第六章 低速宏观运动规律的正则形式

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第六章 低速宏观运动规律的正则形式

运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、

哈密顿形式、泊松括号

对于拉格朗日形式：

1.力学系统的描述：


2.拉格朗日方程：






3. 缺点：方程中 地位不平等

力学系统的描述改为： (广义坐标)、 (广

义动量) 。

：有共轭关系。用 这一对变量深刻

反映了运动本质，且可得到更为对称的运

动方程 —— 正则方程。


§1.6.1 哈密顿方程

一、勒让德变换 （将 ）






设：f = f (x,y)——两变量

则


又

两式相减：


——关于x,Q变量的全微分

(勒让德变换)








变换后的函数：

Q=Q(x,y) y=y(x,Q) ：从Q=Q(x,y)解出y=y(x,Q)

f = f (x,y) f = f (x,Q)

因此：

g=f – Qy=g(x,Q)


说明：

1．(1)、(2)两式相减的另外一种结果：


(本质上与前面无差别)








2．若要将变量x变为P ，则



上两式相减：



这样













3.对于

用Q取代y，则将df中的dy前的Q乘以被取代的y，

再减去原函数 f；用P取代x，则将df中的dx前的P乘以

被取代的x，再减去原函数 f。


4. f = f (x,y,z)——三个变量 (可推广到N个变量)

要将 ，采用与前面一样的方法，

有：






二、哈密顿函数

设： ，t ——固定参量

则：







又广义动量：


拉格朗日方程：




而


(上式中 不对称)









目的：

作变换：

——哈密顿函数


得：




又











与 比较得：H就是系统的能量E。


在 中，H只是 的函数。


一般情况：


三、哈密顿方程

由 H=H(q, p)得到：






比较


于是有：






——哈密顿方程 (正则方程,系统的运动方程)






说明：

1．数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程(2s个)，而

拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算；

2．哈密顿方程中， 地位平等——相互共轭的正

则变量；

3．哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力

学的过渡。






四、最小作用量原理

已学：由最小作用量原理导出拉格朗日方程

现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程


因为 ， 所以 。


将L代入作用量 ，得：






而






极值条件：


又 互相独立，所以







即

——哈密顿方程


五、相空间

定义：仅由广义坐标 形成的空间叫位形空间；

由 这一对共轭变量形成的空间叫相空间。

在任一时刻t，在给定位形空间中的一点r(t)，不能

确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这

一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻

的r(t)。






要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，

将3个坐标分量 和3个动量分量

合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相

空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质

点的运动。

质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的

曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭

合曲线。






§1.6.1 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket)

一、力学量对时间的导数

哈密顿形式下， ——力学系统的状态。

力学量用 来表示的例子：

一维线性谐振子：



2. 粒子的能量、角动量







设：f ——力学系统的任意力学量。

一般情况：f = f (p,q,t)，则





哈密顿方程：






定义：H和f 的泊松括号





——用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程







说明：

1．用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方

程表述得非常简洁；

2．泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松

括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见

曾谨言《量子力学》下册p464-p466，或参见教材

p464：






二、用泊松括号表示出的运动方程

因为


1.

——f中不显含时间，只含

则


2.

——f中不显含时间，只含










则


即



——用泊松括号表示的运动方程


实际上：







三、能量守恒与动量守恒

设： f = f (p,q)不显含时间t，即

则：


又若

f 守恒

——不显含时间t的力学量守恒的充分必要

条件是它和H的泊松括号等于零






若：H不显含时间t，则H是守恒量——能量守恒


循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标。

1.设：H不包含某一广义坐标 ，则





——与循环坐标 对应的广义动量 守恒







2.设：H不包含 ，则





因此，广义动量也称为循环坐标。


这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，

地位相等，广义动量也可视为广义坐标。






四、泊松括号的性质

设：任意两个函数 f, g：f = f (q, p, t), g = g(q, p, t)

定义：f 和 g的泊松括号为



泊松括号的重要性质：

1．基本的泊松括号(由正则变量组成)








2．反对易性


3．分配律


4．结合律


5．若c为常量，则



6．求导运算







x：时间、广义坐标、广义动量等变量


7．线性


8．雅可比关系


对于哈密顿正则方程的说明：

1．提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分

方程；






2．并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。因

为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗

日方程。


§1.6.3 正则变换

一、正则变换的涵义

广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即






决定 ，即决定了系统中所有质点的位置

也是广义坐标

是 之间的变换

例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系




就是这种变换。












都是广义坐标。


笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。

变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日、哈

密顿表述都如此

但：在哈密顿表述中， 地位平等，坐标和动量已

失去其原有的意义。

寻找更广泛的变换











在变换中， 中同时包含

当 时，哈密顿函数



使得：


此时称： 为正则变换。

变换的结果：










问题的关键：寻找正则变换


二、正则变换的生成函数

由变分原理，有




类似地：






由前面变分原理的两个表达式可得：两个被积函

数相差一个任意函数F对时间的全导数，即



事实上：


而在端点处：






(1)式中的F称为正则变换的生成函数，即


——4s+1个变量


其中： ——2 s个方程


除去时间变量外， 有2s个独立变量。


F有四种形式：






选 ，则





比较：







即：




若给定 ，则











因为：



恒等式：






所以



令


中的 ：






又


而





比较得：









若：给定


则：






同理：











三、正则变换举例

1．由 生成的变换

设：


因


所以











——恒等变换


2．由 生成的变换

设：


因


所以







结论：老的广义动量 新的广义动量

老的广义坐标 新的广义动量 (相差一负号)

——坐标、动量平等



哈密顿—雅可比理论 生成函数 正则变换

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