物理好图 “调和场的势函数必满足Laplace方程.” ,散度是单位体积上的发散量的极限

"原函数势函数"

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是 的一个原函数 ( 势函数)。 其一般表达式为：. 用偏积分求势函数. 要求势函数. 即. 亦即. 先对 式，视 为定数，两边对 积分：. 方法2. 这个积分“常数”当然可能是y 的 ...
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Stokes公式与场论初步(2)

二、Stokes公式的向量形式、场论初步


1. 梯度、散度、旋度


梯度 (Gradient )


定义1 实函数 的梯度场


梯度 的实际意义——


总是指向在点 处的最大方向导数的方向




表示在该方向上 变化最迅速(最快)。


周围更暖处，必须沿 的方向移动。


例如， 表示温度数量场，为了


从(x, y, z)点处出发，想以最快速度抵达


的散度定义为


定义2


散度(Divergence)
向量场 的散度原始定义作


可以证明，


简单地说,散度是单位体积上的发散量的极限，

当散度


正源（Sourse）,


是吸收通量的负源(Sink)，

定义3 向量场


的旋度定义为


旋度(Rotation or Curl)


简单地说,旋度是个向量，它的物理意义

是场在该向量方向上旋转性的强弱。

2. 旋度与环量，Stokes公式的向量形式


定义4.


线积分


向量场 沿空间有向闭曲线 C 的


称为 沿闭曲线C 的环量。

利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋


或


转的强度)，我们可以用向量的形式重写


Stokes公式。

由于Green公式可以看作是 中的 Stokes


公式，因


这时的


写成向量形式：


左端为沿平面曲线 L 的环(流)量。


因此Green公式仍可

向量场 沿选定方向的曲面S的面积分


3. 散度与通量，Gauss公式的向量形式


定义5


称为 向曲面指定一侧的通量。


通量在物理学中有多种意义, 如液体流量， 电通量，磁通量等.


利用通量及散度,我们也可以用向量形式重
写Gauss公式：

有关三“度”——梯度、散度、旋度的运 算法则和某些关系公式，略。(需要时请自己去查阅。)


4. 几种场——无旋场、无源场、调和场


无旋场


或

(1)若线积分 的值在G内与路径无关，


其中A, B 为G 内任意两点；


则称 为保守场,


(2)若在G内恒有 ,则称 为


无旋场;


有势场，并称 为 的势函数.


定义6


设向量场


(3)若存在G上的函数 ，使 ,则称 为

定理4


设G 是单连域，


则以下四个命题等价：


是无旋场，即


沿G内任意简单闭曲线 C 的环量


与路径无关；


是一保守场，即在G内线积分
是一有势场，即在G内存在 ，


作证明.它可以看作是 Green 公式的推论.


以下我们只对定理4的2D空间的情况定理


定理


设区域


则以下四个命题等价：


在 内,处处成立
沿 内沿任一分段光滑简单闭曲线C


的线积分


在 内线积分 与路径


无关(只与始终点有关)；


在 内存在


以下证明.

区域 ，以 C 为其边界曲线。


证：我们用循环推证法来证明这四个等价命题.


按 的顺序证.























因在 内,处处成立


由Green公式，立即有：


其中 C 为 内任一分段光滑简单闭曲线，







设A, B为 中任意两点，以 A为始


点,B为终点的任意连续的属于 的两条


曲线 APB 和 AQB, 如果象


无其它交点,则因 成立，





右图两曲线


除A, B两点外

若如右图两曲线除 A,B


两点外还有其它交点, 则


可从A出发另作一条曲线


弧ARB, 使其与弧 APB和


弧 AQB 均不相交, 从而


与路径无关.


于是证得了线积分只与始终点有关，而与





在 成立的条件下，在 内任取一定点





作始点，


动点 为终点，


从而积分值


在与路径无关的条件下，


仅是终点(上限) 的二元函数。






事实上,只需证


变量 , 取M点使


如右图，给 一个改


利用偏导数定义


以下证明,这个 恰满足：



应用

积分

中值

定理


最后一个等号是因为 在 上连续.

同理可证：


因 故 在 可微，


于是








最后因


即其二阶偏导连续，所以


(定理 证完)


即

定理4(及定理 )的重要性在于：


给出场论中的一个具有实际意义及数学意
义的重要结论，即：


无旋场


有势场


保守场


给出了数学上判定保守场的多种方法；


特别还给出了求势函数的方法：相当于


求某些二元函数的原函数的方法，同时


为解全微分方程提供了一种有效的方法。

例4


验证向量场


是有势场，并求其势函数.


解


因


所以， 为有势场。


以下介绍两种求势函数方法。


在积分与路径无关条件下，选择


特殊路径，用线积分求势函数法.


方法1

此例选积分路径由


y


x


o


即：


是 的一个原函数 ( 势函数 )。

其一般表达式为：


用偏积分求势函数.


要求势函数


即


亦即


先对 式，视 为定数，两边对 积分：


方法2

这个积分“常数”当然可能是 y 的函数，


故记作


将(c)式两端对 y求导, 并与


(b)式比较，得：


代入 (c) 式

例5


计算线积分


其中C为摆线：


上由 点到


点的有向弧段。


解


此例若用第二型曲线积分的基本方法计算是


很难算的，


但由于

现选沿 x 轴从


径使线积分的计算最简单.


因此积分与路径无关，于是可选一路


的路径

例6


求解全微分方程


解1


全微分方程中，当


就称为恰当方程,


的方法来解，设


则








这种方程可以用求偏积分

得


由





式两边对y求偏导数得


: 比较,可得


将结果与

用线积分的方法求解全微分方程,(求原函

数), 由于是恰当方程,因此线积分与积分

路径无关，故


解2


故

x


o


y


解3


用凑全微分的方法。


将


改写为：


凑成

于是原方程的通解为


以下是一些常出现的凑二元函数全微分的表达式
对于保守场(无旋场),若求得势函数


线积分可以用类似 Newton-Leibniz公式

的方法计算：


定义7


若向量场 中处处有


则称 为无源场.


定理5


设 为二维单连域，


则以下四命题是等价的：


无源场



是无源场，即在G内恒有





穿过 G 内任一向量管的所有截面的通


向量场 的旋度场，


称为 的一个


向量势.


沿G内任一简单闭曲面S的通量为零：





使 为


在G内存在向量函数





量均相等。

但 又无源，


定义8


既无源


的向量场 称为调和场。


因为 为调和场，


则 无旋


故存在势函数 u,


于是


又无旋


调和场具有什么特征呢？


调和场
这是二阶偏微分方程——著名的 Laplace


“调和场的势函数必满足Laplace方程.”


《本节内容完》


即


方程，


关于调和场有结论：

P. 245-习题6.8 ——

(A) N.5(2), 6(2)(3), 7(2),

N.12(2), 16(2), 17(2), 18;

(B) N.1, 2, 8.


作业