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[原创]超球面模型讲座(一) 多维空间，多元向量，和向量分析
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作者 正文
白捷
光明使者
性别:
加入时间: 2008/07/23
文章: 897
来自: MDSM Data Analysis Service, LLC
金币: 1939.40
时间: 2009-10-23 周五, 23:15 标题: [原创]超球面模型讲座(一) 多维空间，多元向量，和向量分析
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按：把《多维空间，多元向量，和向量分析》《多元向量基本运算》登出来，供大家学习讨论。
定位为[独创]是为了说明是作者的独立创见，其它文献里是没有的；即使已经被收入作者的书：《趋势分析机器在生态股市中的应用》
待继续编辑，修订。
多维空间(m-space)，多元向量(m-vectors)，和向量分析
• Two and Multi-Dimensional Spaces， multi-component vectors, communities of plants. Sample space and variable space，R analysis and Q analysis. Magnitude and direction of the vectors. MDSM on Knowledge tree. Three subscripts data, D(i,j,k), variable-sample-time. m-data analysts
1.1 小 游 戏
草 原 植 被 时 间 动 态 分 析(Temporal Dynamic Analysis, TDA) 的 问 题， 或 植 被 演 替 监 测 的 问 题 属 多 元-资 源 共 享- 指 数 增 长 系 统 的 动 态 分 析 问 题。这 本 讲 义 将 向 读 者 介 绍 多 元-资 源 共 享 - 指 数 增 长 系 统 动 态 分 析 及 其 研 究 方 法，超 球 面 模 型 MultiDimensional Sphere Model, 简 称 MDSM 的 原 理 及 其 应 用。 在 进 入 多 元 系 统 动 态 分 析 之 前 , 我 们 来 做 个 数 学 游 戏 。
用 笛 卡 尔 平 面 直 角 坐 标 系 XOY 表 示 两 个 植 物 种 所 组 成 的 植 被 : 横 轴 X 代 表 植 物 种 甲, 纵 轴 Y 代 表 植 物 种 乙, 原 点 是 O, 单 位 刻 度 是 克/ 平 方 米。 植 被 状 态 用 平 面 上 的 点 Z =Z(x,y) 来 表 示. 另 有 时 间 变 量 k。X, Y, 和 Z 都 是 时 间 的 函 数，X=X(k), Y=Y(k) ，Z＝Z(k) =(X(k) ,Y(k) ), 在 游 戏 开 始 时, k=0, 物 种 甲 的 地 面 生 物 量 是 每 平 方 米 30 克， 物 种 乙 是 每 平 方 米 40 克： X(0)=30, Y(0)=40, Z(0) =(X(0) , Y(0) )=(30,40)
下 面 我 们 分 A B C 三 种 情 况 来 讨 论 植 被 的 变 化。
1.1.1 情 况 A。 假 如 第 二 年, k=1, 草 原 植 被 发 生 变 化，由 Z(0) =(30, 40) 变 成 Z(1) =(40, 50)。 也 就 是 说， 物 种 甲 由 每 平 方 米 30 克， 上 升 到 每 平 方 米 40 克， 同 时 物 种 乙 由 每 平 方 米 40 克 上 升 到 每 平 方 米 50 克。增 幅 是 正 10, ∆X=∆Y=+10。 作 为 数 量 生 态 学 工 作 者，我 们 感 兴 趣 的 问 题 是, 从 第 一 年 到 第 二 年， 在 我 们 的 观 察 期 间， 植 被 成 份 是 否 有 变 化， 有 变 化 的 话， 在 向 哪 个 方 向 变 化?
解: 物 种 甲 地 面 生 物 量 由 30 克 上 升 到 40 克， 而 同 时 植 被 地 面 生 物 量 由 70 克 (30+40) 上 升 到 90 克（40+50）； 所 以 物 种 甲 在 植 被 中 的 份 额 由30/70 = 42.8% 增 加 到 40/90 = 44.4%. 与 此 同 时， 物 种 乙 的 地 面 生 物 量 由 40 克 上 升 到 50 克， 所 以 物 种 乙 在 植 被 中 的 份 额 由 40/70 = 57.2% 减 少 到 50/90=55.6%。
答 案： 植 被 不 仅 产 量 了 发 生 变 化， 而 且 植 被 成 份 也 发 生 了 变 化， 植 被 成 份 在 向 植 物 物 种 甲 增 加 的 方 向 变 化。
1.1.2 情 况 B。 假 若 第 二 年，k=1, 草 原 植 被 发 生 变 化，由 Z(0) =(30, 40) 变 成 Z(1) =(20, 30)。 也 就 是 说， 物 种 甲 由 每 平 方 米 30 克， 下 降 到 每 平 方 米 20 克， 同 时 物 种 乙 由 每 平 方 米 40 克 下 降 到 每 平 方 米 30 克。增 幅 是 负 10, ∆X=∆Y=-10。 我 们 感 兴 趣 的 问 题 同 样 是, 植 被 成 份 是 否 有 变 化， 有 变 化 的 话， 在 向 哪 个 方 向 变 化?
解: 物 种 甲 地 面 生 物 量 由 30 克 下 降 到 20 克， 而 同 时 植 被 地 面 生 物 量 由 70 克 下 降 到 50 克； 所 以 物 种 甲 在 植 被 中 的 份 额 由 30/70 = 42.8% 下 降 到 20/50=40%。同 时，物 种 乙 的 地 面 生 物 量 由 40 克 下 降 到 30 克， 所 以 物 种 乙 在 植 被 中 的 份 额 由 40/70 = 57.2% 上 升 到 30/50=60%。
答 案： 在 B 情 况 下， 两 植 被 组 成 成 份 物 种 甲 和 物 种 乙 地 面 生 物 量 各 下 降 10 克， 植 被 不 仅 产 量 有 变 化， 而 且 植 被 成 份 也 发 生 了 变 化， 植 被 成 份 在 向 物 种 乙 增 加 的 方 向 变 化。
1.1.3 情 况 C。假 若 第 二 年，k=1, 草 原 植 被 发 生 变 化，由 Z(0) =(30, 40) 变 成 Z(1) =(60, 80)。 也 就 是 说， 物 种 甲 由 每 平 方 米 30 克， 跃 升 到 每 平 方 米 60 克， 同 时 物 种 乙 由 每 平 方 米 40 克 跃 升 到 每 平 方 米 80 克， 地 面 分 种 生 物 量 分 别 各 增 加 了 一 倍。 我 们 感 兴 趣 的 问 题 仍 然 是, 植 被 成 份 是 否 有 变 化， 有 变 化 的 话， 在 向 哪 个 方 向 变 化?
解: 物 种 甲 地 面 生 物 量 由 30 克 上 升 到 60 克， 而 同 时 植 被 地 面 生 物 量 由 70 克 上 升 到 140 克； 所 以 物 种 甲 在 植 被 中 的 份 额 前 后 保 持 不 变， 都 是 30/70 =60/140= 42.8%。
同 样，物 种 乙 的 地 面 生 物 量 由 40 克 上 升 到 80 克， 植 被 地 面 生 物 量 由 70 克 上 升 到 140 克； 所 以 物 种 乙 在 植 被 中 的 份 额 也 前 后 保 持 不 变， 仍 然 是 40/70 =80/140=57.2%。
答 案： 在 C 情 况 下， 植 被 仅 产 量 有 变 化， 但 植 被 成 份 没 有 变 化， 处 于 稳 定 平 衡 状 态。
以 上， 我 们 讨 论 了 增 量 是 正 负 自 然 数 的 情 况， 现 在， 我 们 要 把 分 析 推 广 到 一 般 情 况，对 于 任 意 的 数 对 (两 个 数), 怎 样 确 定 植 被 向 哪 个 方 向 变 化?
解： 过 坐 标 原 点 O 和 代 表 初 始 状 态 的 点 Z(0) =(30,40) 做 射 线 OZ，射 线 OZ 将 XOY 平 面 划 分 为 3 个 区 域：以 OX 和OZ 为 边 界 的 平 面 XOZ, 以 OY 和 OZ 为 边 界 的 平 面 YOZ, 和 射 线 OZ。这 三 个 区 域 分 别 是: 物 种 甲 上 升 区 域 , 物 种 乙 上 升 区 域 , 物 种 甲 乙 保 持 初 始 比 例 发 展 的 区 域。可 以 分 别 表 示 为: T(x)>T(y), T(x)
当 代 表 植 被 的 点， 延 初 始 向 量 的 方 向 OZ 做 径 向 运 动 时， 植 被 是 在 按 初 始 的 组 成 比 例 在 增 长， 我 们 认 为 此 时 的 植 被 是 处 于 稳 定 平 衡 状 态。
如 果 代 表 植 被 的 点 横 向 运 动， 或 说 位 置 向 量 (position vector, 连 结 空 间 的 点 和 原 点 的 向 量) 在 平 面 上 发 生 偏 转， 则 表 示 植 被 的 组 成 发 生 了 变 化。 这 种 组 成 变 化， 可 以 用 向 量 在 空 间 的 偏 转 来 度 量： 如 果 向 量 偏 向 X 轴， 则 植 被 在 向 物 种 甲 增 加 的 方 向 变 化； 如 果 偏 向 Y 轴， 则 植 被 在 向 物 种 乙 增 加 的 方 向 变 化.
图1－1(暂略)
为 了 使 我 们 的 设 想 真 正 能 够 为 实 践 服 务, 我 们 需 要 把 这 个 结 论 从 2 维 空 间 推 广 到 多 维 空 间 (Multidimentional space， m- 空 间), 把 笛 卡 尔 （Descartes, Rene 1596-1650 )平 面 直 角 坐 标 系 扩 展 到 多 维 空 间 直 角 坐 标 系。 当 植 被 上 有 m 个 植 物 种 时， 或 说， 当 植 被 是 由 m-植 物 种 组 成 的 时 候， 这 片 植 被 可 以 被 看 作 是 以 m 个 植 物 种 为 轴 所 建 立 的 多 维 空 间 中 的 一 个 边 界 模 糊 的 超 椭 球 体， 或 超 体 积 (hypervolume)。 当 我 们 用 多 维 空 间 来 表 示 植 被, 用 多 维 空 间 的 点 来 代 表 植 被 状 态 时，空 间 的 点 或 以 空 间 的 点 为 端 点 的 多 元 向 量 向 某 个 坐 标 轴 偏 转 , 则 表 明 对 应 的 物 种 在 植 被 中 的 比 重 在 增 加。 而 向 量 在 多 维 空 间 的 偏 转， 可 以 用 向 量 和 相 应 坐 标 轴 的 夹 角，正 确 地 说 是 用 夹 角 余 弦 值 Cosine， 或 向 量 在 该 坐 标 轴 上 的 投 影 来 定 量 地 度 量。 当 状 态 向 量 向 X 轴 偏 转 时, 夹 角
从 这 个 小 游 戏， 我 们 可 以 看 到，由 于 组 成 植 被 各 物 种 的 基 准 点，在 这 里 指 的 是 初 始 的 地 面 生 物 量 不 同，即 使 组 成 系 统 的 各 分 量 增 幅 (减 幅) 相 同, 但 植 被 动 态 分 析 的 结 果 说 明 植 被 变 化 了。另 一 方 面，即 使 各 分 量 增 幅 (减 幅) 不 同, 但 如 果 增 率 相 同，则 植 被 动 态 分 析 的 结 果 说 明 植 被 是 稳 定 的, 平 衡 的。 所 以，植 被 动 态 分 析 和 差 (增 幅) 无 直 接 关 系, 而 只 和 增 率 有 关。 比 如， 草 原 建 群 种 羊 草 的 地 面 生 物 量 每 平 方 米 减 少 1 克， 和 弱 势 种 仙 人 掌 的 地 面 生 物 量 减 少 1 克 的 生 物 学 效 果， 及 其 向 我 们 传 递 的 信 息， 肯 定 是 不 同 的。 羊 草 地 面 生 物 量 一 般 在 每 平 方 米 100 克 左 右， 减 少1 克， 变 化 率 仅 是 百 分 之 一 左 右， 很 大 程 度 上 可 归 于 随 机 误 差， 没 有 什 么 特 殊 意 义， 但 一 个 弱 势 种 的 地 面 生 物 量 每 平 方 米 可 能 只 有 2－3 克， 减 少 1 克， 相 对 变 化 幅 度 很 大， 约 百 分 之 三 十 到 五 十， 无 法 归 于 自 然 误 差， 而 需 要 分 析 其 非 自 然 原 因。 比 如 其 原 因 也 许 是 野 战 军 车 的 碾 压， 毁 坏 了 肉 质 植 物 （Bai, etc. 1997)。所 以, 植 被 动 态 分 析 的 基 本 出 发 点 应 当 是 比 率， 是 乘 除 法, 而 不 是 加 减 法。 也 就 是 说, 描 述 植 被 动 态 增 长 的 模 型 ，监 测 植 被 的 模 型 应 当 是 基 于 指 数 增 长 的 多 维 模 型。
如 果 您 对 以 上 的 数 学 小 游 戏 感 兴 趣，并 已 基 本 掌 握 了 游 戏 规 则, 那 么，这 本 讲 义 的 深 度 就 适 合 于 你。
1.2 基本定义和概念
超 球 面 模 型, MultiDimensional Sphere Model， 简 称 MDSM 是 由 草 原 监 测 发 展 起 来， 能 够 对 多 元 系 统 进 行 动 态 分 析 的 新 的 数 学 工 具。 前 面 的 小 游 戏 中 已 经 包 含 了 超 球 面 模 型 的 几 个 重 要 前 提 假 定: 变 量 独 立, 资 源 共 享, 时 间 惯 性, 指 数 增 长。 使 用 多 维 直 角 坐 标 系 表 示 MDSM 接 受 变 量 独 立 的 假 定； 使 用 向 量 描 述 植 被 表 示 MDSM 接 受 多 维 变 量 空 间 的 点 和 植 被 一 一 对 应 的 假 定； 使 用 夹 角 表 示 MDSM 接 受 指 数 增 长 的 假 定。 用 趋 势 值 预 报 未 来, 表 示 MDSM 接 受 惯 性 的 假 定.
下 面 我 们 开 始 进 入 正 题， 逐 个 地 阐 述 超 球 面 模 型 的 基 本 定 义 和 概 念。 在 这 本 讲 义 中，植 被 的 时 间 动 态 分 析 (Temporal Dynamic Analysis, TDA) 被 归 于 系 统 动 态 分 析。 系 统 的 变 化 决 定 于 系 统 组 成 的 变 化。 系 统 动 态 分 析 就 是 系 统 组 成 变 化 的 分 析。在 做 系 统 动 态 分 析 前 我 们 首 先 要 明 确 系 统， 系 统 的 组 成 元 素，系 统 的 定 性 定 量 描 述（ 第 一 章）， 及 其 基 本 运 算 法 则（ 第 二 章）。
1.2.1 系 统 和 元 素
我 们 在 这 本 讲 义 里 取 上 海 辞 书 出 版 社 1979 年 出 版 的 辞 海 的 说 法：系 统 是 指 多 个 相 同 或 相 类 的 事 物 按 一 定 的 秩 序 和 关 系 所 组 合 而 成 的 总 体[1]。 按 这 个 定 义，植 被 是 一 个 系 统，是 由 植 物 组 成 的 系 统， 组 成 系 统 的 个 体 我 们 称 之 为 系 统 的 元 素 或 分 量。 植 物 种 是 植 被 的 元 素。系 统 和 元 素 的 关 系 是 总 体 和 个 体 的 关 系。 总 体 是 由 个 体 组 成， 并 由 个 体 来 体 现 的。 认 识 了 个 体，才 有 可 能 了 解 总 体。 但 认 识 了 每 个 个 体， 如 果 不 进 行 归 纳， 综 合， 仍 然 不 一 定 了 解 总 体。 这 本 讲 义 所 研 究 的 着 眼 点 在 于 个 体 和 总 体 的 关 系， 系 统 和 元 素 之 间 的 关 系, 讲 解 如 何 从 元 素 的 运 动 状 态 来 解 译 系 统 的 运 动 状 态, 如 何 从 草 原 组 成 各 物 种 的 消 长, 来 解 释 草 原 的 动 态, 并 预 报 未 来 的 状 态。
竞 争 系 统 和 互 惠 系 统
我 们 上 面 所 说 的 系 统 的 例 子， 植 被， 的 一 个 重 要 特 征 是 资 源 共 享， 所 有 组 成 系 统 的 元 素 分 享， 竞 争 共 有 的 资 源。
组 成 植 被 的 各 植 物 种 之 间 互 相 竞 争 水 份， 阳 光 和 养 料。 由 于 植 物 之 间 的 竞 争， 加 之 人 类 活 动 影 响 了 这 种 竞 争， 影 响 了 水 份， 阳 光， 养 料 在 不 同 植 物 种 之 间 的 分 配， 导 致 了 植 被 的 变 化。 我 们 认 为 草 原 监 测 的 问 题， 不 仅 是 产 量 的 监 测， 更 重 要 的 是 草 原 组 成 成 份 变 化 的 监 测， 是 物 质 能 量 信 息 在 不 同 植 物 种 之 间 分 配 的 变 化 的 监 测。 也 就 是 说，草 原 分 种 产 量 的 变 化 才 是 草 原 变 化 的 实 质 问 题。 由 于 竞 争 共 有 资 源 这 个 特 性， 我 们 在 系 统 动 态 分 析 时， 有 必 要 假 定 组 成 系 统 的 元 素 之 间 的 关 系 是 平 等 的，不 存 在 互 相 依 赖， 互 相 制 约， 或 特 惠 于 某 个 特 定 元 素 的 关 系。 系 统 中 或 许 存 在 有 不 同 元 素 之 间 的 互 惠 关 系 或 相 克 现 象，但 就 总 体 来 看， 竞 争 是 主 要 矛 盾。 特 别 是 当 我 们 侧 重 于 研 究 系 统 和 元 素 之 间 的 关 系 的 时 候， 研 究 生 物 与 其 环 境 的 关 系 的 时 候， 我 们 认 为 元 素 和 系 统 的 关 系 是 主 要 关 系， 是 我 们 研 究 的 重 点， 而 个 别 元 素 之 间 的 关 系 是 次 要 的， 从 属 的， 相 对 的， 是 我 们 在 宏 观 研 究，系 统 动 态 分 析 中 所 必 须 忽 略 的。 另 一 方 面, 变 量 无 关 的 假 定, 又 为 各 物 种 间 可 能 存 在 的 各 种 各 样 的 关 系 预 留 了 足 够 的 操 作 空 间; 而 且, 只 有 变 量 无 关 的 假 定, 才 能 够 为 各 物 种 间 的 各 种 各 样 可 能 存 在 的 关 系 预 留 足 够 的 空 间, 好 比 笛 卡 尔 平 面 直 角 坐 标 系 为 研 究 两 个 变 量 的 复 杂 关 系 提 供 了 有 力 工 具, 多 维 空 间 直 角 坐 标 系 也 为 多 个 变 量 的 关 系 的 研 究, 提 供 了 一 个 有 力 工 具.
下 面, 我 们 提 出 一 个 命 题 来 描 述 竞 争 系 统: 在 竞 争 系 统 中， 1＋1
超 球 面 模 型 用 向 量 加 法 来 表 述 这 种 竞 争 系 统 中 元 素 量 值 增 加 和 系 统 量 值 增 加 的 关 系。 按 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则， 两 个 向 量 相 加 时， "和 向 量" 的 长 度 是 以 两 个 加 向 量 为 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度， 如 公 式2-1 和 图1-2 所 示。
r^2=(q×sine
)^2+(p+q×cosine
)^2 2－1
图1－2， 向 量 加 法 的 图 示。
其 中， p 和 q 是 加 向 量, r 是 '和 向 量',
是 两 向 量 之 间 的 夹 角。正 弦sine
= RR’和 余 弦cosine
= QQ’ 分 别 是 两 个 加 向 量 的 夹 角 的 正 弦 和 余 弦。 图1-2 显 示，当 两 向 量 的 夹 角
为 0 度 时， '和 向 量' 的 长 度 是 两 向 量 的 长 度 的 和，当 两 向 量 的 夹 角 为 180 度 时， 和 向 量 的 长 度 是 两 向 量 的 长 度 的 差，当 两 向 量 的 夹 角 为 90 度 时， 和 向 量 的 长 度 是 以 两 向 量 为 边 的 矩 形 的 对 角 线 的 长 度。 从 这 里 我 们 可 以 看 出， 标 量 加 法 是 向 量 加 法 的 特 例（ 当 夹 角 等 于 0 或 180 度 时）， 而 向 量 的 加 法 是 标 量 加 法 的 扩 展。 由 于 任 意 向 量 可 以 被 分 解 成 一 对 互 相 垂 直 的 向 量， 我 们 在 这 本 讲 义 中 只 讨 论 向 量 垂 直 的 情 况。 虽 然 在 客 观 世 界 里， 向 量 垂 直 的 情 况 少 而 又 少， 但 研 究 向 量 垂 直 的 情 况 却 更 有 普 遍 意 义。 因 为 任 何 指 向 的 向 量 都 可 以 由 两 个 互 相 垂 直 的 向 量 来 合 成。 这 也 是 我 们 可 以 接 受 变 量 独 立 的 假 定 的 基 本 考 量。
指 数（ 几 何）系 统 和 线 性（算 术）系 统
植 被 的 特 性 之 二 是 组 成 系 统 的 所 有 元 素 呈 几 何 增 长 (Geometric Growth)， 或 指 数 增 长(Exponential Growth)。我 们 的 读 者 过 去 接 触 更 多 的 可 能 是 线 性 增 长(Linear Growth)， 或 算 术 增 长(Arithematic Growth)。 一 般 认 为 任 何 曲 线 都 可 以 用 折 线 去 无 限 逼 近， 所 以， 似 乎 任 何 增 长 都 可 以 用 线 性 增 长 来 描 述， 来 模 拟。 但 近 来 有 些 研 究， 特 别 是 生 态 学 的 研 究， 表 明 一 些 现 象 不 能 够 用 线 性 模 型 来 满 意 地 解 释。例 如 生 态 学 中 一 个 最 基 本 的 现 象，种 群 爆 炸， 似 乎 就 不 能 用 线 性 增 长 来 解 释。 数 学 上 认 为 按 比 例 增 长 的 事 物， 可 以 而 且 应 该 作 指 数 增 长 来 处 理[2]。 生 物 学 对 指 数 增 长 的 解 释 是，指 数 增 长 的 实 质 在 于 生 物 具 有 通 过 细 胞 分 裂， 有 性 或 无 性 繁 殖 来 复 制 (Replicate) 自 身 的 特 殊 性 质。从 本 质 上 讲， 凡 是 复 制 自 身 的 现 象 都 应 当 用 指 数 增 长 来 表 述。 生 物 繁 殖，资 本 产 生 利 息， 信 息 拷 贝 都 是 自 身 复 制 的 典 型 例 子， 都 属 于 指 数 增 长 的 范 畴。 物 理 学 中 的 原 子 弹 爆 炸， 高 温 物 体 的 冷 却，化 学 中 的 元 素 衰 变，也 都 是 指 数 增 长（ 衰 减） 的 例 子。 三 者 的 区 别 是，前 者 是 指 数 增 长， 而 后 二 者 是 指 数 衰 减 的 例 子。 处 理 指 数 增 长 的 最 基 本 运 算 是 除 法， 乘 法， 和 乘 幂。 没 有 定 义 除 法 运 算 的 系 统 不 能 很 好 地 处 理 指 数 增 长。 而 指 数 模 型 可 以 用 来 处 理 线 性 增 长: 当 幂 指 数 在 零 附 近 波 动， 增 率 围 绕 1 振 动 的 指 数 模 型 呈 现 平 稳 的 线 性 增 长. 我 们 认 为, 生 态 系 统 中 的 线 性 增 长 是 指 数 增 长 的 特 例, 是 增 率 等 于 1, 幂 指 数 等 于 0 的 指 数 增 长.
我 们 在 后 面 要 说 明， 对 于 一 个 多 元 指 数 增 长 系 统，当 组 成 系 统 的 元 素 都 保 持 初 始 的 比 例 增 长 时，表 达 系 统 的 运 动 轨 迹 在 多 维 空 间 是 一 条 具 有 确 定 指 向 的 射 线， 如 本 章 开 头 的 游 戏 1.1.3 中 的 例 子。 让 我 们 设 想，如 果 我 们 用 不 同 坐 标 轴 来 表 示 国 民 经 济 的 不 同 部 门， 由 于 不 管 计 划 指 导 或 自 由 竞 争， 国 民 经 济 总 是 要 按 比 例 发 展, 因 此， 在 多 维 空 间 里，国 民 经 济 的 运 行 轨 迹 应 该 近 似 于 一 条 射 线。 当 国 民 经 济 失 调 时， 这 条 射 线 在 空 间 偏 转 摆 动。原 则 上，我 们 可 以 监 测 这 条 射 线 偏 转 摆 动 的 程 度， 来 调 整 指 导 宏 观 经 济 的 发 展。 从 这 里， 我 们 似 乎 可 以 看 到 超 球 面 模 型 的 重 要 理 论 意 义 和 实 践 意 义。
随 机 系 统，确 定 性 系 统， 多 变 量 时 间 系 列
一 些 生 态 学 者 们 认 为 生 态 变 量 的 变 化 是 随 机 的、不 确 定 的， 因 此 是 无 法 测 量 的。 然 而, 我 们 对 超 球 面 模 型 的 研 究 和 检 测 实 践 表 明 生 态 变 量 的 变 动 虽 然 看 起 来 似 乎 是 随 机 的， 但 元 素 在 系 统 中 所 占 的 份 额 似 乎 是 确 定 的。 比 如， 在 草 原 样 方 中， 羊 草 的 株 数 似 乎 是 个 随 机 变 量， 但 经 验 告 诉 我 们 羊 草 在 特 定 草 原 植 被 中 的 比 例 却 是 相 对 稳 定 的。 还 有 一 些 生 态 学 者 们 认 为 生 态 系 统 的 变 化 过 程 是 随 机 的、不 确 定 的， 因 此 是 无 法 预 测 的。 然 而 我 们 对 超 球 面 模 型 的 研 究 和 实 践 表 明 系 统 的 变 动 在 一 定 程 度 上 似 乎 是 可 以 预 测 的。 这 里 我 们 所 说 的 预 测 当 然 不 像 对 确 定 性 模 型，如 出 膛 的 炮 弹 一 样， 可 以 随 时 准 确 无 误 地 预 报 它 的 位 置 和 速 度， 但 植 被 也 决 不 是 不 可 预 测 的， 因 为 它 的 运 动 是 很 有 惯 性 的, 也 就 是 说, 草 原 的 现 状 和 它 的 历 史 是 有 联 系 的。 我 们 可 以 把 它 比 作 一 个 具 有 能 量 和 自 我 控 制 机 制 的 生 物 体 在 多 维 空 间 的 游 走。 对 于 一 个 主 动 运 动 的 物 体，我 们 不 能 从 初 始 位 置， 初 始 速 度 来 预 测 它 在 任 意 时 刻 的 位 置 和 速 度， 因 为 它 不 是 一 个 被 动 运 动 的 炮 弹。但 是，如 果 我 们 能 够 知 道 物 体 在 时 间 k 的 位 置 和 速 率，我 们 便 有 可 能 预 测 它 在 时 刻 k＋∆ 的 位 置 和 速 率，特 别 是 当 ∆ 和 时 间 单 位 相 比 很 小（极 小 量） 的 情 况 下。在 这 种 情 况 下， 也 就 是 当 客 体 在 时 刻 k 的 位 置 和 速 率 已 知， 而 且 时 间 增 量 很 小 的 情 况 下，我 们 把 植 被 监 测 问 题， 系 统 监 测 问 题 归 结 为 时 间 系 列 问 题， 利 用 惯 性 原 理 来 处 理 系 统 动 态 分 析 问 题 可 能 比 较 合 适。由 于 植 被 的 惯 性 比 较 大， 度 量 植 被 变 化 的 时 间 单 位, 年, 与 植 被 自 然 变 化 的 地 质 年 代 相 比 很 短， 推 动 植 被 变 化 的 动 力 变 化 不 是 很 剧 烈， 植 被 的 变 化 趋 势 应 该 是 可 以 预 测 预 报 的。 中 国 北 方 的 沙 尘 暴，内 蒙 古 植 被 退 化 很 可 能 是 政 策 层 面 的 失 误， 而 不 是 人 们 没 有 早 早 感 知 它 的 变 化。 事 实 上， 我 们 早 在 1985 年， 课 题 中 就 预 报 了 中 国 草 原 的 退 化， 及 其 对 气 候 变 化， 特 别 是 大 风 天 数 增 加 的 影 响。 我 们 甚 至 定 量 地 预 报 了 北 京 地 区 8 级 以 上 大 风 天 数 增 加 的 趋 势。 现 在 看 来, 结 果 不 幸 被 我 们 言 中 了。 而 我 们 当 时 在 预 测 中 使 用 的 状 态 转 移 对 角 矩 阵 就 是 现 在 的 超 球 面 模 型 趋 势 向 量 的 雏 形。
参见节 录： 中 国 草 原 退 化 趋 势 及 预 防 对 策 研 究 的 期 中 报 告。
1.2.2 多 维 空 间，空 间 的 点， 和 多 元 向 量
在 前 面 的 小 游 戏 中， 我 们 曾 经 用 二 维 空 间 中 的 点 来 表 示 二 元 植 被 的 状 态， 并 对 二 元 植 被 进 行 了 动 态 分 析。 我 们 现 在 需 要 把 这 个 思 维 方 法 推 广 到 任 意 多 元 植 被 和 任 意 多 维 空 间。在 这 本 讲 义 里 我 们 用 m-维 空 间 来 表 示 我 们 所 要 研 究 的 任 意 多 维 空 间。 按 惯 例， m 是 小 写 斜 体 字 母。 在 本 讲 义 中, m 特 指 大 于 三 的 自 然 数， m-维 空 间 是 超 过 3 维 的 空 间。 我 们 现 在 翻 译 MDSM 为 超 球 面 模 型， 代 替 过 去 的 ‘多 维 球 面 模 型’。 因 为， 二 维， 三 维 空 间 也 是 多 维 空 间。 但 二 维 三 维 空 间 的 研 究 已 经 很 透 彻 了， 而 植 被 中 只 有 两 种 三 种 植 物 的 例 子 却 很 少 见。
引 申 哈 钦 松 为 生 态 位 的 定 义 (Hutchinson, 1957), 我 们 取 草 原 植 被 的 数 量 生 态 学 描 述 为： 草 原 植 被 是 多 维 植 物 种 空 间 的 超 体 积 hypervolume. 如 果 一 个 植 物 群 落 有 m 个 植 物 种， 则 草 原 植 被 的 状 态 可 以 而 且 应 该 同 时 用 m 个 数 来 描 述。 当 一 个 植 物 种 的 数 量 指 标 可 以 取 任 何 实 数 时， 这 个 植 物 种 可 以 用 一 个 数 轴 来 表 示。 当 m 个 植 物 种 之 间 的 关 系 可 以 忽 略 不 计 时，我 们 用 组 成 草 原 植 被 的 m 个 植 物 种 为 坐 标 轴 来 建 立 m 维 直 角 坐 标 系。这 m 个 植 物 种 的 所 有 可 能 的 取 值 组 合 和 加 减 乘 除 四 则 运 算 构 成 m 维 空 间。由 于 是 以 变 量 为 坐 标 轴 建 立 空 间， 所 以 又 称 m 变 量 空 间，以 便 与 样 本 空 间 相 区 别。 在 这 本 讲 义 中， 我 们 用R^m 来 表 示 m 维 变 量 空 间。 其 中 幂 m ， 表 示 维 数， 底 R，表 示 元 素 的 取 值 范 围，是 实 数。
这 样, 植 被 是 多 维 物 种 空 间。 一 块 有 m 个 植 物 种 的 植 被 可 以 用 一 个 m-向 量 来 表 示。 当 我 们 定 义 了 加 减 乘 除 四 则 运 算，并 解 释 了 它 们 的 和 差 积 商 的 植 被 学 意 义 时，植 被 就 是 我 们 要 研 究 的 m-空 间。
需 要 强 调 的 是，这 里 定 义 的 m-空 间 和 其 它 的 多 维 空 间, 如 线 性 空 间 有 不 同。它 的 元 素 之 间 要 进 行 数 学 运 算。 而 且 不 仅 是 加 减 法 运 算， 还 要 能 做 乘 法 除 法 运 算。 能 否 做 向 量 的 除 法 运 算 是 m-空 间 和 线 性 空 间 的 根 本 区 别。 根 据 线 性 空 间 的 定 义， 在 线 性 空 间 里 是 不 能 做 向 量 除 法 运 算 的。
多 维 空 间 是 个 数 学 概 念。 当 m >3 时， m 维 空 间 在 现 实 世 界 是 不 存 在 的。 为 了 研 究 m 维 空 间 的 性 质， 我 们 要 借 用 二 维 空 间, 三 维 空 间 的 知 识。我 们 认 为 高 维 空 间 是 由 低 维 空 间 组 成 的。也 就 是 说 ，高 维 空 间 也 是 由 点, 线, 面 组 成 的。而 且, 在 发 现 新 的 规 律之 前 , 我 们 假 定 低 维 空 间 的 规 律 也 同 样 适 用 于 高 维 空 间。 在 《数 值 分 类 学》 ( 科 学 出 版 社, 赵 铁 桥 译, 汪 振 儒 校)一 书 中, Sneath 氏 也 指 出,” 可 在 代 数 上 证 明, 常 规 三 维 空 间 的 几 何 定 理 能 够 扩 展 到 多 维 的 欧 几 里 德 空 间 中.”例 如，我 们 认 为 多 维 空 间 中 的 多 元 向 量 是 一 个 点， 各 分 量 之 间 比 例 相 同 的 点 组 成 一 条 射 线； 两 个 相 交 向 量 确 定 一 个 平 面。 我 们 可 以 在 这 个 平 面 上 研 究 这 两 个 向 量 的 关 系： 它 们 之 间 的 夹 角、投 影， 垂 线。 因 此，二 维 的 平 面 几 何, 三 维 的 立 体 几 何 是 多 维 空 间 、多 元 向 量 分 析 的 重 要 工 具， 也 是 主 要 工 具。
投 影
由 于 分 量 之 间 独 立 的 假 定， 我 们 可 以 分 别 研 究 m 元 向 量 的 m 个 分 量， 也 就 是 向 量 在 各 个 坐 标 轴 上 的 投 影， 然 后 归 纳 m 个 分 量 的 结 果 合 成 结 果 向 量。 空 间 m-向 量 和 第 I 个 坐 标 轴 在 原 点 相 交, 这 两 条 发 自 原 点 的 射 线 确 定 一 个 平 面. 我 们 可 以 在 这 个 平 面 上, 从 m-向 量 的 端 点 向 第 i 个 坐 标 轴 作 垂 线，连 结 原 点 和 垂 足 的 线 段 是 向 量 在 第 i 个 坐 标 轴 上 的 投 影。 这 样, 原 点， 向 量， 垂 足 三 点 构 成 一 个 直 角 三 角 形。 我 们 利 用 这 个 直 角 三 角 形, 在 空 间 的 第 i 个 平 面 上， 向 量 和 它 的 投 影 所 确 定 的 平 面 上 研 究 第 个 i 分 量 的 性 质。
变 量 空 间 与 样 本 空 间， Q 分 析 与 R 分 析
变 量 空 间. 以 变 量 为 坐 标 轴 建 立 的 空 间 称 变 量 空 间。变 量 空 间 的 点，向 量，代 表 样 本，或 系 统 的 状 态。 我 们 建 立 变 量 空 间 是 为 了 对 样 本, 对 客 体 (Objects) 进 行 分 析，找 出 样 本 之 间, 或 样 本 所 代 表 的 系 统 状 态 之 间 的 关 系。 这 种 对 客 体 进 行 的 分 析 被 称 为 Q 分 析. 我 们 这 本 讲 义 主 要 讲 的 是 Q 分 析.
与 变 量 空 间 相 对 应 的 是 样 本 空 间。样 本 空 间 是 统 计 学 的 基 本 概 念 之 一。 样 本 空 间 有 两 种 解 释。一 种 是 指 样 本 的 所 有 可 能 的 集 合。另一 种, 是 用 样 本 为 轴 建 立 的 空 间 (Gauch, 1982)。 两 者 都 假 定 样 本 之 间 独 立， 这 里 的 独 立 是 指 被 选 取 的 机 会 相 等。 通 过 随 机 取 样, 每 个 样 本 被 选 的 机 率 是 相 等 的。样 本 空 间 的 点，代 表 变 量, 或 属 性 (Descriptors) 。 人 们 在 样 本 空 间 里 研 究 变 量 之 间 的 关 系, 属 性 之 间 的 关 系。 在 样 本 空 间 研 究 变 量 之 间 关 系 被 称 为 R 分 析. 常 见 的 统 计 分 析 属 于 R 分 析.
多 元 向 量
我 们 在 介 绍 空 间 的 同 时 曾 经 简 单 介 绍 了 多 元 向 量。 现 在 我 们 进 一 步 来 阐 明 空 间 的 点， 向 量， 和 数 组 三 者 之 间 的 恒 等 关 系。 首 先， m-维 空 间 的 点 和 m-元 数 组 是 一 一 对 应 的。从 m- 空 间 的 一 个 点 分 别 向 m 个 坐 标 轴 投 影， 我 们 得 到 m 个 数， 这 m 个 数 按 一 对 顺 序 排 列 构 成 m-元 数 组 (array)。 反 过 来， m-元 数 组 和 空 间 的 点 也 是 一 一 对 应 的。 对 于 任 意 一 个 m-元 数 组， 以 数 组 的 元 素 为 坐 标， m-空 间 中 有 一 个 点 和 这 个 数 组 相 对 应。 人 们 可 以 用 m-数 组 来 表 示 m-空 间 的 点， 也 可 以 用 m-空 间 的 点 来 表 示 m-元 数 组。 其 次，如 果 把 m-空 间 的 点，看 作 是 从 原 点 O 运 动 发 展 来 的，则 m-空 间 的 点 是 发 自 原 点 的 一 支 m-元 向 量 的 端 点。 或 以 空 间 的 点 为 端 点 的 位 置 向 量 (Position Vector). 这 样, m-空 间 的 点 和 m-元 向 量 是 一 一 对 应 的. 对 于 空 间 任 意 的 点, 连 结 该 点 和 原 点, 我 们 得 到 一 确 定 的 向 量. 对 于 任 意 向 量, 它 的 端 点, 在 多 维 空 间 是 唯 一 确 定 的. 这 样, 我 们 可 以 用 m-空 间 的 点 来 表 示 m-元 数 组， 表 示 m-向 量。 反 过 来， 也 是 一 样 的。
向 量 赋 予 数 组 一 层 新 的 意 义。 向 量 是 有 指 向 的， 向 量 通 过 它 在 空 间 的 指 向 对 系 统 的 组 成， 其 整 体 结 构， 组 成 成 份 的 相 对 比 例， 做 唯 一 的 刻 划 描 述。 这 里 的 唯 一， 也 是 一 一 对 应 的 意 思。 每 一 个 m-向 量 刻 划 了 m-系 统 的 一 个 状 态， 而 m-系 统 的 每 一 个 状 态 都 可 以 用 一 个 m-向 量 来 表 示。 我 们 这 本 讲 义 的 目 的 就 是 向 读 者 介 绍 如 何 使 用 向 量 来 描 述 系 统 的 状 态 和 不 同 状 态 之 间 的 关 系。
向 量 的 量 值 和 方 向
向 量 的 概 念 是 超 球 面 模 型 的 重 要 基 础。 有 必 要 对 向 量 做 一 个 严 格 的 定 义。我 们 取 格 若 莱 尔 百 科 全 书 的 定 义(GROLIER, 1995): 向 量 是 既 有 量 值(Magnitude) 又 有 方 向 (Direction) 的 量。
细 心 的 读 者 可 能 已 经 注 意 到，格 若 莱 尔 百 科 全 书 对 向 量 的 定 义 和 一 些 线 性 代 数 教 科 书 (如Leon, 1994) 的 定 义不 同。在 Leon 的 线 性 代 数 教 科 书 中, 向 量 被 定 义 为: N 个 数 所 组 成 的 数 组, 而 没 有 提 到 方 向。而 格 若 莱 尔 百 科 全 书 则 很 强 调 方 向, 并 把 方 向 作 为 向 量 的 两 个 基 本 要 素 (量 值 和 方 向) 之一。 在 这 本 讲 义 里，我 们 取 格 若 莱 尔 百 科 全 书 的 定 义。向 量，向 量，就 是 要 有 方 向， 否 则 就 不 成 其 为 向 量 了。如 果 把 向 量 仅 作 为 数 组，或 M×1 的 矩 阵， 则 完 全 忽 略 了 向 量 的 方 向 性。 事 实 上，具 有 方 向 性 是 向 量 非 常 重 要 的 性 质 和 功 能, 也 是 我 们 这 本 讲 义 阐 述 发 挥 的 基 本 点。
向 量 方 向 重 要 性 的 实 例:
三 维 空 间 中 的 向 量 A=(3,1,0) 和 向 量 B=(0, 1, 3) 是 不 同 的。A和 B 分 别 是 三 维 空 间 中 不 同 的 点, 是 不 同 的 向 量，代 表 不 同 的 系 统 状 态, 虽 然 A 和 B 的 量 值 同 为 根 号 10。在 植 被 学 中，A 和 B 可 以 代 表 不 同 的 植 被。如 果 这 个 三 维 空 间 的 三 个 坐 标 轴 分 别 是：树, 灌 木, 和 草，则 A=(3,1,0) 是 林 地, 它 的 组 成 是（3林＋1灌＋0草）。而 B=(0,1,3) 是 草 地。 它 的 组 成 是 （0林＋1灌＋3草）。 对 于 向 量 来 说，不 仅 量 值，方 向 也 是 很 重 要 的。 对 于 植 被， 不 仅 组 成 植 被 的 总 量 (生 物 量， 能 量， 信 息 量 的 总 和) 是 重 要 的，这 个 总 量 在 各 个 植 物 种 间 的 分 配 也 是 重 要 的。 总 生 物 量 在 不 同 植 物 上 的 不 同 分 配， 形 成 不 同 的 植 物 群 落。超 球 面 模 型 认 为 发 自 原 点 的 同 一 射 线 上 所 有 的 点 ( 共 线 的 点, Colinears) 代 表 相 同 的 植 被 , B=(0,1,3) 等 同 于 B'=(0,2,6)。 按 以 上 的 分 析 , B 和 B' 都 是 草 地, 而 且 是 具 有 相 同 组 成 的 草 地. 我 们 把 植 被 组 成 作 为 植 被 的 质 的 指 标 , 而 把 植 被 的 量 值 (Magnitude) 作 为 量 的 指 标。换 句 话 说 , 我 们 认 为 向 量 的 方 向 代 表 指 被 的 质 , 而 向 量 的 长 度 代 表 植 被 的 量。我 们 把 上 例 中 B 和 B ' 在 量 值 上 的 差 异 主 要 归 因 于 可 能 的 取 样 面 积 的 差 异 , 取 样 季 节 的 差 异 , 丰 年 歉 年 的 差 异 , 取 样 手 段 的 差 异 . 并 把 它 们 作 为 植 被 动 态 分 析 中 需 要 滤 去 的 噪 音 ( Noise) 来 处 理。
1.2.3 向 量 分 析
超 球 面 模 型 在 知 识 树 上 的 位 置
我 们 前 面 说 过，超 球 面 模 型 是 为 草 原 监 测 设 计 的， 是 为 竞 争 性 资 源 管 理 服 务 的。 但 超 球 面 模 型 不 属 于 生 态 学， 虽 然 它 源 发 于 植 被 分 析， 源 发 于 数 量 生 态 学。 超 球 面 模 型 属 于 数 学 的 一 个 分 支，向 量 分 析。 同 时，MDSM 又 对 传 统 的 向 量 分 析 有 发 展。
图1-3 是 根 据 1999 年 光 盘 版 的 GROLIER 百 科 全 书 所 绘 制 的 知 识 树 的 局 部， 显 示 超 球 面 模 型 在 知 识 树 上 的 位 置。 依 据 百 科 全 书，知 识 树 先 分 为：艺 术, 历 史, 技 术 (Technology), 科 学 (Sciences)，科 学 再 分 为，物 理, 化 学, 生 物, 数 学(Math) 等，数 学 再 分 为：代 数, 几 何, 数 论, 微 积 分, 统 计, 概 率, 分 析(Analysis) 等，分 析 再 分 为：维 数 分 析, 福 理 叶 分 析, 向 量 分 析 (Vector Analysis）。
图1-3 超 球 面 模 型 在 知 识 树 上 的 位 置 （据Grolier Encyclopedia,1999绘制）
传 统 的 向 量 分 析 在 物 理 工 程 上 有 广 泛 的 应 用 ; 但
1). 传 统 的 向 量 分 析 一 般 限 于 三 维 空 间 (Davis, 1979); 而 植 被 的 元 素 数 目 不 能 仅 限 于 3。 超 球 面 模 型 把 向 量 分 析 扩 展 到 任 意 多 维 空 间， 使 向 量 分 析 可 以 有 更 广 泛 的 应 用。
2). 传 统 的 向 量 分 析 一 般 限 于 线 性 空 间 。 线 性 空 间 没 有 定 义 向 量 除 法， 而 且，线 性 空 间 的 向 量 乘 法 的 定 义 对 空 间 不 封 闭。 向 量 乘 法 不 封 闭 的 意 思 是 说，两 个 n-向 量 的 乘 积 不 再 是 n-空 间 的 点， 因 此 传 统 的 向 量 乘 法 没 有 逆 运 算。 超 球 面 模 型 作 为 扩 展 了 的 向 量 分 析， 它 定 义 了 向 量 的 乘 法 除 法， 而 且 这 样 定 义 的 向 量 乘 法 除 法 对 空 间 封 闭， 可 以 有 逆 运 算，可 以 处 理 指 数 增 长， 因 此， 特 别 适 用 于 诸 如 生 物，金 融 和 信 息 等 新 兴 的 科 学 领 域。
3）相 对 于 传 统 的 向 量 分 析，MDSM更 侧 重 于 向 量 的 角 度。MDSM 认 为 向 量 的 角 度 携 带 着 系 统 组 成 的 重 要 信 息。MDSM 进 行 分 析 的 主 要 途 径 是 投 影 到 单 位 超 球 面, 从 而 保 留 向 量 的 方 向，保 留 向 量 间 的 夹 角。
1.3 三 下 标 变 量
我 们 一 般 要 通 过 取 样 来 认 识 辽 阔 的 草 原。为 了 更 准 确 地 了 解 认 识 草 原， 我 们 要 做 多 个 观 察， 取 多 个 样 品。 草 原 数 据 通 常 都 是 多 样 本 的， 有 时 一 块 草 地 的 样 本 数 目 可 以 达 到 几 百 个。另 一 方 面，草 原 植 被 是 由 多 种 植 物 构 成 的， 样 本 中 对 每 一 个 植 物 种 都 要 有 描 述， 记 录。 因 此，草 原 数 据 又 是 多 变 量 的， 一 般 草 原 上 的 植 物 可 以 多 达 上 百 种。草 原 数 据 通 常 是 一 个 样 方×变 量 的 矩 阵。 为 了 进 一 步 研 究 草 原 的 动 态， 人 们 往 往 需 要 回 到 同 一 地 点，重 复 观 察， 称 为 定 位 观 察， 对 同 一 块 草 地 的 数 据 进 行 多 年 的 积 累。 自 联 合 国 教 科 文 组 织 的 《人 与 生 物 圈 计 划》 以 来， 世 界 各 国 的 科 学 家 都 建 立 了 各 自 的 定 位 观 察 站， 并 已 经 积 累 了 成 吨 的 数 据。 由 于 这 些 数 据 是 多 样 方， 多 变 量， 多 时 间 的， 一 般 被 称 为 三 向 数 据 (Three Way Data)。 三 向 数 据 需 要 用 一 种 比 较 特 殊 的 数 据 形 式，三 下 标 变 量 来 表 示：
D(i,j,k)，i=1,2,..m, j=1,2,..n, k=-1,0,1,..o;
其中 第 一 下 标 i 用 来 区 别 变 量 或 属 性， 第 二 下 标 j 用 来 区 别 样 本(观察值)， 第 三 下 标 k 用 来 区 别 时 间。三 下 标 变 量 对 于 生 态 学 工 作 者 （以至数学工作者）是 新 的 数 据 形 式。在 这 本 讲 义 中, 我 们 称 其 为 "晶 阵", 以 便 和 双 下 标 变 量 矩 阵 相 对 应，相 区 别。
至 此，我 们 认 识 到，数组(Array) 是 个 比 较 大 的 概 念， 它 包 括 向 量，矩 阵 和 晶 阵， 这 三 者 分 别 是一 下 标 变 量， 二 下 标 变 量 和 三 下 标 变 量。 其 中， 向 量 具 有 一 个 特 殊 的 性 质， 方 向 性， 从 而 使 它 有 别 于 其 它 的 数 组。
根 据 大 数 定 律， 当 样 本 数 目 增 多 时， 样 本 的 平 均 值 逼 近 总 体 的 真 值。在 设 计 取 样 的 时 候，为 了 更 全 面 准 确 地 描 述 总 体，人 们 倾 向 于 大 量 重 复 取 样。特 别 是 计 算 机 的 广 泛 应 用， 使 人 们 在 取 样 的 时 候，往 往 遵 循 宁 滥 勿 缺 的 原 则， 这 样 就 造 成 了 很 大 的 数 据 库， 而 且 难 免 形 成 数 据 中 大 量 的 冗 余 信 息。如 何 从 这 些 庞 杂 的 数 据 中， 拣 出 我 们 所 需 要 的 信 息， 滤 去 冗 余 和 糟 伯，发 现 数 据 内 部 关 系，需 要 特 殊 的 技 能 和 训 练， 需 要 专 门 的 知 识。 这 本 讲 义 就 是 指 点 多 元 数 据 分 析 工 作 者 利 用 超 球 面 模 型 对 三 下 标 数 据 进 行 处 理， 使 用 特 定 的 滤 波 器: 中 心 化 (Centralization)， 标 准 化 (Standardization)， 卡 门 滤 波 (Kalman Filter) 来 滤 去 噪 音，从 大 量 的 植 被 数 据 中 提 取 有 用 的 信 息，以 向 量 为 基 本 单 位， 通 过 对 向 量 的 加 减 乘 除 运 算 和 角 度 分 析，对 向 量 所 代 表 的 系 统 的 状 态 进 行 监 测 和 预 报，帮 助 我 们 认 识 植 被 的 动 态， 预 报 植 被 未 来 的 状 态。
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生态系统，和而不同
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