在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数

[PPT] PowerPoint 演示文稿
文件格式: Microsoft Powerpoint - HTML 版
一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r, t)来描述， 将ψ(r, t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。 c(p, t)为展开系数， ψp(x )是动量的本征函数 ...
course.zjnu.cn/huangshihua/.../第四章%20态和力学量的表象.ppt - 类似结果

这是 http://course.zjnu.cn/huangshihua/kejian/%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%AB%A0%20%E6%80%81%E5%92%8C%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E9%87%8F%E7%9A%84%E8%A1%A8%E8%B1%A1.ppt 的 HTML 档。
G o o g l e 在网路漫游时会自动将档案转换成 HTML 网页来储存。
1


第四章 态和力学量的表象


量子态的不同表象
力学量算符的矩阵表示
量子力学公式的矩阵表示
2


表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象


4.1 态的表象


一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r, t)来描述， 将ψ(r, t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。


c(p, t)为展开系数， ψp(x )是动量的本征函数

3


c(p, t)和(r, t)描述的是粒子态同一个状态，(r, t) 是这个状态在坐标表象中的波函数，而c(p, t)为同一状态在动量表象中的波函数。


表示在


所描写的态中测量粒子动量所


结果在 范围内的几率


如果(x,t)描述的状态是具有动量p的自由粒子的状态

4


在动量表象中，具有确定动量p 的粒子波函数是 函数。


同样，在坐标表象中，具有确定坐标x 的粒子波函数也是 函数。

5


解：首先对波函数进行归一化


例题：一维粒子运动的状态是


求：（1）粒子动量的几率分布；

（2）粒子的平均动量

6


动量的几率分布为

7


动量的平均值为


另一种解法

8


考虑任意力学量Q本征值为1,  2,…,  n…,对应的本征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为


如果（x）和un (x) 都是归一化的，则

9


所以


在（x）所描写的量子态中测量力学量Q所得的结果为Qn的几率


数列


就是（x）所描写的量子态中在Q表象中的表示

10


共轭转置矩阵


波函数的归一化表示成

11


如果力学量Q除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则


其中


归一化可表示为

12


直角坐标系中，矢量A的方向由i, j, k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax, Ay, Az三个分量（基矢的系数）决定。


在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个，大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。


常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象


所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.

13


例 质量为m的粒子在均匀力场V(x)＝Fx (F>0)中运动，试在动量表象中粒子的波函数。


解：


在动量表象中，坐标x的算符表示为

14


定态的薛定谔方程


动量表象中粒子的函数


变到坐标表象中，则波函数为

15


其中


（Ariy 函数）

16


4. 2 算符的矩阵表示


在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),….


将(x,t)和 (x,t)分别在Q表象中按Q的本征函数展开

17


两边同乘以 ,并在整个空间积分


利用本征函数un(x)的正交性

18


引进记号


这就是


在Q表项中的表述方式


表示成矩阵的形式：


得

19


矩阵Fnm的共轭矩阵表示为


因为量子力学中的算符都是厄米算符，


即


将满足该式的矩阵称为厄密矩阵

20


若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵


Fnm的转置矩阵为


根据厄密矩阵的定义


所以

21


例 求一维无限深势阱中（宽度为a）粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元


解：在能量表象中


能量的本征值及本征函数为

22

23


Q在自身表象中的矩阵元


Qm为Q在自身空间中的的本征值


结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵

24


如x在坐标空间中可表示为


动量p在动量空间中表示为


一维谐振子能量表象中能量的矩阵元

25


如果Q只具有连续分布的本征值q，那么算符F在Q表象中依然是一个矩阵：


这个矩阵的行列不再可数，而是用连续变化的下标来表示


在动量表象中，算符F的矩阵元为：


其中ψp(x )是动量的本征函数

26


4.3 量子力学公式的矩阵表述


1. 平均值公式

27


写成矩阵形式


简写为

28


2. 本征值方程


在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。


首先，算符F的本征函数满足

29


有非零解的条件是其系数行列式为零


这是一个线性齐次代数方程组


这是一个久期（secular）方程。将有1， 2 …. n n个解，就是F的本征值。

30


3. 矩阵形式的薛定谔方程


薛定谔方程


不显含时间的波函数的能量表象


波函数根据哈密顿本征函数展开


代入薛定谔方程

31


两边同乘以


并积分


简写为


H,  均为矩阵元。

32


例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数


线性谐振子的总能量为


解法一：在动量表象中，x的算符表示为：


则H算符表示为


定态的薛定谔方程写为

33


c(p)是动量表象中的本征函数


仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。

34


例：设已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为：


求 的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 对角化


解：设 的本征态为


其本征方程为：

35


即


分别有

36


欲求 的非零解，其系数行列式为零：


得

37


是 的本征值


把解得的值代入本征方程，可以得到a1，a2，a3值


本征态为


本征态为

38


本征态为


矩阵 对角化矩阵为

39


习题：第130页

1、2、3、4