现代物理学所研究的碰撞问题大多是微观粒子之间的碰撞，这时粒子间的相互作用是非接触作用。例如分子或原子相互接近时，由于双方很强的相

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第3章 二体问题


• 弹性散射（碰撞问题）


• 粒子在中心势场中的运动（束缚态问题）


内容： • 处理二体问题的一般方法


难点： • 散射截面


重点： • 粒子在中心势场中的运动






多个相互作用着的粒子体系的运动问题称为多体（或N体）问题。例如，太阳系就是典型的多体运动体系。多体问题理论上至今尚未完全解决。本章只讨论两个粒子体系的运动，即二体问题。


3.1 二体问题概述


3.1.1 二体问题的类型：三类


（3）俘获和衰变问题


特点：过程前后粒子数从2变为1或由1变为2。


（1）束缚态问题


特点：两体间始终保持有限距离，如电子绕核、行星绕太阳的运动。


（2）散射（或碰撞）问题


特点：两粒子从相距无穷远处逐渐接近，经过相互作用后又相互分离至无穷远。如加速后的电子（或质子）打到靶上或粒子彼此对撞。






（1）将二体问题化为单粒子问题


二体问题可以分解为以下两个运动或者可看作是以下两个运动的合成。


（3.1）


由以上二式，解得


（3.3）


3.1.2 处理二体问题的一般方法


• 相对于质心C的运动：可以约化为一个单粒子的动。


• 质心C的运动：遵循质心运动定理。


的位矢，


和


为它们的质量，则


如图3.1所示，设


为二粒子在惯性


系（实验室系）


和






体系的动能为


（3.4）


体系的势能包括：外场势能


和相互作用势能


：


（3.5）


则体系的拉格朗日函数为


（3.6）






其中：





（3.7）


是描述质心运动状态的拉氏函数，


（3.8）


是表征两个粒子间相对运动状态的拉氏函数，而


（3.9）


称为折合质量.


结论：


（


①（3.6）式表示：选取质心位矢


和相对位矢


为广义坐标


时，二体问题分解为两个独立粒子——质量为


）的质点






（原点在质心C，坐标轴与 平行）


（质心C）和质量为


的粒子的运动。


②（3.8）式表明：二体问题中相对运动部分相当于质量为


的


单粒子在势场


中的运动。


（2）两粒子相对运动的两种描述方法


• 用一个粒子相对于另一个粒子的运动来描述


采用惯性坐标系（实验室坐标系），


，如（3.8）式


• 用两个粒子各自相对于质心的运动来描述


采用实验室坐标系和质心坐标系两个坐标系。这种描述方法称为粒子

在质心系中运动


两种描述方法的联系：


如图3.2所示：


：质心坐标系


：实验室坐标系






平行）


（3.10）


（3.11）


比较（3.10）式和（3.3）式，有


（3.12）


体系相对运动动能为






（3.13）


由此可见：


① 若知道一个粒子相对另一个粒子的运动（即


），通


，


）


过（3.12）式就可求出两个粒子各自相对质心的运动


（即


② 相对运动动能既可用


表示，也可用


表示。






相互作用势只和粒子的相对距离r有关而和相对方向无关，即


，称为中心势场。这是最重要的一类两体相互作用势。


中粒子的运动问题。


本节讨论在中心势场


3.2.1 单粒子在中心势场中的运动


（1）运动特征和规律


• 受中心力作用


粒子在中心势场中受中心力作用


（3.14）


• 机械能守恒


粒子的拉格朗日函数为


3.2 粒子在中心势场中的运动






（3.15）


• 角动量守恒


中不含坐标θ，故广义动量即角动量守恒


（3.17）


上式表明：离中心远（r大）时，粒子绕中心旋转慢，近时旋转快。


• 轨道方程


由（3.17）式，得


，代入（3.16）式：


（3.18）


积分，可得粒子运动方程


常数


函数中不显含时间t，故机械能守恒


（3.16）






（3.19）


（3.20）


消去dt得轨道方程


（3.21）


（2）有效势能


将（3.18）式写成：


（3.22）


式中






（3.23）


称为有效势能，其中量


称为离心势能。（3.22）式表示：径向


部分r的运动，可以看成粒子在有效势场


中的一维运动。


（3）轨道形状


时


由（3.22）式中


，可求得r的变化区间：


或


的变化区间由（3.21）式决定


在任意形式V（r）的情况下，粒子有限运动的轨道一般是闭合曲线，是位


于两个半径为


和


的圆之间，无数次经过


和


位置填满






由两个圆限制的整个圆环的曲线（不闭合椭圆）如图3.3所示。


3.2.2


的中心势场


牛顿引力势和库仑静电势是典型、常见的与距离成反比的中心势场。


（1）有效势能曲线


利用有效势能概念可以对粒子在势场中的运动情况作出定性的描述。


设引力势为






（3.24）


对应的有效势能为


（3.25）


（3.26）


• 当


时，曲线有零点（


）


根据以上特征，有效势能曲线如图3.4所示


它的主要特征是：


• 曲线在


处存在一个极小值


：


• 当


时，


，


时，






（2）粒子运动情况


• 当


≤E

的环域内


运动（为什么？）——束缚态。


（近日点），粒


• 当E≥0时，曲线与水平（E）线只有一个交点


子不被吸引至力心，远日点


移到无穷远，粒子在离心势（


）






作用下飞向无穷远而成为自由粒子。


（3）轨道方程


• 由（3.21）式和（3.24）式：





可得轨道方程


选择


的计算起点，使C=0，令






，


（3.26）


则轨道方程为


（3.27）


上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。


• E

• E = 0时，e = 1，为抛物线；


• E > 0时，e > 1，为双曲线


如图3.5所示。


行星绕太阳、电子绕原子核运动轨


道为椭圆。（为什么？）


（4）粒子在排斥势场（


）中的运动


排斥势为






（


（3.28）


)


则有效势能为


（3.29）


由此可见：


当r由0→∞时，


单调下降，永远为正，不管初始条件如何，粒子将


子将飞向无穷远成为自由粒子。


粒子的轨道方程为


（3.30）


是双曲线另一支，如图3.6所示。






3.2.3 粒子运动轨道的稳定性


粒子在中心势场中的运动轨道是个重要的也是我们最感兴趣的问题。在实际应用中，总希望有确切的轨道方程和轨道是闭合的、稳定的。


（1）粒子轨道稳定性的含义


（2）轨道稳定条件


设中心势为V（r），则粒子所受中心力


，在极坐标系中


的牛顿动力学方程为


设在一定的初始条件下，粒子在中心势场V（t）中运动的轨道方程


为


，由于初始条件的微小变化或势场出现短暂的扰动，使轨


道方程由


，如果r始终保持在


附近微小振动，则轨道是稳定


的；若随着时间增加r偏离


越来越大，则轨道不稳定。





（3.31）






令


，由（3.31）式可得


（3.32）





上式为粒子的轨道微分方程，称为比耐（Binet）公式


设粒子在一定初始条件下的轨道为


，由于初始条件或势场的


微小改变，轨道变为


（3.33）


式中ε—微小量，将（3.33）式代入（3.32）式：


（3.34）


将


在


附近展开成泰勒级数：


代入（3.34）式，略去


以上各项，得






(3.35)


其中


(3.36)


(3.35)式的解为:


当A=0时:


，ε随θ线线增加，轨道不稳定。


A

，ε随θ指数增加，轨道不稳定。


A>0时：


，ε作


简振动，轨道稳定。


将（3.36）式代入（3.32）式，去掉下标，得轨道稳定性条件为：


（3.37）


或


（3.38）


几种势场中粒子轨道的稳定情况：









①


，这时


所以，与距离平方成反比的中心势场中的粒子的轨道永远是稳定的。


这是行星轨道和原子结构的力学稳定性的理论解释。


②


，这时


其中


为轨道曲线极值点，于是稳定条件A>0变为


即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在


处作圆周运动


）是不稳定的。






③


，这时


轨道永远稳定。


（3）圆形轨道稳定判据


如果已知粒子在中心势场中沿圆形轨道运动，根据圆形轨道必在


取极值处出现，而极小值为稳定轨道，所以圆形轨道稳定条件为





（3.39）


将有效势


代入：












（3.40）


或


（3.41）


（3.40）或（3.41）式为圆形轨道稳定性条件（或判别式）。


3.3弹性碰撞


粒子的碰撞是典型的二体问题。如果两个粒子碰撞前后粒子内部状态不发生改变，称为弹性碰撞或弹性散射，否则称为非弹性碰撞。


弹性碰撞的特点：动量、角动量、机械能、动能守恒（Why？）


弹性碰撞中要讨论和解决的问题：






· 找出碰撞前后粒子运动必须满足的条件，即速度关系——运动学问题.


· 找出碰撞前后粒子的状态与相互作用势V（r）的关系——动力学问题

（或散射问题）


3.3.1 碰撞运动学———速度关系


（1）用质心系描述


表示质心系中二粒子


和


用


碰撞前后的速度，如图3.7所示:


由以上二式，可得





（3.42）






式中


为二粒子的相对速度。


根据动量守恒和能量守恒，有


（3.43）


（3.44）


由以上二式，得


（3.45）


可见：在质心系中两粒子的弹性碰撞，只改变粒子的运动方向，不改变速度大小。如果用


表示


的方向，则


（3.46）






（2）用实验室系描述


在图3.7中：


，因而





可得


（3.47）


（3.46）式和（3.47）式就是要找的速度关系。其中唯一没有确定的是


的方向，


的方向与粒子间相互作用的性质有关。


3.3.2 散射截面


在宏观现象中，碰撞意味着物体（质点）直接接触。现代物理学所研究的碰撞问题大多是微观粒子之间的碰撞，这时粒子间的相互作用是非接触作用。例如分子或原子相互接近时，由于双方很强的相互作用斥力，迫使它们在接触前就偏离了原来的运动方向而分开——散射。在散射问题中，人们所关心的是散射粒子的分布及散射前后粒子各种性质的变化。由此，推断粒子间相互作用及内部结构。






O —— 散射中心


（1）散射角


如图3.8所示，粒子1从无穷远处

向固定在O不动的粒子2飞来，在中心

势V（r）的作用下，粒子1偏转一角度


θ后又向无穷远飞去。图中


θ—— 散射角


b —— 瞄准距离


（3.48）


（3.49）


其中


可由轨道方程（3.20）式求得


（3.50）






式中


由


中，


所得的方程


（3.51）


决定。（3.48）、（3.50）、（3.51）就是计算散射角的基本公式


（2）微分散射截面


实际物理问题一般不是单个粒子的散

射而是具有相同速度的全同粒子束的散射，

如图3.9所示，设单位时间内通过单位面

积的粒子数为n，单位时间内散射到θ和


θ+dθ角度内的粒子数为dN，则


（3.52）


称为微分散射截面，表征散射过程特征。


为散射分布函数。


由图知，散射到θ到θ+dθ内的粒子数是b(θ)和b(θ)+d b(θ)内的


，所以


粒子即









（3.53）


根据立体角定义，有：





代入上式得





（3.54）


（3.55）


都可以用实验方法测定。在微观物理学中，粒子之间的相互作用十分复杂，往往不能直接观测。人们主要通过各种散射实验来研究粒子之间的相互作用以及它们的内部结构。卢瑟福根据粒子散射实验，建立了原子核式结构模型（卢瑟福模型），不仅对原子物理起了很大的作用，而且这种以散射为手段研究物质结构的方法，对近代物理一直起着巨大的影响。


式中






3.3 粒子的分裂（衰变）


（1）在质心系中讨论


分裂前粒子的动量和动能都为零，能量为其内能U，根据动量守恒定

律：


（3.56）


即


，由能量守恒定律，有


分裂前后体系的内能之差称为分裂能ε：


（3.57）


（3.58）


显然ε>0，（3.57）式代入（3.58）式得


（3.59）


（3.60）


对于一种确定的分裂方式，ε是常数，从而


也是常数。


式中


为折合质量，二粒子的速度为






（2）在实验系中讨论





之间的关系为


和质心系中的速度


粒子在实验室系中的速度





式中质心速度


就是粒子分裂前后的速度。由上式得


（3.61）


与


，因此，由（3.62）式可以决定


式中


是粒子相对于质心速度


方向的飞出角。由（3.59）和（3.60）


的关系，如图3.10


式可确定


所示。





时，粒子以任意角


飞出；


时，粒子只能以


的角飞出。


由下式定出：






（3.62）


以上讨论的是一个粒子分裂的情况。实际物理问题中遇到的往往是很多个相同粒子的分裂，因此，必须考虑新生粒子按方向、能量分布的情况。


3.4 解题指导


（1）本章习题的类型和基本解法


本章习题常见的有两种类型：


· 粒子在中心势场V=V（r）中运动问题的计算


通常给定中心势（一般为


），求轨道方程及其形状、


轨道稳定条件、


粒子运动情况以及其他有关的物理量。


基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机械能守恒定律即可求得所要求的量。


· 碰撞问题的计算


通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运动的速度大小与方向）和散射情况（散射






分布）


基本解法：①分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；②碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；③在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理（因碰撞力的功很难计算）


（2）范例


[例1] 一质点在中心势场中运动，力的大小为F=F(r),质点的速率为


，求质点的轨道方程及所受的中心力。


解：取图3.10所示的极坐标，根据动量矩守恒


， 即


（1）


由


，有


（2）


由（1）和（2）式得






即


（3）


设θ=0时，


，积分（3）式，得质点轨迹方程：


（4）


其中


，可见质点的轨迹为对数螺线。


故质点所受的中心力为






向一个质量


粒子与重核的最近距离


。


[例2] 设α粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度


的垂直距


为M，电荷为Ze的重原子核（金、铂等）射来。重核与矢量


离为d（称为瞄准距离）。设M》m，重核可近似看成是静止的。试求α


或


（1）


由机械能守恒，有


解：如图3.12所示，α粒子运动中

受重核静电斥力作用下其速度随时间改


）。根据角动量（对力心O）守恒


变,到达A点时与重核距离最近（





（2）


（为何不考虑初始位置


处的静电势能


？）


由（1）、（2）式，得









（舍去负根）


代入实验数据可算出


，与后来对原子核半径的测量值在数量


级上相符。


本例是著名的α粒子散射实验的原理。1911年，卢瑟福（Rutherford）在研究α粒子散射实验基础上，提出了原子的有核类型，为原子结构和原子核的研究奠定了基础。


[例3] 质点所受的中心力为


若质点在r=2a，θ=0


处以速率


沿垂直于极轴方向抛出。求质点的运动轨道及运动


规律。


解：（1）求运动轨道


将


代入比耐公式






（1）




（2）


式中


（3）


将（2）代入（1）式，得





积分得


（4）


由初始条件：t=0时，






而


，


，


，


）可定出


（5）


由初速度


，可知


（6）


由（5）、（6）式可得


代回（4）式，得


或


积分上式并代入初始条件


时


，可得轨道方程：


（7）






（7）式为半径为a的圆，力心在圆周上，如图3.13所示。


（2）求运动方程


根据角动量守恒


，有


（8）


由（6）、（7）、（8）三式，可得






积分上式并代入初始条件：


时


，可得质点的运动规律：