本征函数族就相当于一组坐标系的基底,至于本征函数族要正交，这个要求并不是很强。就像描述一个矢量的时候，可以选择一组完备的基底，但

来源: marketreflections 于 2010-10-14 14:12:27 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (11736 bytes)

请问吧主：从物理意义来看，为何要求本征函数正交、完备

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共有28篇贴子 请问吧主：从物理意义来看，为何要求本征函数正交、完备122.204.23.* 1楼

请问：从物理意义来看，为何要求本征函数正交、完备。

这个问题，一问别人，就会告诉我，这是因为，表达力学量的算符是厄米算符使然。但是，我希望从物理意义上来说明这一点，才更有说服力。

2010-6-29 21:03 回复
122.204.23.* 2楼

自己，顶起自己的问题，希望有吧主，大S、丽雅、云K出手相助，现在有点着急...

2010-6-29 21:15 回复
预言大师
cloudk
242位粉丝
4楼

因为量子力学里面描述物理体系的状态用的是态矢量，本征函数族就相当于一组坐标系的基底。回想一下几何当中对于一个矢量的描述方法，要描述空间中的一个矢量，就需要一组完备的基底，通过读取该矢量在各个基底上的分量来标记这个矢量，这就要求基底必须是完备的。如果基底不完备，那么就根本没法完整的描述这个矢量，试想三维空间中任意给定的一个矢量，如果你选一组基底只有两个矢量，或者选一组基底有三个矢量但是其中两个线性相关，就无法完整的描述三维空间中的任意给定的一个矢量。

至于本征函数族要正交，这个要求并不是很强。就像描述一个矢量的时候，可以选择一组完备的基底，但是基矢量可以都不正交，原则上这是可以的，但是我们希望基底是正交的，这样一来讨论问题会比较方便。

至于理学量对应的算符都必须是厄密的，这是物理上的要求。因为量子力学中，力学量的测量对应的是一种操作，即多次测量取平均值的概念（统计意义上的平均值）。而且只有厄密算符的平均值是实数，非厄密的算符平均值非实数。物理量的值非实数，这是物理上没有意义的，所以要求力学量对应的必须是厄密算符。

2010-6-30 10:52 回复
林恩京
丽雅Leah
454位粉丝
5楼

云K讲的挺好，不知道楼主满意不满意。我试着补充几点。云K的歌词大意是，这是线性空间里的一个伟大的结论，线性空间必然存在一组基，而呃米自共轭算符，本身就会产生一组完备的基。

至于用这些语言来描述量子力学，从物理上说，是归结为，人们总结出的量子力学背后的几条基本规律。 描写一个/一族粒子的态，本身是一种几率幅，它们之间满足复叠加。所以，对于某种力学量相关的态的总和，会构成复数域上的一个线性空间。 而态到态的变化，是力学量要描写的内容。这个，对应这这个线性空间上的线性变换。 线性变换本身，作为要描写物理量的算符。 而根据Dirac的诠释（参见左右矢所对应的物理内容），这种变换还要满足一些附加的条件，比如可逆，比如呃米。 做了这些物理->数学的对应以后，这个线性空间里的简洁的数学结论，就正好回答了楼主的问题。


2010-6-30 11:01 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
6楼

为何要求本征函数正交
---------------------
请参看
厄米算符 -- > AB 满足对易关系(对易就是可交换) --> 要么 AB 同时为实对称阵； 要么A，B为正交矩阵


何要求本征函数完备。
--------------------------
参阅
数学非常喜欢完备，完备的意思就是内封闭。
集合内元素的任意线性组合仍在集合内，这就保证了用同一个极大无关组就能描述一个全集。

代数上的依据清参阅

2010-6-30 11:10 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
7楼

回复：6楼
厄米算符 -- > AB 满足对易关系(对易就是可交换) --> 要么 AB 同时为实对称阵； 要么A，B为正交矩阵
------------------------------------------------------------------------
这个本末倒置聊......
厄米算符的本征函数的正交性是因为波函数本身具有正交性的特质。
Фk* Фl的积分，当且仅当k=l是积分才不为0。

2010-6-30 11:28 回复
预言大师
cloudk
242位粉丝
8楼

回复：5楼
因为最近变懒了，回复的帖子很容易出现“懂的人不看也懂，不懂的人看了也不懂”的情况，所以决定下狠心回帖多写点字改变这种情况~

2010-6-30 11:54 回复

kof9595995
7位粉丝
9楼


"厄米算符 -- > AB 满足对易关系(对易就是可交换) --> 要么 AB 同时为实对称阵； 要么A，B为正交矩阵"
这句话基本都是错的


2010-6-30 20:47 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
10楼

回复：9楼
AB 满足对易关系(对易就是可交换) --> 要么 AB 同时为实对称阵； 要么A，B为正交矩阵"
------------------------------------------------------------------------
这句话怎么错涅？


2010-6-30 20:49 回复

kof9595995
7位粉丝
11楼

回复：10楼
"厄米算符 -- > AB 满足对易关系”首先我估计你说的“AB 满足对易关系”是指“AB=BA”，但这是错误的表达，你想说的是A,B对易。其次就算AB=BA，和是不是厄米算符根本没什么关系，谁也推不出谁
“AB=BA” 和 “AB 同时为实对称阵； 要么A，B为正交矩阵”也根本没关系，谁也推不出谁。
这句话里要说唯一有点关系的就是，实对称矩阵是一类厄米算符，余下的基本都是错的


2010-6-30 21:43 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
12楼

回复：11楼
看清楚了，10L是：
AB 满足对易关系(对易就是可交换) --> 要么 AB 同时为实对称阵； 要么A，B为正交矩阵"
-----------------------------------------------------------------------
先证明 ，若AB 同时为实对称阵 ， 则AB 满足对易关系：
先是必要性：
若 AB对易 ，就是AB=BA
则 (AB)' = B'A' = BA = AB，
所以若 AB 满足对易关系， 则AB是对称阵

然后是充分性
若 (AB)' = AB
则 AB = (AB)' = B'A' = BA
所以若 AB 是对称阵， 则AB满足对易关系


证明A，B互为正交矩阵，AB满足对易关系
这里只是充分性
AB = AA' = E = A'A = BA
所以A，B互为正交矩阵，AB满足对易关系

2010-6-30 23:20 回复

inempty
96位粉丝
13楼

这个问题很微妙，lz可以参考Dirac的原理

2010-7-1 00:25 回复
格斗家
厉风
104位粉丝
14楼

这个问题，一问别人，就会告诉我，这是因为，表达力学量的算符是厄米算符使然。
-------------------------------
说到物理上的原因，其实就这一条，所以那些回答你的人没说错。
脱离物理，数学上的原因就很多了，但在物理学中，本征函数的正交完备性完全来自于“作用于这些本征函数的算符都是厄秘算符”这个非常狭义的限制。因为物理学中的力学量算符都是厄秘算符，其本征函数必然要满足其厄秘性，所以必然正交归一。
这个限制远远比数学原因的限制要狭小的多。

2010-7-1 01:54 回复
格斗家
厉风
104位粉丝
15楼

脱离了物理，扩展到非厄秘算符则可以由前面几楼所说的那些数学限制理由来决定一个算符的正交性和在函数空间内的完备性。很多时候，并不一定要求一般的数学算符都必须具有正交性和完备性。

2010-7-1 01:57 回复
格斗家
厉风
104位粉丝
16楼

很多时候，并不一定要求一般的数学算符都必须具有正交性和完备性。
-------------------
很多时候，并不一定要求一般的数学算符 的本征函数 都必须具有正交性和完备性。

这个不能漏掉。。。。前面那句我也漏掉了


2010-7-1 01:58 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
17楼

很多时候，并不一定要求一般的数学算符 的本征函数 都必须具有正交性和完备性。
---------------------------------------------------------------------
这句话可以斟酌一下：
1. 并不一定要求一般的数学算符 的本征函数 都必须具有正交性。
在线性代数里：不同本征直的本征函数必定线性无关。
而在量子力学里，因为本征函数是波函数，这个定理应该是成立的：不同本征直的本征函数必定正交。

在量子力学里，对于同一个本征值的本征函数系，可以是正交的，也可以是不正交的。（我觉得要谈论简并本征矩阵的秩，但还没想清楚）


2. 并不一定要求一般的数学算符 的本征函数 都必须具有完备性。
如果能把数学算符的所有本征函数都写出来，因为空间是线性空间，貌似这些本征函数系天生完备的。
这句话有点像废话，我的意思是: 量子力学的力学算符的本征函数，天生就是一个"群".只要你把它全写出来，必定是一个"群"。
至于它是不是交换群，是不是正规子群，这就要考察力学算符的对称性。


2010-7-1 09:33 回复

tyj518
21位粉丝
18楼

特征向量线性无关也不一定正交吧？说道这里我突然想到一个问题，就是量子力学中希尔伯特空间中的内积是怎么定义的，因为同一个空间可以有不同的内积，而正交性对于不同的内积一般是不同的。另外，有限维空间的完备性是显然的，但在无穷维空间中特征向量能否完备貌似是需要讨论的。

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2010-7-1 10:37 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
19楼

回复：18楼
特征向量线性无关也不一定正交吧？.......
---------------------------------------
普遍地说， 确实是"不一定正交"。
但量子力学的本征函数是波函数，Фk* Фl就是 delta函数，所以k,l不相等就必定积分为0。
也就是不同本征直的Ф，必定正交------目前还在探讨中哈.


2010-7-1 10:52 回复

tyj518
21位粉丝
20楼

本征函数有波动形式也只是动量算符吧，而动量算符厄米，换句话说这还是算符的厄米性导致的。

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2010-7-1 10:59 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
21楼

回复：18楼
特征向量线性无关也不一定正交吧？.......
----------------------------------------
19L看错了，看成"特征向量特征值不一样，也不一定正交吧"....
线性无关确实不一定正交，正因不一定正交， 才有"正交化"的说法。

2010-7-1 11:04 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
22楼

回复：20楼
换句话说这还是算符的厄米性导致的。
---------------------------------
确实是这样.而不是波函数特性导致厄米的本征函数的正交性。
厄米算符的本征函数的正交性， 是因为厄米算符的本征值是一个实数。
所有厄秘算符都有正交性。

。

2010-7-1 11:16 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
23楼

回复：22楼
所有厄秘算符都有正交性。
---------------------
所有厄秘算符的本征函数都有正交性。

2010-7-1 11:17 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
24楼

回复：20楼
以上理一下逻辑，也方便高手拍砖。
1. 厄米算符 的共轭对称性（也就是本征值为实数的性质）决定了， 厄米算符的本征函数的正交特性
(目前只会证明不同特征值的本征函数，简并特征值的本征函数其实可以正交化处理，也可以视作拥有"正交特性"吧？)。


2. 厄米算符 的本征函数 都必须具有完备性。
解一个线性方程组(F不能满秩)，肯定可以得到一个通解。这个通解就是完备性的表现----任何一个解都可以被它表示.
所以完备性,是线性性决定的.

2010-7-1 13:16 回复

kof9595995
7位粉丝
25楼

回复：12楼
你这证明逻辑错乱，我已经没法具体指出毛病了，给你举个反例吧：
A=
1 2
2 1
B=
1 0
0 0
A,B都是实对称，你算算AB等不等于BA
反过来AB=BA但不实对称的例子也很好举


2010-7-1 18:48 回复

kof9595995
7位粉丝
26楼

To 理论产生矛盾
你下面的一些楼的回复我也看了，看得出你是个爱学习思考的人，不过你下面的很多没想明白的问题线性代数教材里都已经给出很完备的答案了（至少对有限维空间答案都很完备了），希望你能好好复习一下线性代数。


2010-7-1 19:08 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
28楼

回复：26楼
不过你下面的很多没想明白的问题线性代数教材里都已经给出很完备的答案了（至少对有限维空间答案都很完备了），希望你能好好复习一下线性代数。
-----------------------------------------------------------------------
我也知道你读完， ，.....就会是大牛， 但光这样说有什么用涅，让你去看书这还交流什么？

2010-7-1 20:13 回复

kof9595995
7位粉丝
29楼

回复：27楼

我以为你说"AB同时对称"指的是A,B同时对称，那你没有错。

2010-7-1 20:39 回复

理性产生矛盾
6位粉丝
30楼

回复：29楼
我写得确实很有问题，呵呵。
正确写法应当和兰州工学院的老师那样才对的。

2010-7-1 20:43 回复
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