相空间是指以"时间"为横坐标, 相空间是指以"时间"为横坐标, 频域"为纵坐标的欧氏空间, "频域"为纵坐标的欧氏空间,而相空

来源: marketreflections 于 2010-10-14 06:57:23 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (8755 bytes)

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2010年6月23日 ... 信号的时域和频域之间具有紧密的联系. 1,傅立叶变换与时频分析我们知道, ... 只有当,同时为窗函数时,才能在相空间确定一个矩形窗口: [t 0 w , t 0 + w ...
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信号时频分析的重要性: 时间和频率是描述信号的两个最重要的 物理量. 信号的时域和频域之间具有紧密的联系. 1,傅立叶变换与时频分析 我们知道,任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函 数表示成如下形式: a0 f (t ) = + 2 ∑ (a i =1 =1 +∞ k cos kω0t + bk sin kω0t ) (1.4) a b 振荡函数,直观讲都是正弦波.k和 k 是函数f(t)的傅立叶系数, 可由以下公式计算: 这就是著名的傅立叶级数, kω0t和sinkω0t 都是简单的调和 cos 2 ak = T 2 bk = T ∫ ∫ T 0 T f (t ) cos kω0tdt,k = 0,1,2LL f (t ) sin kω0tdt,k = 0,1,2LL (1.5) (1.6) 0 于是,周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应, 即 f (t ) {a0 , (a1 , b1 ), (a2 , b2 ),LL} (1.7) 从数学上已经证明了,傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近: N →∞ 0 lim ∫ T a0 f (t ) + 2 ∑ (ak cos kω0t + bk sin kω0t ) dx = 0 k =1 (1.8) N 2 对于L2(R)上的非周期函数f(t) ,有 f (ω ) = ∫ +∞ 称 f (ω ) 为f(t)的傅立叶变换,反变换公式为 ∞ f (t ) e iω t dt (1.9) f (t ) = ∫ +∞ ∞ f (ω ) e iω t d ω (1.10) 有了傅立叶变换,我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频 域 f (ω ) 上,于是信号的频率特性一目了然,并且与傅立叶级数 一样,傅立叶变换将一段信号的主要低频能量都集中在频率信 号的前面几项,这种能量集中性有利于进一步的处理.在过去 200年里,傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用, 但傅立叶分析也有不足,主要表现在以下两点: 傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性; 傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好. 下面通过一个例子来说明这两点. 歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数,其傅立叶变换就是将这个波函数转化成 某种乐谱.但遗憾地是,傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音,在 哪一时刻有低音,因此结果是所有的音符都挤在了一起,如图所示. 小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点,信号变换到 小波域后,小波不仅能检测到高音与低音,而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应,如图所示. 2.窗口傅立叶变换(Gabor变换) 相空间是指以"时间"为横坐标, 相空间是指以"时间"为横坐标, 频域"为纵坐标的欧氏空间, "频域"为纵坐标的欧氏空间,而相空 间中的有限区域被称为窗口, 间中的有限区域被称为窗口,沿时间轴 的一段区间被称为时间窗, 的一段区间被称为时间窗,沿频率轴的 一段区间被称为频率窗. 一段区间被称为频率窗. ω t 窗函数的数学定义如果函数 , 则 w (t )被称为窗函数.它的中心和半径分 别定义为: +∞ 1 2 t w (t ) dt 中心: t 0 = 2 ∫ w 2 ∞ 1 +∞ 2 1 2 2 半径: w = ∫ (t t 0 ) w(t ) dt w 2 w (t ) ∈ L1 (R ), 且 tw (t ) ∈ L 2 (R ) ∞ 该窗函数所确定的时间窗 [t 0 w , t 0 + w ] 窗函数的定义实际上就是对函数衰 减性的控制,也就是说窗函数具有在坐 标轴上具有很好的衰减性,从而达到对 坐标轴进行局部化的目的.窗函数所确 定的窗口是对它的局部性的一次刻画, 它是可用来对信号进行时频局部化分析 的基本函数,而窗函数本身则可由窗口 的尺度来表征其局部性,若 w 越小,则 说明 w(t ) 在时域上的局部化程度越高. 一个时域函数为窗函数,并不一定其 Fourier变换也为窗函数.只有当,同 时为窗函数时,才能在相空间确定一 个矩形窗口: [t 0 w , t 0 + w ]× [ω 0 w ,ω 0 + w ] 2ω ω0 t0 2 ω 窗口傅立叶变换的定义: – 假设 f(t) ∈ L2(R),则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶 变换定义为: WFg ( ω, b) = ∫ f (t) g (t - b) e- jωt d t -∞ +∞ 令: g ω,b (t) = g (t - b) e jωt 则: WFg ( ω, b) = ∫ f (t) g ω,b (t) d t -∞ +∞ = f (t), g ω,b (t) 窗口傅立叶变换的物理意义: – 若g(t)的有效窗口宽度为Dt,则WFg(ω, b)给出的是f(t) 在局部时间范围[b - Dt/2, b + Dt/2]内的频谱信息. – 有效窗口宽度Dt越小,对信号的时间定位能力越强. 窗口傅立叶变换的频域性质: 问题的提出: – 窗口傅立叶变换WFg(ω, b) = 给出的是信 号在时域上的处理信息,一个很自然的问题是窗口傅 立叶变换在频域上是怎样处理信号的? 假设f(t)的傅立叶变换为F(η),gω,b(t)的傅立叶变 换为G ω,b(η),则根据Parseval定理有: WFg(ω, b) = /(2π) 窗口傅立叶变换频域上的物理意义: – 若G (η)的有效窗口宽度为Dω,则WFg(ω, b)给出的是 F(η)在局部频率范围[ω - Dω /2, ω + Dω /2]内的频谱信 息. – 有效窗口宽度Dω越小,对信号的频率定位能力越强. 窗口傅立叶变换的性能分析: 问题的提出: – 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力, 又具有强的频率定位能力? – 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换 具有好的性能? 解决问题的思想: – 从物理意义上来看Dt和Dω是矛盾的,因此先定 义Dt和Dω后,再计算Dt和Dω的乘积用以作为判 断窗口傅立叶变换性能的依据. 窗口傅立叶变换的性能分析: 具体分析过程: 1 t0 = || g (t) ||2 ∫ +∞ ∞ t | g (t) |2 d t = 0 +∞ 1 ω0 = || G ( ω) ||2 ∫ ∞ ω | G (ω) |2 d ω = 0 – 定义: +∞ +∞ 1 2 2 D = (t - t 0 ) | g (t) | d t = ∫ t 2 | g (t) |2 d t ∞ || g (t) ||2 ∫∞ +∞ 1 1 +∞ 2 2 2 2 Dω = (ω - ω0 ) | G ( ω) | d ω = ω | G ( ω) |2 d ω || G (ω) ||2 ∫∞ 2π ∫∞ 2 t 窗口傅立叶变换的性能分析: – 计算Dt2×Dω2: 1 +∞ D D = ∫ | t g (t) | d t × | ω G (ω) |2 d ω ∞ 2 π ∫-∞ +∞ 1 +∞ 2 = ∫ | t g (t) | d t × 2π | g ' (t) |2 d t ∞ 2π ∫∞ 2 t 2 ω 2 +∞ ({g ' (t)} = jω G (ω)) ≥| ∫ t g (t) g ' (t) d t |2 ∞ +∞ 1 +∞ =| ∫ t dg 2 (t) |2 2 ∞ 2 1 2 +∞ 1 +∞ 2 = t g (t) |-∞ ∫ g (t) d t 2 2 ∞ = 1 4 窗口傅立叶变换的性能分析: 窗口傅立叶变换的时间分辨率和频 率分辨率不可能同时提高,只能以 一种分辨率的降低来换取另一种分 辨率的提高. 随着b, ω的变换,窗口在相空间不断平移; 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口 来提取被变换函数的信息; 函数族Wb,ω确定的时频窗口只是随b,ω发生平 移,窗口的大小和形状固定不变. 解决窗口傅立叶变换缺点的方法: 解决方法: 引入窗口变化机制,同时求各种窗口大小 下的变换,这样变换系数中就同时包含各种特 征尺度下信号的信息. Tg f (a, b) =| a | - 1 2 ∫ +∞ ∞ f (t) g ( t-b )d t a 3.小波 1822年Fourier变换,在频域的定位最准确,无任何时域定位能力. 函数,时域定位完全准确,频域无任何定位能力 1946年Gabor变换,STFT,窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保 持固定不变.不构成正交基. 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码,子带编码(subband coding),多 采样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基. 1981年Stormberg对Harr系进行改进,证明了小波函数的存在. 1984年,Morlet提出了连续小波 1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基, 证明了小波的自正交性. 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换,给出了快速算法. 1988年,Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座. 1.预备知识 从数学的角度讲,小波是构造函数空间正交基的基本单元, 是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数,这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识,特别是内积空间中空间分解,函数 变换等的基础知识. 从信号处理的角度讲,小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具,是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的,所以从信 号处理的角度认识小波,需要傅立叶变换,傅立叶级数,滤波器 等的基础知识. 一个信号从数学的角度来看,它是一个自变量为时间t的函 数f(t).因为信号是能量有限的,即 ∫ +∞ ∞ f (t ) dt = 0 2 满足上述条件的所有函数的集合就形成L2(R) 2.L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)∈L2(R) , 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ,t ∈R , i=1,2,…使得 f (t ) = 其中 ∑ c g (t ) i i i =1 +∞ (1.2) ci == = ∫ +∞ ∞ f (t ) g i (t )dt ∫ +∞ ∞ g k (t ) g l (t )dt = δ kl,k , l ∈ Z (1.3) 将小波理解为满足以下两个条件的特殊信号: (1) 小波必须时振荡的; (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零,即是局 部化的. 不是小波的例 小波变换的定义: – 假设信号 f(t) ∈ L2(R),则它的连续小波变换 +∞ t-b -1 2 时间平移参数 (W 定义为: ψ f )(a, b) =| a | ∫∞ f (t) ψ ( ) d t 归一化因子 a 尺度伸缩参数 ψ(t): 小波原型或母小波或基 本小波 t-b -1/2 ψ a,b (t) =| a | ψ( ), a ∈ R, a ≠ 0; b ∈ R : 小波函数,简称小波 a 一般可以简记为: (Wψ f )(a, b) = ∫ +∞ ∞ f (t) ψa,b (t) d t = f (t), ψ a,b (t) 连续小波变换的物理意义: – 时域上的意义:数学显微镜(一组有效宽度 不同的窗口傅立叶变换的汇集) (Wψ f )(a, b) = ∫ +∞ ∞ f (t) ψa,b (t) d t = f (t), ψ a,b (t) 小波变换的思想来源于伸缩和平移方法. 尺度伸缩 对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压 缩和伸展,如图所示. f (t ) = ψ (t ); a = 1 f (t ) = ψ (2t ); a = 1 f (t ) = ψ (4t ); a = 1 2 4 时间平移 时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行 移动,如图所示. 小波运算的基本步骤: (1) 选择一个小波函数,并将这个小波与要分析的信 号起始点对齐; (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近 程度,即计算小波变换系数C,C越大,就意味着此 刻信号与所选择的小波函数波形越相近,如图所示. 母小波的容许条件为: | Ψ ( ω) |2 Cψ = ∫ d ω

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