类母函数

，则由（7.20）式得

（7.24）

并根据

=0的要求，令

，则（7.23）式为

（7.25）

由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的解，则

（常数）

（7.26）

也是方程的解，故（7.25）式可改写成

（7.27）

（7.27）式称为哈密顿——雅可比方程，其中S（q,t）称为哈密顿主函数。

从（7.27）式求出S，再由

求出

，由

求出

，就可得出正则方程的全部积分了。这样，

正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿——雅可比方程（7.27）式求S的

问题。

（2）方程的解

为简单起见，设H=E（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒

问题的求解。

哈——雅方程为

（7.28）

由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程，故对t积分后得

（7.29）

式中

称为哈密顿特征函数，将

（7.30）

代入关系H=E，得

（7.31）

从（7.31）式可解得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E体系的哈密顿——雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（7.31）式中求特征函数W的问题了。通常采用“分离变量法”求（7.31）的解。

7.5 解题指导

（1）习题类型及基本解法

哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）

主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。

基本解法：将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数H代入相应的方程即得

体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：

① 析体系约束类型，主动力性质；

② 确定自由度，选择适当的广义坐标；

③ 正确写出体系的L函数和H函数；

④ 将L或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可

得出体系的运动微分方程；

⑤ 方程，出要求的量。

⑵ 范例

[例1] 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。

解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2，以r，Q为

广义坐标，拉格朗日函数为

代入哈密顿原理表达式，得

[例2] 用哈密顿—雅可比方程解开普勒问题。

解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为

（1）

哈密顿函数

（2）

由

，代入（2）和（1）得哈密顿—雅可比方程为

（3）

求出方程（3）的解，代入

（4）

可得

用

乘（3）式两边，并移项得

（5）

用分离变量法求解，令

（6）

将（6）代入（5）得

（7）

上式左边只是r的函数，右边只是θ的函数，要使其对任意的r、θ都成立，

只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用

来表示，由此可得

（8）

（9）

积分（8）式得

（10）

（9）式可改写为

所以

（11）

将（10）、（11）代入（6），最后得方程（3）的解：

（12）

将（12）代入（7.19）得

上式中的

为积分常数

，适当选取坐标原点，总可令

，于是得

（13）

令

，则（13）式可改写为

（14）

这正是开普勒问题的轨道方程。

（15）

这就是开普勒问题的运动方程r=r（t）的积分表示式，再将（15）和（14）

联立起来即可解得θ=θ（t）。