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第3章 二体问题


• 弹性散射（碰撞问题）


• 粒子在中心势场中的运动（束缚态问题）


内容： • 处理二体问题的一般方法


难点： • 散射截面


重点： • 粒子在中心势场中的运动






多个相互作用着的粒子体系的运动问题称为多体（或N体）问题。例如，太阳系就是典型的多体运动体系。多体问题理论上至今尚未完全解决。本章只讨论两个粒子体系的运动，即二体问题。


3.1 二体问题概述


3.1.1 二体问题的类型：三类


（3）俘获和衰变问题


特点：过程前后粒子数从2变为1或由1变为2。


（1）束缚态问题


特点：两体间始终保持有限距离，如电子绕核、行星绕太阳的运动。


（2）散射（或碰撞）问题


特点：两粒子从相距无穷远处逐渐接近，经过相互作用后又相互分离至无穷远。如加速后的电子（或质子）打到靶上或粒子彼此对撞。






（1）将二体问题化为单粒子问题


二体问题可以分解为以下两个运动或者可看作是以下两个运动的合成。


（3.1）


由以上二式，解得


（3.3）


3.1.2 处理二体问题的一般方法


• 相对于质心C的运动：可以约化为一个单粒子的动。


• 质心C的运动：遵循质心运动定理。


的位矢，


和


为它们的质量，则


如图3.1所示，设


为二粒子在惯性


系（实验室系）


和






体系的动能为


（3.4）


体系的势能包括：外场势能


和相互作用势能


：


（3.5）


则体系的拉格朗日函数为


（3.6）






其中：





（3.7）


是描述质心运动状态的拉氏函数，


（3.8）


是表征两个粒子间相对运动状态的拉氏函数，而


（3.9）


称为折合质量.


结论：


（


①（3.6）式表示：选取质心位矢


和相对位矢


为广义坐标


时，二体问题分解为两个独立粒子——质量为


）的质点






（原点在质心C，坐标轴与 平行）


（质心C）和质量为


的粒子的运动。


②（3.8）式表明：二体问题中相对运动部分相当于质量为


的


单粒子在势场


中的运动。


（2）两粒子相对运动的两种描述方法


• 用一个粒子相对于另一个粒子的运动来描述


采用惯性坐标系（实验室坐标系），


，如（3.8）式


• 用两个粒子各自相对于质心的运动来描述


采用实验室坐标系和质心坐标系两个坐标系。这种描述方法称为粒子

在质心系中运动


两种描述方法的联系：


如图3.2所示：


：质心坐标系


：实验室坐标系






平行）


（3.10）


（3.11）


比较（3.10）式和（3.3）式，有


（3.12）


体系相对运动动能为






（3.13）


由此可见：


① 若知道一个粒子相对另一个粒子的运动（即


），通


，


）


过（3.12）式就可求出两个粒子各自相对质心的运动


（即


② 相对运动动能既可用


表示，也可用


表示。






相互作用势只和粒子的相对距离r有关而和相对方向无关，即


，称为中心势场。这是最重要的一类两体相互作用势。


中粒子的运动问题。


本节讨论在中心势场


3.2.1 单粒子在中心势场中的运动


（1）运动特征和规律


• 受中心力作用


粒子在中心势场中受中心力作用


（3.14）


• 机械能守恒


粒子的拉格朗日函数为


3.2 粒子在中心势场中的运动






（3.15）


• 角动量守恒


中不含坐标θ，故广义动量即角动量守恒


（3.17）


上式表明：离中心远（r大）时，粒子绕中心旋转慢，近时旋转快。


• 轨道方程


由（3.17）式，得


，代入（3.16）式：


（3.18）


积分，可得粒子运动方程


常数


函数中不显含时间t，故机械能守恒


（3.16）






（3.19）


（3.20）


消去dt得轨道方程


（3.21）


（2）有效势能


将（3.18）式写成：


（3.22）


式中






（3.23）


称为有效势能，其中量


称为离心势能。（3.22）式表示：径向


部分r的运动，可以看成粒子在有效势场


中的一维运动。


（3）轨道形状


时


由（3.22）式中


，可求得r的变化区间：


或


的变化区间由（3.21）式决定


在任意形式V（r）的情况下，粒子有限运动的轨道一般是闭合曲线，是位


于两个半径为


和


的圆之间，无数次经过


和


位置填满






由两个圆限制的整个圆环的曲线（不闭合椭圆）如图3.3所示。


3.2.2


的中心势场


牛顿引力势和库仑静电势是典型、常见的与距离成反比的中心势场。


（1）有效势能曲线


利用有效势能概念可以对粒子在势场中的运动情况作出定性的描述。


设引力势为






（3.24）


对应的有效势能为


（3.25）


（3.26）


• 当


时，曲线有零点（


）


根据以上特征，有效势能曲线如图3.4所示


它的主要特征是：


• 曲线在


处存在一个极小值


：


• 当


时，


，


时，






（2）粒子运动情况


• 当


≤E

的环域内


运动（为什么？）——束缚态。


（近日点），粒


• 当E≥0时，曲线与水平（E）线只有一个交点


子不被吸引至力心，远日点


移到无穷远，粒子在离心势（


）






作用下飞向无穷远而成为自由粒子。


（3）轨道方程


• 由（3.21）式和（3.24）式：





可得轨道方程


选择


的计算起点，使C=0，令






，


（3.26）


则轨道方程为


（3.27）


上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。


• E

• E = 0时，e = 1，为抛物线；


• E > 0时，e > 1，为双曲线


如图3.5所示。


行星绕太阳、电子绕原子核运动轨


道为椭圆。（为什么？）


（4）粒子在排斥势场（


）中的运动


排斥势为






（


（3.28）


)


则有效势能为


（3.29）


由此可见：


当r由0→∞时，


单调下降，永远为正，不管初始条件如何，粒子将


子将飞向无穷远成为自由粒子。


粒子的轨道方程为


（3.30）


是双曲线另一支，如图3.6所示。






3.2.3 粒子运动轨道的稳定性


粒子在中心势场中的运动轨道是个重要的也是我们最感兴趣的问题。在实际应用中，总希望有确切的轨道方程和轨道是闭合的、稳定的。


（1）粒子轨道稳定性的含义


（2）轨道稳定条件


设中心势为V（r），则粒子所受中心力


，在极坐标系中


的牛顿动力学方程为


设在一定的初始条件下，粒子在中心势场V（t）中运动的轨道方程


为


，由于初始条件的微小变化或势场出现短暂的扰动，使轨


道方程由


，如果r始终保持在


附近微小振动，则轨道是稳定


的；若随着时间增加r偏离


越来越大，则轨道不稳定。





（3.31）






令


，由（3.31）式可得


（3.32）





上式为粒子的轨道微分方程，称为比耐（Binet）公式


设粒子在一定初始条件下的轨道为


，由于初始条件或势场的


微小改变，轨道变为


（3.33）


式中ε—微小量，将（3.33）式代入（3.32）式：


（3.34）


将


在


附近展开成泰勒级数：


代入（3.34）式，略去


以上各项，得






(3.35)


其中


(3.36)


(3.35)式的解为:


当A=0时:


，ε随θ线线增加，轨道不稳定。


A

，ε随θ指数增加，轨道不稳定。


A>0时：


，ε作


简振动，轨道稳定。


将（3.36）式代入（3.32）式，去掉下标，得轨道稳定性条件为：


（3.37）


或


（3.38）


几种势场中粒子轨道的稳定情况：









①


，这时


所以，与距离平方成反比的中心势场中的粒子的轨道永远是稳定的。


这是行星轨道和原子结构的力学稳定性的理论解释。


②


，这时


其中


为轨道曲线极值点，于是稳定条件A>0变为


即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在


处作圆周运动


）是不稳定的。






③


，这时


轨道永远稳定。


（3）圆形轨道稳定判据


如果已知粒子在中心势场中沿圆形轨道运动，根据圆形轨道必在


取极值处出现，而极小值为稳定轨道，所以圆形轨道稳定条件为





（3.39）


将有效势


代入：












（3.40）


或


（3.41）


（3.40）或（3.41）式为圆形轨道稳定性条件（或判别式）。


3.3弹性碰撞


粒子的碰撞是典型的二体问题。如果两个粒子碰撞前后粒子内部状态不发生改变，称为弹性碰撞或弹性散射，否则称为非弹性碰撞。


弹性碰撞的特点：动量、角动量、机械能、动能守恒（Why？）


弹性碰撞中要讨论和解决的问题：






· 找出碰撞前后粒子运动必须满足的条件，即速度关系——运动学问题.


· 找出碰撞前后粒子的状态与相互作用势V（r）的关系——动力学问题

（或散射问题）


3.3.1 碰撞运动学———速度关系


（1）用质心系描述


表示质心系中二粒子


和


用


碰撞前后的速度，如图3.7所示:


由以上二式，可得





（3.42）






式中


为二粒子的相对速度。


根据动量守恒和能量守恒，有


（3.43）


（3.44）


由以上二式，得


（3.45）


可见：在质心系中两粒子的弹性碰撞，只改变粒子的运动方向，不改变速度大小。如果用


表示


的方向，则


（3.46）






（2）用实验室系描述


在图3.7中：


，因而





可得


（3.47）


（3.46）式和（3.47）式就是要找的速度关系。其中唯一没有确定的是


的方向，


的方向与粒子间相互作用的性质有关。


3.3.2 散射截面


在宏观现象中，碰撞意味着物体（质点）直接接触。现代物理学所研究的碰撞问题大多是微观粒子之间的碰撞，这时粒子间的相互作用是非接触作用。例如分子或原子相互接近时，由于双方很强的相互作用斥力，迫使它们在接触前就偏离了原来的运动方向而分开——散射。在散射问题中，人们所关心的是散射粒子的分布及散射前后粒子各种性质的变化。由此，推断粒子间相互作用及内部结构。






O —— 散射中心


（1）散射角


如图3.8所示，粒子1从无穷远处

向固定在O不动的粒子2飞来，在中心

势V（r）的作用下，粒子1偏转一角度


θ后又向无穷远飞去。图中


θ—— 散射角


b —— 瞄准距离


（3.48）


（3.49）


其中


可由轨道方程（3.20）式求得


（3.50）






式中


由


中，


所得的方程


（3.51）


决定。（3.48）、（3.50）、（3.51）就是计算散射角的基本公式


（2）微分散射截面


实际物理问题一般不是单个粒子的散

射而是具有相同速度的全同粒子束的散射，

如图3.9所示，设单位时间内通过单位面

积的粒子数为n，单位时间内散射到θ和


θ+dθ角度内的粒子数为dN，则


（3.52）


称为微分散射截面，表征散射过程特征。


为散射分布函数。


由图知，散射到θ到θ+dθ内的粒子数是b(θ)和b(θ)+d b(θ)内的


，所以


粒子即









（3.53）


根据立体角定义，有：





代入上式得





（3.54）


（3.55）


都可以用实验方法测定。在微观物理学中，粒子之间的相互作用十分复杂，往往不能直接观测。人们主要通过各种散射实验来研究粒子之间的相互作用以及它们的内部结构。卢瑟福根据粒子散射实验，建立了原子核式结构模型（卢瑟福模型），不仅对原子物理起了很大的作用，而且这种以散射为手段研究物质结构的方法，对近代物理一直起着巨大的影响。


式中






3.3 粒子的分裂（衰变）


（1）在质心系中讨论


分裂前粒子的动量和动能都为零，能量为其内能U，根据动量守恒定

律：


（3.56）


即


，由能量守恒定律，有


分裂前后体系的内能之差称为分裂能ε：


（3.57）


（3.58）


显然ε>0，（3.57）式代入（3.58）式得


（3.59）


（3.60）


对于一种确定的分裂方式，ε是常数，从而


也是常数。


式中


为折合质量，二粒子的速度为






（2）在实验系中讨论





之间的关系为


和质心系中的速度


粒子在实验室系中的速度





式中质心速度


就是粒子分裂前后的速度。由上式得


（3.61）


与


，因此，由（3.62）式可以决定


式中


是粒子相对于质心速度


方向的飞出角。由（3.59）和（3.60）


的关系，如图3.10


式可确定


所示。





时，粒子以任意角


飞出；


时，粒子只能以


的角飞出。


由下式定出：






（3.62）


以上讨论的是一个粒子分裂的情况。实际物理问题中遇到的往往是很多个相同粒子的分裂，因此，必须考虑新生粒子按方向、能量分布的情况。


3.4 解题指导


（1）本章习题的类型和基本解法


本章习题常见的有两种类型：


· 粒子在中心势场V=V（r）中运动问题的计算


通常给定中心势（一般为


），求轨道方程及其形状、


轨道稳定条件、


粒子运动情况以及其他有关的物理量。


基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机械能守恒定律即可求得所要求的量。


· 碰撞问题的计算


通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运动的速度大小与方向）和散射情况（散射






分布）


基本解法：①分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；②碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；③在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理（因碰撞力的功很难计算）


（2）范例


[例1] 一质点在中心势场中运动，力的大小为F=F(r),质点的速率为


，求质点的轨道方程及所受的中心力。


解：取图3.10所示的极坐标，根据动量矩守恒


， 即


（1）


由


，有


（2）


由（1）和（2）式得






即


（3）


设θ=0时，


，积分（3）式，得质点轨迹方程：


（4）


其中


，可见质点的轨迹为对数螺线。


故质点所受的中心力为






向一个质量


粒子与重核的最近距离


。


[例2] 设α粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度


的垂直距


为M，电荷为Ze的重原子核（金、铂等）射来。重核与矢量


离为d（称为瞄准距离）。设M》m，重核可近似看成是静止的。试求α


或


（1）


由机械能守恒，有


解：如图3.12所示，α粒子运动中

受重核静电斥力作用下其速度随时间改


）。根据角动量（对力心O）守恒


变,到达A点时与重核距离最近（





（2）


（为何不考虑初始位置


处的静电势能


？）


由（1）、（2）式，得









（舍去负根）


代入实验数据可算出


，与后来对原子核半径的测量值在数量


级上相符。


本例是著名的α粒子散射实验的原理。1911年，卢瑟福（Rutherford）在研究α粒子散射实验基础上，提出了原子的有核类型，为原子结构和原子核的研究奠定了基础。


[例3] 质点所受的中心力为


若质点在r=2a，θ=0


处以速率


沿垂直于极轴方向抛出。求质点的运动轨道及运动


规律。


解：（1）求运动轨道


将


代入比耐公式






（1）




（2）


式中


（3）


将（2）代入（1）式，得





积分得


（4）


由初始条件：t=0时，






而


，


，


，


）可定出


（5）


由初速度


，可知


（6）


由（5）、（6）式可得


代回（4）式，得


或


积分上式并代入初始条件


时


，可得轨道方程：


（7）






（7）式为半径为a的圆，力心在圆周上，如图3.13所示。


（2）求运动方程


根据角动量守恒


，有


（8）


由（6）、（7）、（8）三式，可得






积分上式并代入初始条件：


时


，可得质点的运动规律：

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• 广义相对论则是在弯曲空间的名义下，实际揭示的是：质量与空间的相互作用表现在质量大小的不同时，从而引起了质量对空间的反作用的不同（ -marketreflections- ♂ (187 bytes) () 10/14/2010 postreply 10:29:52

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• 差分法计算区域内的电位、电场强度，绘制等位线 -marketreflections- ♂ (195 bytes) () 10/18/2010 postreply 08:21:13

• 被激发的电离气体电离到一定程度后，便处于导电状态，这种状态的电离气体表现出集体行为，即电离气体中每一带电粒子的运动，都会影响其周 -marketreflections- ♂ (23307 bytes) () 10/18/2010 postreply 09:09:44

• 黄雅山：实物体与能量场（含电子场、电磁场、磁场、引力场、介子场等量子场）是两种不同形态存在方式，凡是聚集态的实物体结构都具有相应 -marketreflections- ♂ (6785 bytes) () 10/18/2010 postreply 09:23:18

• 保守场就是以某种形式对于奇点上趋于无限大的“核函数”的空间积分，这个空间积分域只有包含“奇点”时，才有确定的值，这就是逻辑的“明 -marketreflections- ♂ (21481 bytes) () 10/18/2010 postreply 10:12:14

• 牛顿-莱布尼茨积分分布密度函数 -marketreflections- ♂ (832 bytes) () 10/19/2010 postreply 12:28:39

• Schordinger 放弃了原来的二阶方程呢？简单地说，是因为求解二阶方程需要两个初始条件，一个是波函数本身，另一个是波函数对 -marketreflections- ♂ (5494 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:32:28

• 波动方程—— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性 -marketreflections- ♂ (267 bytes) () 10/19/2010 postreply 14:58:58

• 物理好图 泊松方程和拉普拉斯方程 在引力体系中，每一质点的质量除以它们到任意观察点P的距离,并且把这些商加在一起，其总和即P点的 -marketreflections- ♂ (2335 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:42:57

• 拉普拉斯方程分离变量法 实际应用电磁 -marketreflections- ♂ (257 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:47:26

• 傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息 拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用,z变 -marketreflections- ♂ (743 bytes) () 10/19/2010 postreply 13:51:06

• 泊松方程的格林函数法：用叠加的方法计算任意源产生的场 -marketreflections- ♂ (362 bytes) () 10/19/2010 postreply 14:25:50

• “偏微分方程进入理论物理学 时是婢女，但逐渐变成了主妇， ”麦克斯韦在这一转变中起了重要的作用 -marketreflections- ♂ (20493 bytes) () 10/19/2010 postreply 14:34:05

• 物理中的向量场 势,流函数,一个动力系统就是一个向量场 -marketreflections- ♂ (4685 bytes) () 10/21/2010 postreply 04:47:48

• 拉普拉斯函数 1-1.ppt -marketreflections- ♂ (55 bytes) () 10/21/2010 postreply 05:07:10

• 开普勒问题的运动轨道，其形状与取向，可以用 LRL 矢量决定 -marketreflections- ♂ (15242 bytes) () 10/21/2010 postreply 12:21:29

• 一个不受外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的 -marketreflections- ♂ (6600 bytes) () 10/21/2010 postreply 16:57:11

• 粒子从静止或匀速直线运动的初始条件开始，这一系统内就不会产生力的有旋分量 -marketreflections- ♂ (311 bytes) () 10/22/2010 postreply 12:52:38

• 与物理时空对应的就是量器或度量标准，而与逻辑时空对应的则是如何确定时间空间量度的规则 -marketreflections- ♂ (1010 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:41:23

• 牛顿理论中时间与空间的分离,对物质运动过程的瞬时观察和描述 -marketreflections- ♂ (192 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:45:29

• 欧拉所引入的复数：在实数集中，所有波动的问题时间和空间是不能分离的，这将给数学分析带来困难，而复域中所有波函数时间和空间是分离的 -marketreflections- ♂ (787 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:52:36

• 如果只考虑有旋力，即在牛顿理论的框架内，就会推导出热力学第二定律和出现宇宙热寂说。只要物理系统中一加入旋量场 (或涡量场) ，所 -marketreflections- ♂ (156 bytes) () 10/22/2010 postreply 14:58:47

• 引力场只是实体物质的背景场，它与实体物质保持瞬时的互动关系。 从牛顿理论的超距作用和爱因斯坦把引力场作为空间来处理都为了保持瞬时 -marketreflections- ♂ (15270 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:06:46

• 引力场，或者所有其它的场，相互之间只有线性叠加，而不会发生相互作用，所以说每一个引力场都存在与整个宇宙也不会再对物质的存在形式产 -marketreflections- ♂ (138 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:08:14

• 当我们考虑实际的宏观物质时，只要求这种宏观物质是电中性的，允许物质的形状和质量可以有线性范围内的变化，既允许在小的时间间隔内发生 -marketreflections- ♂ (14895 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:13:13

• 有了极性才能产生散度以外的力。也就是说有了极性才使外积与某种物理存在产生确定的对应关系。当然这种外积是指三维物理空间上的外积，任 -marketreflections- ♂ (190 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:21:44

• 背景场时表示实物存在本身的一种外延性质，它当然也是可以随实物一起运动的，但是其形状是不随时间而变化的，所以波方程中时间微分项为零 -marketreflections- ♂ (1352 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:27:04

• 光没有加速度，所以惯性质量自然没有物理内容 -marketreflections- ♂ (78 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:32:36

• 电子没有中性物质的那种引力质量，而被电磁力的质量所代替,电磁力有无旋的和有旋的两种力，电子运动既有定向运动又有旋涡运动 -marketreflections- ♂ (528 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:50:37

• 加速度相对于社会，人因此才有感觉，社会动物,相对论 -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:35:06

• 在爱因斯坦时代把它看成时间和空间的四维几何是完全可以理解的，由于那个时代还没有对于偏微分方程的一般数学理论，如线性微分算子、线性 -marketreflections- ♂ (298 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:39:30

• 对空间（流形）微分写相互作用场 在流体力学中我们已经看到了力学家怎样通过微团模型在流体中造出微观和宏观的两重空间，实际上它的微观 -marketreflections- ♂ (276 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:44:28

• 牛顿关于质量或惯性的假设，麦克斯韦关于位移电流的假设，爱因斯坦的光速不变性和相对性原理的假设都是一样 -marketreflections- ♂ (139 bytes) () 10/22/2010 postreply 15:55:13

• 气缸中与飞机相作用的燃烧后的粒子的质量。这种燃烧过程中产生的粒子显然可以出现两种不同的运动状态：一种是与牛顿力 (这里是指瞬时作 -marketreflections- ♂ (1028 bytes) () 10/22/2010 postreply 16:04:20

• 柏拉图以及与它他同时代的希腊人有它们自己的对于“匀速和规则运动的看法。既然匀速圆周运动被认为是所有运动中最完美、最对称的运动，所 -marketreflections- ♂ (242 bytes) () 10/22/2010 postreply 16:14:49

• 开普勒三定律,时间,常数，本证运动 -marketreflections- ♂ (926 bytes) () 10/22/2010 postreply 16:18:54

• 在一般的初始条件下是得不到稳定解的 (图) -marketreflections- ♂ (21063 bytes) () 10/22/2010 postreply 19:29:02

• 矢量波函数空间中的物理量在空间是连续的，而它在欧氏空间的特定的点上的值不满足任何的守恒规律，不代表任何真实的物理量。 也许有人会 -marketreflections- ♂ (12370 bytes) () 10/22/2010 postreply 19:55:55

• 其实我们现在也应该知道所谓瞬时的测量实际上也只是某一时间段测量的平均 (或某种自然的加权平均 )，人的眼睛和大脑实际上就在不断地 -marketreflections- ♂ (276 bytes) () 10/22/2010 postreply 19:59:51

• http://whengeniusprevailed.com/ must read there wasn’t much for -marketreflections- ♂ (87 bytes) () 10/23/2010 postreply 07:49:52

• 如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性 -marketreflections- ♂ (14831 bytes) () 10/23/2010 postreply 08:39:59

• 去垂直与E的人一直线l以及l上的任意一点p，那么此时在l上（在E的另一侧）就存在一点p′(且只存在一点p′)与E有同样的距离。仅 -marketreflections- ♂ (7677 bytes) () 10/23/2010 postreply 09:29:40

• 相位因子 微分对运动界面变化的揭示 -marketreflections- ♂ (14078 bytes) () 10/23/2010 postreply 10:21:07

• 任何一个系统只要存在不可控的干扰，那么这个系统都是趋于发散而最终不稳定的，这一点，无论暂态的平衡性，因为暂态可能是小范围的 -marketreflections- ♂ (643 bytes) () 10/23/2010 postreply 16:29:38

• "双侧对称性自同构纤维" -marketreflections- ♂ (3607 bytes) () 10/23/2010 postreply 10:36:23

• 电势和磁矢量势共同形成一个四维矢量 google 矢量势梯度 -marketreflections- ♂ (4006 bytes) () 10/23/2010 postreply 08:45:03

• "矢势梯度"，电磁化，等离子突破，正反馈，指数化 -marketreflections- ♂ (99 bytes) () 10/23/2010 postreply 10:04:42

• 绝对速度正是相对论所必须回避的，因为这曾被看作正是相对论必须对牛顿理论进行改革的出发点。所以爱因斯坦把引力场不再看成是物理量，而 -marketreflections- ♂ (306 bytes) () 10/22/2010 postreply 12:58:16

• 如果函数f(x,y)在点可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 -marketreflections- ♂ (267 bytes) () 10/21/2010 postreply 06:08:59

• 高维力学系统：位移对时间的导数是速度,速度对时间的导数是加速度,加速度的导数? -marketreflections- ♂ (420 bytes) () 10/21/2010 postreply 12:11:35

• a lot of churning and no price movement,on a very strong market -marketreflections- ♂ (1504 bytes) () 10/21/2010 postreply 07:30:58

• 微分就是微能量元，流形，能量质量时间空间守恒，有进有出或有源，旋度，梯度，各向同性 -marketreflections- ♂ (184 bytes) () 10/21/2010 postreply 13:23:50

• 太阳光是纯粹的能量(没有质量的能量，或熵为0的能量状态)，怎样利用是要作很好的基础性研究的;能源和能量是两个不同的概念，地球正在 -marketreflections- ♂ (1213 bytes) () 10/22/2010 postreply 11:27:23

• 电介质极化　　外电场作用下，电介质显示电性的现象 -marketreflections- ♂ (895 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:26:19

• 有电就有磁,磁矩: 粒子自旋通常都会使它带有磁矩，这样它就像一块小磁铁，在有梯度的磁场中它就会受力偏转（打到接收屏上后一般都明显 -marketreflections- ♂ (1162 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:29:38

• 磁有两个来源，电子和一些自旋不为零粒子 -marketreflections- ♂ (38 bytes) () 10/19/2010 postreply 15:26:28

• 投资回报是资本家（或企业家）唯一的效用,资产价格的泡沫本质上是人的一种宣泄,人民币内在升值压力来自于经济超速增长，进来的钱是博资 -marketreflections- ♂ (3441 bytes) () 10/20/2010 postreply 14:05:02

• 路线整体向左的方向定了，开始拆庙了 [ 绝顶清风 -marketreflections- ♂ (751 bytes) () 10/20/2010 postreply 19:46:52

• 历次社会的大变革都毫不例外的从土地开始 [ 绝顶清风 ] -marketreflections- ♂ (663 bytes) () 10/21/2010 postreply 04:55:34

• 假定资本家这样的理性经济人的信息量为无穷大，理性分析能力为无穷大的微观经济学里面，当然，效用也就等同于效益了 -marketreflections- ♂ (1543 bytes) () 10/20/2010 postreply 20:09:49

• 正电子是不稳定粒子，遇到电子会与之发生湮灭,放出两个伽玛光子(gamma ray photon)，每个能量为0.511MeV -marketreflections- ♂ (2293 bytes) () 10/20/2010 postreply 16:28:01

• 强大的核力维持原子核的稳定性. 弱相互作用. 导致基本粒子的不稳定,引起衰变 -marketreflections- ♂ (601 bytes) () 10/20/2010 postreply 16:35:04

• 赵亮：在科大初学《量子场论》 -marketreflections- ♂ (4745 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:32:05

• 人脑中分析信息的亿万个神经元，参与的也是电磁相互作用,也参与弱、引力其他两种相互作用 -marketreflections- ♂ (642 bytes) () 10/18/2010 postreply 17:38:58

• 在所有情况下，包括恒定电流情况下，能量都是在场中传播的。但是在低频情况下，由于场与线路中电荷和电流的关系比较简单，因而场在线路中 -marketreflections- ♂ (4879 bytes) () 10/15/2010 postreply 08:30:08

• 电磁场本征态：不随时间变化的稳态场分布 电位移 与场强 的关系,当已知自由电荷的分布时，可先由高斯定理求出 ，再由上式求出电介质 -marketreflections- ♂ (1952 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:55:37

• 在结合不同表象下不变的基本关系——对易关系，量子力学理论就可以在希尔伯特空间中以抽象的形式基本建立起来了，我们就可以在这个空间中 -marketreflections- ♂ (146 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:30:22

• 关于能量表象，我们接触的比较多的一种常见的能量表象是谐振子的能量表象，也可以把它称作占有数表象。我们知道在不同的哈密顿形式下，就 -marketreflections- ♂ (446 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:49:45

• 考虑一个用波包 描述的量子态，它由许多平面波叠加而成，其中每一个平面波（～ ）描述具有确定动量 的量子态（动量本征态） -marketreflections- ♂ (2839 bytes) () 10/14/2010 postreply 14:58:11

• 动量本征值方程的解：. 它就是 的单色平面波，在量子力. 学中，平面波代表粒子有确定的动量、在. 空间各处出现的几率相同的状态 -marketreflections- ♂ (262 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:05:13

• 希尔伯特空间 薛定谔绘景中引入量子力学几大基本假设的，但是与此同时，我们知道量子力学有另外一套同时建立的表示形式，那就是海森堡的 -marketreflections- ♂ (218 bytes) () 12/07/2010 postreply 03:49:57

• 希尔伯特空间是由伟大的数学家希尔伯特提出来的一个模有限的无限维复线性空间 -marketreflections- ♂ (72 bytes) () 12/07/2010 postreply 03:51:57

• 吴中祥 希尔伯特空间一个模(大小（模长）)有限的无限维复线性空间,大小（模长） -marketreflections- ♂ (4433 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:04:06

• 对易关系的不变性：一般可以简单的将坐标定义为描述空间位置的变量，却无法简单的将动量定义为质量和速度的乘积，我们必须从物理本质上去 -marketreflections- ♂ (1410 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:10:16

• 解决能量表象中的问题，有时候我们还需要从海森伯矩阵力学出发，或者换句话我们可以这样说，由于我们研究的能级是不连续的，所以薛定谔波 -marketreflections- ♂ (344 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:13:27

• "波函数常数因子不定性位相因子不定性" -marketreflections- ♂ (2870 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:34:33

• 粒子受到的势场决定:V>E束缚态；V<E自由态;几率流密度矢量 -marketreflections- ♂ (5798 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:37:36

• 在解原子周围电子波函数时，波函数可以分解为两个独立的部分，分别是径向部分R（r）和角度部分Y（φ，θ），电子径向概率分布就等于R -marketreflections- ♂ (2263 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:52:21

• 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子：粒子受到的势场决定:V>E束缚态；V<E自由态;几率流密度矢量;经典力学中，固有性 -marketreflections- ♂ (13046 bytes) () 12/07/2010 postreply 09:02:17

• 物理好图 pku.edu.cn 第五章 波函数与薛定谔方程 -marketreflections- ♂ (1446 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:43:11

• 只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的 -marketreflections- ♂ (683 bytes) () 12/07/2010 postreply 04:48:14

• 物理好图 让所有的投资者（各有各的世界观维度）统一行动:只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的 -marketreflections- ♂ (583 bytes) () 12/10/2010 postreply 09:47:36

• 位置x及其函数V的内积 -marketreflections- ♂ (436 bytes) () 12/07/2010 postreply 05:01:07

• 物理好图 态函数及其演化方程 -marketreflections- ♂ (36 bytes) () 12/07/2010 postreply 05:05:13

• 物理好图 理论物理导论教学网页 微观粒子 能够在空间很小的范围和很短的时间内被整个观察到而不包含经典粒子具有轨道的运动特征 -marketreflections- ♂ (20497 bytes) () 12/07/2010 postreply 05:35:48

• 黑体子外灾难 有重物质 粒子每个自由度有限用位矢和速度描写,光电磁辐射 场自由度无穷用三维空间的连续函数描写 -marketreflections- ♂ (17080 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:03:52

• 当光和物质相互作用时光的能量在空间中不是连续分布的而是表现为个数有限的局限在空间某些点的能量子这些能量子......不能再分割而 -marketreflections- ♂ (3615 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:38:55

• q 为某一自由度p 为该自由度相应的广义动量积分在一个运动周期内进行 -marketreflections- ♂ (64 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:41:11

• 物理好图:两体到两体反应的运动学 Mandelstam不变量s, t, u ,s: 质心系总能量的平方 , 两体到两体反应的运 -marketreflections- ♂ (946 bytes) () 12/07/2010 postreply 08:45:14

• 数学物理好图：苏剑林 《方程与宇宙》:拉格朗日点的点点滴滴(四) -marketreflections- ♂ (1334 bytes) () 12/07/2010 postreply 09:26:53

• 二体问题中关于能量和角动量 -marketreflections- ♂ (119 bytes) () 12/07/2010 postreply 09:33:33

• 光子为什么有角动量？带电原子除了具有电荷和质量自由度，还存在第三个自由度，这一自由度就是电子的自旋 -marketreflections- ♂ (2799 bytes) () 12/07/2010 postreply 10:00:50

• 麦克斯韦方程描述的是矢量场，对矢量场量子化必然得到自旋为1场量子 -marketreflections- ♂ (624 bytes) () 12/07/2010 postreply 10:13:21

• 原子核外电子排布 -marketreflections- ♂ (265 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:45:15

• 某些自由度可隐藏在体系内部，它仅在一定条件下才被激发出 -marketreflections- ♂ (1521 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:47:19

• 近似能级图实际上只反映同一原子外电子层中原子轨道能级的相对高低，而不一定能完全反映内电子层原子轨道能级的高低 -marketreflections- ♂ (346 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:53:23

• 原子内部自由度和外部自由度演化：内部自由度而言，其时间标度具有激发态的自然寿命(r )的量数,而外部自由度，其时间标度的量级为l -marketreflections- ♂ (8307 bytes) () 12/07/2010 postreply 13:58:47

• 外界影响小于能级差，系统哈密顿仍然时间对称 -marketreflections- ♂ (246 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:09:09

• 物理好图 周飞 王玲丽 ：薛定谔猫是一个宏观物体,它具有非常大的状态空间和特别密集的能谱.例如,我们假设"猫"是由N 个二能级原 -marketreflections- ♂ (6194 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:19:50

• 物理好图 冯·诺意曼投影或波包塌缩和波函数约化.图形象地加以说明 -marketreflections- ♂ (12982 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:29:40

• 物理好图 孙昌璞： Φ 1 和 Φ 2 是物理体系的两个可能状态相干叠加 Φ = Φ 1 +Φ 2 ,空间表示的模平方|Φ |2 -marketreflections- ♂ (24675 bytes) () 12/07/2010 postreply 14:44:20

• 能级是不连续的，所以薛定谔波动力学在这里已经不适用了，薛定谔波动力学一般都是建立在薛定谔方程的基础上，我们不能用薛定谔方程，即一 -marketreflections- ♂ (560 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:30:09

• 原子的存在时间比宇宙寿命长? 时间在普朗克维度下无意义 -marketreflections- ♂ (2431 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:34:07

• "希尔伯特空间能级不连续" -marketreflections- ♂ (3069 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:36:45

• 物理好图 ：量子力学数学形式表述的由来和特点 量子力学里原子客体的状态可改变的方式有二：其一，在未受观察的干扰时，在严密的因果律 -marketreflections- ♂ (10840 bytes) () 12/07/2010 postreply 15:56:32

• 兔子在兔子更多的地方繁殖更快：该特征值方程的解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ -marketreflections- ♂ (21224 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:06:32

• 共轭特征向量 在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态 -marketreflections- ♂ (375 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:09:01

• 薛定谔方程 束缚於氢原子内的电子的波函数可以视为氢原子的哈密顿算子的特征向量，同时也是角动量算子的一个特征向量。它们对应於能级( -marketreflections- ♂ (1270 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:15:50

• 马克思生产价格方程组 第一, 有唯一一组利润率和相对生产价格的正实数解 第二, 这个解是由生产耗费矩阵A 所决定的。 -marketreflections- ♂ (4122 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:23:40

• 实际上决策层对王八拳的后遗症心知肚明，不寒而栗 -marketreflections- ♂ (4754 bytes) () 12/07/2010 postreply 16:30:42

• 物理好图：：不确实性原理：库仑力是以光速传播的,当一个粒子的库仑力传播到另一个粒子上(这需要时间),并对其起作用时,另一个粒子以 -marketreflections- ♂ (4639 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:08:24

• 动量算符的本征值，在直角坐标系下实数;动量本征值方程的解：单色平面波,复空间,粒子有确定的动量、在空间各处出现的几率相同的状态 -marketreflections- ♂ (150 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:13:20

• 束缚在定态不随时间变化，也不与外界交换能量。当有扰动时将从一个定态跃迁到另一个定态,跃迁过程的波函数可由态的叠加原理给出 -marketreflections- ♂ (400 bytes) () 10/14/2010 postreply 15:16:52

• 量子力学“一次量子化”中并没有做完：首先，它的时空背景是Euclid -marketreflections- ♂ (2977 bytes) () 10/14/2010 postreply 21:34:15