第六章 低速宏观运动规律的正则形式
运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、
哈密顿形式、泊松括号
对于拉格朗日形式：
1.力学系统的描述：
2.拉格朗日方程：
3. 缺点：方程中 地位不平等
力学系统的描述改为： (广义坐标）、 (广
义动量） 。
：有共轭关系。用 这一对变量深刻
反映了运动本质，且可得到更为对称的运
动方程 —— 正则方程。
§1.6.1 哈密顿方程
一、勒让德变换 （将 ）
设：f = f (x,y）——两变量
则
又
两式相减：
——关于x,Q变量的全微分
(勒让德变换）
变换后的函数：
Q=Q(x,y） y=y(x,Q） ：从Q=Q(x,y）解出y=y(x,Q）
f = f (x,y） f = f (x,Q）
因此：
g=f – Qy=g(x,Q）
说明：
1．(1）、(2）两式相减的另外一种结果：
(本质上与前面无差别）
2．若要将变量x变为P ，则
上两式相减：
这样
3.对于
用Q取代y，则将df中的dy前的Q乘以被取代的y，
再减去原函数 f；用P取代x，则将df中的dx前的P乘以
被取代的x，再减去原函数 f。
4. f = f (x,y,z）——三个变量 (可推广到N个变量）
要将 ，采用与前面一样的方法，
有：
二、哈密顿函数
设： ，t ——固定参量
则：
又广义动量：
拉格朗日方程：
而
(上式中 不对称）
目的：
作变换：
——哈密顿函数
得：
又
与 比较得：H就是系统的能量E。
在 中，H只是 的函数。
一般情况：
三、哈密顿方程
由 H=H(q, p）得到：
比较
于是有：
——哈密顿方程 (正则方程,系统的运动方程）
说明：
1．数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程(2s个），而
拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算；
2．哈密顿方程中， 地位平等——相互共轭的正
则变量；
3．哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力
学的过渡。
四、最小作用量原理
已学：由最小作用量原理导出拉格朗日方程
现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程
因为 ， 所以 。
将L代入作用量 ，得：
而
极值条件：
又 互相独立，所以
即
——哈密顿方程
五、相空间
定义：仅由广义坐标 形成的空间叫位形空间；
由 这一对共轭变量形成的空间叫相空间。
在任一时刻t，在给定位形空间中的一点r(t），不能
确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这
一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻
的r(t）。
要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，
将3个坐标分量 和3个动量分量
合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相
空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质
点的运动。
质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的
曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭
合曲线。
§1.6.1 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket）
一、力学量对时间的导数
哈密顿形式下， ——力学系统的状态。
力学量用 来表示的例子：
一维线性谐振子：
2. 粒子的能量、角动量
设：f ——力学系统的任意力学量。
一般情况：f = f (p,q,t），则
哈密顿方程：
定义：H和f 的泊松括号
——用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程
说明：
1．用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方
程表述得非常简洁；
2．泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松
括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见
曾谨言《量子力学》下册p464-p466，或参见教材
p464：
二、用泊松括号表示出的运动方程
因为
1.
——f中不显含时间，只含
则
2.
——f中不显含时间，只含
则
即
——用泊松括号表示的运动方程
实际上：
三、能量守恒与动量守恒
设： f = f (p,q）不显含时间t，即
则：
又若
f 守恒
——不显含时间t的力学量守恒的充分必要
条件是它和H的泊松括号等于零
若：H不显含时间t，则H是守恒量——能量守恒
循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标。
1.设：H不包含某一广义坐标 ，则
——与循环坐标 对应的广义动量 守恒
2.设：H不包含 ，则
因此，广义动量也称为循环坐标。
这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，
地位相等，广义动量也可视为广义坐标。
四、泊松括号的性质
设：任意两个函数 f, g：f = f (q, p, t）, g = g(q, p, t）
定义：f 和 g的泊松括号为
泊松括号的重要性质：
1．基本的泊松括号(由正则变量组成）
2．反对易性
3．分配律
4．结合律
5．若c为常量，则
6．求导运算
x：时间、广义坐标、广义动量等变量
7．线性
8．雅可比关系
对于哈密顿正则方程的说明：
1．提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分
方程；
2．并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。因
为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗
日方程。
§1.6.3 正则变换
一、正则变换的涵义
广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即
决定 ，即决定了系统中所有质点的位置
也是广义坐标
是 之间的变换
例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系
就是这种变换。
都是广义坐标。
笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。
变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日、哈
密顿表述都如此
但：在哈密顿表述中， 地位平等，坐标和动量已
失去其原有的意义。
寻找更广泛的变换
在变换中， 中同时包含
当 时，哈密顿函数
使得：
此时称： 为正则变换。
变换的结果：
问题的关键：寻找正则变换
二、正则变换的生成函数
由变分原理，有
类似地：
由前面变分原理的两个表达式可得：两个被积函
数相差一个任意函数F对时间的全导数，即
事实上：
而在端点处：
(1）式中的F称为正则变换的生成函数，即
——4s+1个变量
其中： ——2 s个方程
除去时间变量外， 有2s个独立变量。
F有四种形式：
选 ，则
比较：
即：
若给定 ，则
因为：
恒等式：
所以
令
中的 ：
又
而
比较得：
若：给定
则：
同理：
三、正则变换举例
1．由 生成的变换
设：
因
所以
——恒等变换
2．由 生成的变换
设：
因
所以
结论：老的广义动量 新的广义动量
老的广义坐标 新的广义动量 (相差一负号）
——坐标、动量平等
哈密顿—雅可比理论 生成函数 正则变换
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