几何代数和几何计算（一）(synthetic)的方式 解析(analytic)的方式

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几何代数和几何计算（一）
石 赫 李洪波
数学是研究现实世界的“数”与“形”的科学。数学就是围绕这两个概念的演变而发展的，也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去。代数是研究“数”的学科，几何是研究“形”的学科。数学科学发展的历程中两者彼此独立，又相互缠绕。几何（形）的概念用代数（数）表示，几何的目标可经过代数计算实现；反之，代数语言赋有了几何背景，可更加直观地理解它们的意义，发现它们的丰富内涵。吴文俊院士指出：几何代数化，在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。


几何计算的代数化


16世纪前的欧洲，几何学的发展一直是沿袭综合(synthetic)的方式。这种方式强调从基本几何体和几何关系出发，在某个公理体系内进行几何证明和推断。这种欧几里得的演绎体系长期占据着西方数学的统治地位。


17世纪初，笛卡儿创立了坐标几何，实现了“数”与“形”的紧密结合，这与中国古代数学的几何代数化思想是相通的。坐标就是变量，坐标几何使变量进入了数学，为微积分的伟大发现创立了前提条件。17世纪后半叶，微积分创始人之一、大数学家莱布尼茨认为，坐标仅仅是数字，一串坐标就是一串数字，然而坐标系作为纯粹的外部参照物，它诱导的代数表示本身没有几何意义，在此基础上进行的只是纯粹的代数计算。通过坐标计算实现几何研究是一种解析(analytic)的方式。他提出：“如何创造一种几何语言，利用它可以直接进行几何计算和几何推理？”这形成莱布尼茨的宏伟设想，即通过几何语言直接进行几何计算，直接处理几何体，从而以一种既解析又综合的方式研究几何学。经过一个半世纪，莱布尼茨的设想才有所实现。


19世纪中期，首先是格拉斯曼(H.Grassmann)和凯莱(A.Cayley)建立了后来以他们名字命名的向量和多向量的外代数系统。根据格拉斯曼的观点，一个代数用于表示几何的物体，如果通过代数的加、减、乘、除等运算，能够表示纯粹的几何物体的加、减、乘、除等运算，得到的代数运算结果依然是纯粹的几何体，那么，这个代数就是一种几何语言，通过它可以直接进行几何计算。


格拉斯曼把3维线性空间推广到n维。通过把n维欧氏空间嵌入到n+1维欧氏向量空间，为射影几何建立了真正的几何语言。这种语言根本不用坐标，当需要使用坐标时，可以根据情况选择合适的齐次坐标。其后，哈密顿通过建立四元数系，把微积分推广到向量分析，并建立了向量代数。这是3维欧氏位移空间上的一种几何语言。克利福德(W.Clifford)通过建立对偶四元数，实现了3维欧氏空间中刚体运动的乘法表示，得到比向量代数更接近于几何的语言。1879年，克利福德建立了“几何代数”，即后来的克利福德代数，它是正交几何的真正几何语言。


非欧几何的创立是几何学发展的划时代事件。19世纪前半叶，罗巴切夫斯基创立了非欧几何。罗氏几何的问世击破了欧氏几何的一统天下，拓展了人们对几何学的认识，使几何学的发展产生革命性的变化。直到19世纪后半叶，罗氏几何的重要性才得到充分认识。非欧几何为黎曼几何的创立提供了条件，而黎曼几何是爱因斯坦相对论的数学基础。


19世纪中期，大数学家高斯的学生瓦赫特(Wachter )在研究非欧几何时，发现欧氏几何可以在双曲空间的某类球面上等距地实现。1872年，李 （S.Lie）在他的博士论文中首次建立了该模型的代数表示。这个模型为 n 维欧氏几何提供的嵌入空间是 n+2 维闵氏向量空间。由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏空间的共形变换群的双层覆盖，因而这一模型又被称为共形模型。


遗憾的是，历史上共形模型长期局限于坐标表示，它对构造欧氏几何甚至经典几何的真正几何语言的贡献长期没有表现出来。


1869年，贝尔特拉米（E.Beltrami）给出罗氏几何的直观解释，说明罗氏平面可以看作负常数曲率的曲面。1871年，克莱因建立了射影度量和非欧几何的关系。他指出，欧氏几何和罗氏几何都可用射影方法构造出来。1882年，庞加莱给出了一种模型：取圆的内部作为罗氏平面，把垂直于已知圆周的圆弧看作罗氏几何的直线，运动是把圆变为自身的反演。这是现代经常使用的非欧几何在欧氏平面上等距实现的模型。


这么多杰出的数学家参与几何代数和几何模型的研究，关注莱布尼茨宏伟设想的具体实现，充分说明这一数学课题的重要性。迟缓的进展表明，几何代数和几何计算的研究面对的道路将是艰难而漫长的。


非欧几何问世的前前后后相继产生了多种几何。各类几何也出现了相应的几何代数语言。如今，人们将射影几何、仿射几何、欧氏几何、罗氏几何、球几何等几何统称为经典几何。对几何代数化而言，自然的问题是能否建立一种几何代数语言，可用于经典几何的统一表示，使得此类几何代数语言的运算结果同时在不同的几何中都具有明确的几何解释，亦即同一个几何计算的结果，在各类不同的几何之中具有相应的几何意义，代表着相应的几何结论。这是实现几何计算代数化必须面对的新挑战。


几何代数语言


对于最常用的经典几何，如何设计统一的几何语言，如何应用几何语言进行几何计算呢？应用代数方法进行几何计算，需要通过三个步骤。


建模 给出几何的代数表示。同一个几何问题可以有各种各样的代数表示。所谓用“真正的几何语言”直接进行几何计算，就要求代数表示没有任何外部参照物。


计算 建立代数处理的算法。要求给出的代数表示能够实现几何不变量代数的高效计算。


还原 代数结果的几何解释。要求给出的代数表示在计算过程中和得到的计算结果能够做出明确的几何解释。


从数学理论的发展来看，经典几何的基本要素包括几何体、几何量、几何关系、几何变换等，它们的有效表示主要依靠协变量，即更高维数几何空间中的不变量。因此，几何表示的核心是构造合适的协变量代数，几何计算的核心是解决不变量代数的符号计算问题。


对于经典几何，有一类以统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法；表示几何变换的旋量或张量；表示几何量的括号。


在此需要对协变量代数、格拉斯曼结构和括号系统做一简要介绍。


协变量代数包括三个基本成分：基本协变量，协变量之间的乘法，它们之间的代数关系。以平面仿射几何为例，基本协变量是表示点和方向的向量、表示直线的2-向量和表示平面的3-向量，它们组成格拉斯曼结构；协变量之间的乘法是格拉斯曼的外积和凯莱的交积；协变量之间的代数关系是由克拉默法则给出的任意4个向量（或2-向量）之间的线性依赖关系。这个协变量代数称为2维格拉斯曼-凯莱代数。


格拉斯曼结构是表示基本几何体的一种代数结构。它具有分层结构，其要与格拉斯曼外积、凯莱交积以及克利福德对偶运算相容，即这种代数结构在这些代数运算之下是封闭的。相应的外积、交积和对偶算子正好对应几何体的扩张、交和对偶。例如，在射影几何、仿射几何和正交几何中，所有的点、线、面等的集合具有格拉斯曼结构；在共形几何代数表示的欧氏、双曲和椭圆几何中，所有的点、线、圆、面、球等的集合具有格拉斯曼结构。


表示几何量的括号系统，就是应用代数表示进行几何计算，不变量一般采用抽象符号表示，相应的不变量系统就是各种括号代数。


仍以平面仿射几何为例，三角形 ABC 的面积可以用三个顶点的齐次坐标组成的 3×3行列式表示（坐标多项式），也可以用三个顶点字母的括号 [ABC] 表示，其中括号算子具有多重线性、结合、反对称性，并满足以下的仿射格拉斯曼-普吕克关系：对任何平面上的点 A，B，C，D，E，F，[A][BCD]-[B][ACD]+[C][ABD]-[D][ABC]= 0，[AEF][BCD]-[BEF][ACD]+[CEF][ABD]-[DEF][ABC]=0。


平面仿射几何的基本不变量系统就是由两种括号 [A]，[ABC]（即所谓基本不变量）生成的多项式环，模去由上式的左端生成的理想（即所谓基本代数关系）得到的商环，称为2维仿射括号代数。


基于不变量的几何计算研究相当困难，进展缓慢。亟待解决的基本问题包括如下三项：（1）计算思想的改进：不变量的几何计算的关键是控制中间过程表达式的爆炸式膨胀。原有的不变量计算是采用标准化(normalization)思想，它不仅不能控制中间过程的爆炸，反而助长爆炸。为此，必须抛弃部分原有的思想，建立新的计算思想。（2）基本运算效能的提高：基本的不变量代数运算包括展开和化简。展开通常指将高级不变量表示为低级不变量的多项式形式；化简包括因式分解和项的合并。原有的不变量计算是基于拉直(straightening)算法，它仅仅解决了是否一个不变量多项式等于0的恒等性判断（需要指出，这是相当不平凡的事情）。对于展开和化简等基本运算，在经典不变量代数中从未系统地研究过。（3）高级不变量系统的建立：几何问题中出现的不变量常常是基本不变量的有理多项式，这说明基本不变量用于几何计算过于低级，需要构造高级不变量来简化几何计算。实用的高级不变量系统应该满足，实际问题中的不变量一般是高级不变量的有理单项式。


共形几何代数(Conformal Geometric Algebra，CGA)最初称作广义齐次坐标，是新的几何表示和计算系统。它是完全不依赖于坐标的经典几何的统一语言，不仅拥有用于几何建模的协变量代数，而且拥有用于几何计算的高级不变量算法。在表示方面，CGA结合共形模型和几何代数，提供了表示几何体的格拉斯曼结构，表示几何变换的统一旋量作用，和表示几何量的括号系统。在计算方面，CGA拥有新的高级不变量代数，即零括号代数(Null Brackets Algebra，NBA)；拥有新的计算思想，即基于括号的表示、消元和展开以得到分解和最短的结果；拥有不变量的展开和化简的高效计算技术。从而，可以用来进行极其复杂的符号几何计算，是初等几何最实用的不变量系统，在几何数据处理和几何计算方面表现出很大的优势。


共形几何代数的创立，是几何代数和几何计算研究令人瞩目的实质性进展，是莱布尼茨宏伟设想迄今为止最成功的实现。


共形几何代数的表示工具


作为几何的高级不变量和协变量系统的结合，CGA为经典几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。与经典的共形模型不同的是CGA无需实行仿射化，不需引入原点，欧氏几何的表示完全不依赖于坐标。CGA使代数运算和几何计算相一致。


CGA的格拉斯曼结构


经典的共形模型是建立CGA的基础，它是n+2维闵氏向量空间上的几何代数，记为?詚n+1,1 。设a=(a1,a2，…，an+1,an+2),b=(b1,b2,…,bn+1,bn+2)是?詚n+1,1 中的向量，在标准正交基之下，它们的闵氏内积定义是(a·b)=a1b1+a2b2+…+an+1bn+1-an+2bn+2 。?詚n+1,1中的非零向量x，其自身的内积为0，即（x·x)=x2=0，称为null向量。null向量的集合记为N。


?詚n+1,1具有自然的格拉斯曼结构，表示闵氏正交变换的旋量作用，是几何代数诱导的括号系统。因此，它是n+2维闵氏正交几何的一种经典语言。经典的共形模型是依赖于坐标选择的。


?詚n+1,1中的正向量s(自身的内积大于0的向量)表示Rn的超平面（经过无穷远点）或超球面（不经过无穷远点），由null向量x表示的点x在由正向量s表示的超平面或超球面上，当且仅当x与 s的内积为0。


要内蕴地表示几何体，多向量的原点不能在几何空间内。因此，在真正的几何语言中，几何表示一般是齐性的。道理是这样的：如果原点是一个几何对象，那么它作为代数乘法的零元素，乘以任何其他几何对象都得到自己。这样，在齐性空间的几何变换下，由原点表示的几何对象可以变换到空间任何同类对象。由于代数乘法作为几何操作，在几何变换下具有不变性，因此，得到的结论只能是几何空间仅包含唯一几何体，它就是原点本身。对一般的几何空间，这显然是不合理的。


CGA是在经典共形模型的基础之上建立的。CGA的构造，就是从?詚n+1,1中选择一类格拉斯曼子结构，一类旋量商群和一类括号子系统，给它们赋予欧氏几何或其他经典几何的解释，从而得到经典几何的协变量代数表示。


CGA和经典的共形模型的根本区别在于：在CGA中，?詚n+1,1中的null向量在表示欧氏几何中的点时，不必做仿射化和正交投影，因而是齐性的（表示差一个非零数量因子唯一）。其次，唯一的无穷远点e完全确定了唯一的n维欧氏空间，无需引入原点，因而欧氏几何的表示完全不依赖于坐标。


在CGA中，?詚n+1,1中的闵氏r-外张量（即r个向量的外积并具有闵氏度规）表示 n维欧氏空间中的r-2维球面或平面，其中2≤r≤n+1。由null向量x表示的点x在由r-外张量 A表示的平面或球面上，当且仅当x与A的外积为0。这些r-外张量、null向量和表示n维欧氏空间的 (n+2)-外张量，构成CGA的格拉斯曼结构。在该结构上，格拉斯曼的外积“∧”表示几何体的扩张，凯莱的交积“∨”表示几何体的交，克利福德的对偶算子“~”和正交投佑P表示几何体的对偶和正交投影。


例如，在欧氏平面上，一些典型的几何体和几何量的表示如下：


直线ab： e∧a∧b


圆abc： a∧b∧c


圆所在平面： e∧a∧b∧c


圆abc与a’b’c’之交：（a∧b∧c）∨（a’∧b’∧c’）


圆abc的半径的平方：（a∧b∧c）2/（e∧a∧b∧c）2几何构造经过正交投佑P和克利福德的对偶算子“~”给出相应的几何特征：


点c到直线ab的垂足： Pe∧a∧b(c) mod e


圆abc的圆心： (a∧b∧c)~mod e


直线ab的法向量：(e∧a∧b)~mod e


三角形abc的面积：(e∧a∧b∧c)~/2.i.e.,[eabc]/2


CGA的格拉斯曼结构提供了一种分级表示，它与几何体的扩张、相交、对偶和正交投影恰好相容。因为点的表示完全不依赖于坐标，从而分级表示也完全不依赖于坐标。


相比之下，在由李提出并经布拉施凯(W.Blaschke)发展的李球几何的代数模型中，尽管将n维欧氏几何嵌入到n+3维向量空间，使得可以用等式的方式表示定向，但是该代数模型的格拉斯曼结构没有几何意义，因而无法构成经典几何语言。


CGA的统一旋量作用


在共形模型中，闵氏嵌入空间的正交变换在旋量表示下实现了欧氏空间的共形变换。例如，保持null向量e不变的正交变换实现了欧氏变换，保持由e张成的1维子空间不变的正交变换实现了相似变换，等等。


由于CGA的格拉斯曼结构在闵氏嵌入空间的正交变换下不变，因而对分级表示的几何体，它们的共形变换具有相同的旋量作用。这一特点使得CGA的旋量和作为3维刚体运动表示的对偶四元数和超旋量有很大区别，因为后两者在不同的几何体（例如点、线、面）上的作用是不同的。


例如，3维的刚体运动群可以由8个参数刻画，满足两个约束。这一点在CGA、对偶四元数和超旋量表示中都是相同的，但是由于后两者对点、线、面的表示没有格拉斯曼分级结构，因而刚体运动群对不同几何体的作用方式无法统一。而CGA具有格拉斯曼分级结构，刚体运动群对不同几何体的作用是一致的。另外，对偶四元数和超旋量只适用于表示3维物体及其刚体运动，要推广到高维几何的表示，则需要借助于CGA。


CGA的基本不变量系统


经典的不变量理论研究的是在一般线性群下不变的多项式环。从几何观点看，由于射影几何的变换群是特殊线性群，因而经典的不变量理论构成射影几何在齐性表示的不变量代数。这种代数的基本元素是所谓的括号，因此，这种环也称为括号代数。例如，在 n-1 维射影空间中取n个点a1,a2,…，an，用括号[a1 a2…an]表示n个点的齐次坐标组成的n×n阶行列式。


括号代数作为多项式环的商环，即多项式环模掉一个理想。 定义括号代数(商环)的理想是多项式生成的所谓格拉斯曼-普吕克 syzygy理想。对于正交几何，它的代数不变量都是向量的括号和内积的多项式，相应的基本不变量代数称为内积括号代数，是多项式环模去两类多项式生成的所谓内积格拉斯曼-普吕克syzygy理想而得到的商环。


CGA的基本不变量系统就是闵氏嵌入空间的内积括号代数。这些不变量尽管比较低级，已经可以用来进行相当不平凡的几何计算和几何定理自动推广了。


例如，经典的西摩松定理说的是：如果平面上四点0，1，2，3共圆，那么从其中任一点，例如0点，向其他三点组成的三角形的三边引垂线，得到垂足1’，2’，3’，则三个垂足共线。


现在问，如果0，1，2，3不共圆，那么1’，2’，3’离共线差多少？


利用内积括号代数，可以得到以下等式：








这个齐性等式在进行几何解释时，可以采用共形模型的仿射化形式，得到西摩松定理的推广：对平面上任何四点0，1，2，3，设1’，2’，3’是自0向三角形 123 的三边所引的垂足，则有








其中，S123是三角形 123 的面积，ρ123是三点1，2，3确定的圆的半径，O123是三点1，2，3确定的圆的圆心，d0O123是点0和圆心O123之间的距离。


CGA对经典几何的统一表示


本节所讲的经典几何是指一个齐性空间，其变换群是一般线性群的某个李子群。经典几何包括射影、仿射、欧氏、椭圆、双曲、共形几何等。由于CGA的齐性表示性质和具有格拉斯曼结构，n维射影和仿射几何可以通过某非零向量做透视投影得到。具体步骤是，对任意取定的非零向量a，a决定的透视投影是x|→ a∧x 。它将n+2维闵氏向量空间?詚n+1,1 映为n维射影空间P n。事实上，任一null向量x∈?詚n+1,1 ，a∧x是?詚n+1,1 中的直线，再将直线a∧x看做一点，即得到n维射影空间P n。该射影空间在仿射超平面 {x | x·a= -1}上的限制，正好是n维仿射空间。


在n+2维闵氏向量空间中，有三种不同的向量，它们与自身的内积分别等于0、大于0或小于0。由它们确定的三种仿射化得到三种不同几何的等距模型：欧氏、双曲和椭圆。


如果不进行仿射化，则三种几何的代数框架正好都是CGA，具有相同的格拉斯曼结构和对应的几何计算。这样，在CGA中的一个等式可以在不同的几何中进行不同的几何解释，从而实现经典几何的统一表示。这种表示的共形性质是显然的，因为不同的仿射化对几何度量的影响仅相差一个与切空间无关的非零因子，而这正是共形度量的定义。这种统一表示提供了大量强有力工具。


以前面所说的西摩松定理为例，它的几何构型可以用如下方程组描述：


[0123]=0 0，1，2，3共圆


[e123]≠0 1,2,3不共线


（e∧0∧1’）·（e∧2∧3）=0


[e1’23]=0


（e∧0∧2’）·（e∧1∧3）=0


[e12’3]=0


（e∧0∧3’）·（e∧1∧2）=0


[e123’]=0


结论是： [e1’2’3’]=0 (1’,2’,3’共线）。


现在对上面方程组中的几何对象做出另外一种解释：不把e解释成无穷远点，而是解释成有限点；相反地，我们把0解释成无穷远点。于是在上述方程组中，通过互换e，0，得到如下的方程组，这些方程的几何意义已明显改变：


[e123]=0 1，2，3共线


[0123]≠0 0,1,2,3不共线


（e∧0∧1’）·（0∧2∧3）=0


[01’23]=0


（e∧0∧2’）·（0∧1∧3）=0


[012’3]=0


（e∧0∧3’）·（0∧1∧2）=0


[0123’]=0


结论变为：[01’2’3’]=0（0，1’，2’，3’共圆）


这样得到新的几何构型。由于圆的直径的第二个端点可以线性构造，例如过 0 引入直线02的垂线和直线03的垂线，它们的交点就是点1’。这样新的几何构型完全是线性构造了。


进一步分析发现，通过将新的条件写成如下等价的线性构造序列：


2是0向1’3’引的垂足


3是0向1’2’引的垂足


1是0向2’3’引的垂足


0，1，2，3不共线


1，2，3共线


新的几何构型恰好是西摩松定理的逆定理，只不过三点组1，2，3和1’，2’，3’发生了对换。


对几何构造中的几何对象做出另外一种解释，可以将非线性问题变成线性问题，可以得到新的几何构型，可以使假设条件转移为结论，这是CGA所蕴含的强大功能之一，对几何建模和几何推理将有重要意义。


（本文获“国家基础研究发展规划项目”支持，编号2004CB318000。）


关键词: 共形几何代数 几何代数化 几何建模


几何计算 零括号代数











S1’2’3’==S123(1-)


｝


几何代数和几何计算（一）


4


｝


｝


｝


｝


01’是圆023的直径


02’是圆013的直径


03’是圆012的直径


1’是0向23引的垂足


2’是0向13引的垂足


3’是0向12引的垂足


石赫，李洪波：研究员，中国科学院数学与系统科学研究院数学机械化重点实验室，北京100080。


Shi He, Li Hongbo：Professor, Key Laboratory of Mathematics


Machanization，Chinese Academy of Science，Beijing 100080.


庞加莱模型：二维双曲空间


在欧氏平面的共形实现


西摩松定理 1’, 2’, 3’是O向三边的垂足，则此三点共线。


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• 经典力学的群论基础 -marketreflections- ♂ (4549 bytes) () 12/07/2009 postreply 15:25:32

• 王贤文 群论及物理 -marketreflections- ♂ (14002 bytes) () 12/07/2009 postreply 15:36:14

• 一个小家庭（群),女○×男=家庭背景○＋有夫之妇○＋有妇之夫 -marketreflections- ♂ (23791 bytes) () 12/07/2009 postreply 15:54:07

• 群是当今数学中的群论，它是一种抽象的乘法，主要用我们的抽象、直觉思维去理解。 -marketreflections- ♂ (819 bytes) () 12/07/2009 postreply 16:08:23

• 克莱因将群论应用于几何学 -marketreflections- ♂ (12417 bytes) () 12/07/2009 postreply 16:26:01

• 置换和旋转都是群论、几何学等数学分支中的重要概念 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/07/2009 postreply 16:29:31

• 位移矢量是粒子的新位置减去旧位置。这个矢量差，除以所经过的时间，就是粒子的平均速度。粒子的瞬时速度则是位移矢量随着时间的导数 -marketreflections- ♂ (600 bytes) () 12/07/2009 postreply 13:03:29

• 路徑長(純量):物體實際移動所經的路徑長度; 位移(向量):物體運動位置變化量 -marketreflections- ♂ (328 bytes) () 12/08/2009 postreply 08:23:46

• 若忽略空氣阻力，斜拋運動的物體飛行時：加速度為重力加速度（方向永遠向下）。 -marketreflections- ♂ (255 bytes) () 12/08/2009 postreply 08:33:47

• 匀速圆周运动加速度方向上的速度始终为零的原因 -marketreflections- ♂ (341 bytes) () 12/08/2009 postreply 08:37:24

• 加速度的方向由合外力的方向决定，而不由速度方向决定 -marketreflections- ♂ (4595 bytes) () 12/08/2009 postreply 08:49:59

• 北京四中网校 图象下的面积表示匀变直线运动物体的位移 (图) -marketreflections- ♂ (8515 bytes) () 12/08/2009 postreply 08:57:04

• 若a与v0方向相反，a取负值，物体做匀减速直线运动。 (图) -marketreflections- ♂ (869 bytes) () 12/08/2009 postreply 09:01:58

• 科氏力 球从圆心开始向外移动 从外面的参照系看球应该走直线 坐在圆盘上看，球就在不断往一个方向弯了 -marketreflections- ♂ (780 bytes) () 12/08/2009 postreply 09:13:34

• 牛顿第二运动定律:加速度的方向跟"合:外力的方向相同 -marketreflections- ♂ (4445 bytes) () 12/08/2009 postreply 09:31:53

• 即动量对时间的一阶导数等于外力之和: 要分析各种外力，分力，张量，张向各方向 -marketreflections- ♂ (119 bytes) () 12/08/2009 postreply 09:37:05

• 测其质量的物体放在一架天平上:地球和被测物体相互吸引 -marketreflections- ♂ (8368 bytes) () 12/08/2009 postreply 09:53:03

• 惯性质量等于引力质量:“瘦死的骆驼比马大” -marketreflections- ♂ (1042 bytes) () 12/08/2009 postreply 09:59:30

• 引力场 任一物体在空间任一点的引力影响用一个表示该点引力‘强度’的数来代表的一种观念 -marketreflections- ♂ (794 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:08:52

• 太阳系的暗能量和太阳系物质运动的总动能是相等的:平衡状态,太阳系的暗能量将全部转化为太阳和行星运动的动能 -marketreflections- ♂ (858 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:12:31

• 太阳系的运动是由暗能量来推动的:能量守恒与运动，暗能量类似势能，对立统一，否则就是彻底的虚无缥缈 -marketreflections- ♂ (919 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:15:31

• 引力场方程 引力场中的引力与物体的质量无关 因为引力场不是由这个物体产生的 -marketreflections- ♂ (1530 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:18:21

• A点处的引力值是不变的。A点处的引力并不因为物体的不存在而消失 -marketreflections- ♂ (720 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:20:10

• 物体的重力是引力场中的引力和物体的质量共同作用的产物,天高皇帝远，场的阶级性 -marketreflections- ♂ (816 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:25:40

• 广相：运动，事件，因果关系是清楚的,量子力学，测不准了，只能是概率估计 -marketreflections- ♂ (48 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:37:18

• 非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度（乘法）的集合 -marketreflections- ♂ (1525 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:40:08

• 国度（乘法）的集合,子民们都是有组织的，群论，有机结构，对称，守恒，等 -marketreflections- ♂ (14264 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:43:54

• 尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订; 地头蛇之度量时间标准之兑换率,联络 -marketreflections- ♂ (292 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:45:27

• inside 国度:欧空间,惯性系，天不变，道不变，线性系 -marketreflections- ♂ (66 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:49:05

• 玩数学——闲论Atiyah-Singer指标定理 -marketreflections- ♂ (21294 bytes) () 12/08/2009 postreply 10:53:16

• 闲论Atiyah-Singer指标定理 （1-6） -marketreflections- ♂ (392 bytes) () 12/08/2009 postreply 11:01:36

• 闲论Atiyah-Singer指标定理（4） (图) -marketreflections- ♂ (10185 bytes) () 12/08/2009 postreply 11:10:09

• 这个有趣的系列来自 xys科技论坛，由polik写于2008/02 -marketreflections- ♂ (50 bytes) () 12/08/2009 postreply 13:24:28

• 相对论通俗演义zt -marketreflections- ♂ (52 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:06:07

• 凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，我们有不同的物理 -marketreflections- ♂ (310 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:14:11

• 椭圆的定义-数学-动感课堂-动感校园-洪恩在线 -marketreflections- ♂ (922 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:25:02

• 只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的 -marketreflections- ♂ (456 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:28:13

• 波普尔的科学哲学 -marketreflections- ♂ (29096 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:35:54

• 第一个思想实验是用来说明自由落体运动的 -marketreflections- ♂ (91180 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:43:34

• 抛物线 运动轨道与质量没有关系，它好象是一个内禀的几何效应 -marketreflections- ♂ (650 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:45:49

• 股票都是这样，牛熊对立统一运动，内在的内禀的几何效应 -marketreflections- ♂ (52 bytes) () 12/08/2009 postreply 15:48:17

• 事物具体发展过程是：一开始矛盾还潜在着，概念还处于自身同一的肯定状态，这是“正”；由于其内部包含着自己的对立面，因而发生对前一段 -marketreflections- ♂ (9460 bytes) () 12/09/2009 postreply 08:00:44

• 晓芒教授 黑格尔辩证法 努斯 逻各斯 黑的和不黑的 矛盾就是要符合排中律 -marketreflections- ♂ (21410 bytes) () 12/09/2009 postreply 08:22:48

• 黑的和不黑的 组成一个场，加起来能量守恒； -marketreflections- ♂ (150 bytes) () 12/09/2009 postreply 08:29:20

• 伽利略 做初速度为零的匀变速运动的物体通过的位移与所用时间的平方成正比 -marketreflections- ♂ (5072 bytes) () 12/09/2009 postreply 08:55:12

• 匀变速运动的本质特点是加速度为一恒矢量，大小方向均不变 -marketreflections- ♂ (197 bytes) () 12/09/2009 postreply 09:05:09

• 匀速圆周运动的物体是非惯性系（以圆心或通常大家规定的惯性系来说），因为其有向心加速度。 -marketreflections- ♂ (153 bytes) () 12/09/2009 postreply 09:09:58

• 物体的加速度跟它所受的力也不在是正比关系，要想这些成立，我们在这样的参考系力需要人为的引入一种新的力 -marketreflections- ♂ (494 bytes) () 12/09/2009 postreply 09:17:08

• 第二章质点动力学 -marketreflections- ♂ (47464 bytes) () 12/09/2009 postreply 09:36:28

• 运动的相对性Relativity 伽利略变换则可以说是刻画了经典时空观念的核心 -marketreflections- ♂ (294 bytes) () 12/09/2009 postreply 10:29:26

• 回复：伽利略 做初速度为零的匀变速运动的物体通过的位移与所用时间的平方成正比 -marketreflections- ♂ (8663 bytes) () 12/09/2009 postreply 10:31:31

• 可以认为各部分受到的重力作用都集中于一点，这个点就是重力的作用点，叫做物体的重心 -marketreflections- ♂ (195 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:12:39

• 自由落体运动 在相等时间间隔里竖直位移越来越大 加速运动 (图) -marketreflections- ♂ (3842 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:25:41

• 为什么物体自由下落时做加速运动？ 因为物体在下落时只受到重力作用 物体的所受合外力为F=mg -marketreflections- ♂ (309 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:32:52

• 引力常量为G,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g, -marketreflections- ♂ (239 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:39:18

• 场源，场半径，影响基本线性，保守场，惯性系 -marketreflections- ♂ (102 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:44:56

• 保守力场是环境不参加作用的 而非保守力场是环境参加了作用 -marketreflections- ♂ (7693 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:51:15

• 【在线读书】《相对论》全彩色高清读本 -marketreflections- ♂ (115 bytes) () 12/09/2009 postreply 15:55:58

• 股市表面上在方向和距离两方面随机，但二者概率分布有一定联系，量子力学 -marketreflections- ♂ (438 bytes) () 12/09/2009 postreply 16:04:18

• 我试着跟大家讲讲量子力学 -marketreflections- ♂ (8724 bytes) () 12/10/2009 postreply 08:18:16

• 正向求解 -marketreflections- ♂ (256 bytes) () 12/10/2009 postreply 14:28:45

• 逆向思维在物理教学中的应用 -marketreflections- ♂ (4022 bytes) () 12/10/2009 postreply 14:38:49

• 测不准原理对测量精度的限制就在于两者的概率分布上有一个确定的关系 -marketreflections- ♂ (5661 bytes) () 12/10/2009 postreply 17:15:28

• 奈特不确定性角度 如果做市商与投资者都表现出乐观情绪（悲观情绪），股市就会出现动量现象。? -marketreflections- ♂ (15474 bytes) () 12/10/2009 postreply 17:21:43

• 测量中波函数 从的是宏观经典概率的演化规律，没有相干性（混合态）,是决定论的 -marketreflections- ♂ (4048 bytes) () 12/10/2009 postreply 17:37:54

• 退相干，开市以后 -marketreflections- ♂ (747 bytes) () 12/10/2009 postreply 17:40:53

• today's lousy 30-year auction (图) -marketreflections- ♂ (754 bytes) () 12/10/2009 postreply 20:30:55

• 8710;x和8710;p乃是统计学上的“方差”，测不准原理则表明它们之间有一定的统计学的离散关系 -marketreflections- ♂ (19735 bytes) () 12/10/2009 postreply 17:46:02

• 电子在三维空间中位于“这儿”，于是我们就立即在希尔伯特空间中发现了一个叫做“这儿”的矢量 -marketreflections- ♂ (531 bytes) () 12/10/2009 postreply 20:51:20

• 量子力学网上教学 -marketreflections- ♂ (48 bytes) () 12/11/2009 postreply 07:23:44

• 量子力学中最重要的理论基础 -marketreflections- ♂ (29557 bytes) () 12/10/2009 postreply 20:56:52

• 我试着跟大家讲讲量子力学 要点 -marketreflections- ♂ (3937 bytes) () 12/10/2009 postreply 08:22:49

• 在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数 和 的内积 -marketreflections- ♂ (4082 bytes) () 12/10/2009 postreply 08:38:21

• 德布罗意 相干波 -marketreflections- ♂ (11084 bytes) () 12/10/2009 postreply 08:51:14

• 第一章思考题 -marketreflections- ♂ (3194 bytes) () 12/10/2009 postreply 08:53:00

• 第三章思考题 -marketreflections- ♂ (5567 bytes) () 12/10/2009 postreply 08:54:27

• 第二章思考题 -marketreflections- ♂ (8144 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:01:11

• 量子力学中有两个最基本 哈密顿量 基本算符间的对易关系 -marketreflections- ♂ (1118 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:13:50

• 完全确定一个体系的状态需要一组彼此对易的力学量，这些力学量称为力学量完全系，若其中一个是哈密顿量，则称为守恒量完全集 -marketreflections- ♂ (3438 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:19:05

• 量子力学中的不确定关系则起源于物质的波粒二象性 种不确定关系通过不对易力学量的相互制约性表现出来 -marketreflections- ♂ (3905 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:26:14

• 爱因斯坦、波多尔斯基和罗森 物理现实的量子力学描述能否认为是完备的？ -marketreflections- ♂ (8556 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:42:09

• 《对易关系与对称性》 -marketreflections- ♂ (3008 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:55:14

• “半径r”正是经典质点描述与量子波动描述的分界 -marketreflections- ♂ (2334 bytes) () 12/10/2009 postreply 09:57:56

• 电子课件 "干涉相长"google.cn 波动 -marketreflections- ♂ (292 bytes) () 12/10/2009 postreply 11:29:57

• 德布罗意通过假设“与点粒子内部有一个对应振动,并利用狭义相对论络伦兹变换,推导出了一个K系沿x正方向传播的物质波表达式 -marketreflections- ♂ (3415 bytes) () 12/10/2009 postreply 11:44:48

• 股票内部阴阳对立统一，外部价格振动区域,导波 -marketreflections- ♂ (288 bytes) () 12/10/2009 postreply 11:53:46

• 德布罗意 一切宏观粒子都具有与本身能量相对应的波动 本粒子和能量子的微观状态中，是有内禀的自激荡存在方式的，也就是基本粒子内部的 -marketreflections- ♂ (431 bytes) () 12/10/2009 postreply 12:13:17

• 质点所代表的是质心，是反映物体各部分运动的共同性的点，“理想气体”反映的是物态方程的主要部分或共同部分 -marketreflections- ♂ (1107 bytes) () 12/11/2009 postreply 08:35:17

• 电磁波与光子一样，是一种真实存在的物质，是两个完全平等的物质实体 -marketreflections- ♂ (244 bytes) () 12/11/2009 postreply 08:39:23

• 李亚辉甘永超赵国求 -marketreflections- ♂ (13298 bytes) () 12/11/2009 postreply 09:15:34

• 自旋粒子是正比于角动量的内禀属性,没有经典对应 -marketreflections- ♂ (796 bytes) () 12/11/2009 postreply 09:28:34

• “道”物理学 ,§15 W波量子论势场方程 -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 12/11/2009 postreply 09:42:26

• 洛伦兹变换群线性 -marketreflections- ♂ (324 bytes) () 12/12/2009 postreply 08:35:51

• 北大 《高等代数》教学大纲 -marketreflections- ♂ (16523 bytes) () 12/12/2009 postreply 08:46:17

• 老子提示说“独立而不改，周行而不殆”，“空间即对立，时间即转化”。 (图) -marketreflections- ♂ (4688 bytes) () 12/12/2009 postreply 08:56:00

• “人的头脑预先地不知不觉地已经形成了S = Ln W 的变换，这才是人的头脑有根深蒂固的平直时空观的原因。” -marketreflections- ♂ (4318 bytes) () 12/12/2009 postreply 09:09:13

• 群是数域 上的 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，他关系，指数，自乘，自关系，阴阳对立统一发展 -marketreflections- ♂ (164 bytes) () 12/12/2009 postreply 09:22:30

• "原像单射满射双射" 北京大学高等代数讲义 -marketreflections- ♂ (2799 bytes) () 12/12/2009 postreply 09:27:41

• 几何相位与量子相变 -marketreflections- ♂ (3255 bytes) () 12/13/2009 postreply 08:44:03

• 后者的频率、振幅与前者相同，只是相位有所滞后。这正是电磁波在空间进行传播 -marketreflections- ♂ (46032 bytes) () 12/13/2009 postreply 09:33:07

• 规范变换本是相位变换，其目的就是通过内部相位变换而在外部谋求一个惯性参照系，以保方程形式不变 -marketreflections- ♂ (8689 bytes) () 12/13/2009 postreply 09:45:19

• 常称频率相同，振动方向几乎相同并在观察期间内两振动的位相差保持不变的两个振动是相干的.还要求两列波振幅相差不大，光程差不超过相干 -marketreflections- ♂ (336 bytes) () 12/13/2009 postreply 17:18:18

• 任何一定频率的光波都包含着振幅（A）和位相两大信息 (图) -marketreflections- ♂ (804 bytes) () 12/13/2009 postreply 17:25:15

• 原子辐射的随机性与自然光的描述 -marketreflections- ♂ (2790 bytes) () 12/13/2009 postreply 20:13:47

• 基本趋势性成分、周期性成分和随机振荡成分组成 -marketreflections- ♂ (142 bytes) () 12/14/2009 postreply 07:12:44

• 自然光原子发光有间隙性，人眼感觉到的是大于这个间隔时间的E矢量的平均值 -marketreflections- ♂ (4430 bytes) () 12/13/2009 postreply 20:20:43

• 自然光沿某一方向传播时，任何时刻E矢量都在垂直传播方向的平面上沿各个方向均匀分布，无哪一方向呈优势，故E矢量与传播方向构成的振动 -marketreflections- ♂ (460 bytes) () 12/13/2009 postreply 20:47:52

• 真空中的光速 ... 历的时间是很短的 -marketreflections- ♂ (678 bytes) () 12/13/2009 postreply 21:27:55

• [PPT] 光的分波振面干涉 -marketreflections- ♂ (645 bytes) () 12/13/2009 postreply 21:35:58

• 驻波相干波 -marketreflections- ♂ (3479 bytes) () 12/13/2009 postreply 21:46:49

• 真空：光持续时间间隔短于人类识别能力，时间趋于零，有能量运动，速度无限大，因此能量无限大 -marketreflections- ♂ (154 bytes) () 12/13/2009 postreply 21:51:19

• 光，能量，没有静止质量，不能用牛顿的力对他作用，比如加数，股票的见低和见顶时的不动，欧空间不动，虚空间开始动了 -marketreflections- ♂ (4632 bytes) () 12/14/2009 postreply 08:10:31

• 粒子的空间连续性，发现了无法精确确定其空间的位置,无限大域函数不可积， 形成不了一个牛顿逻辑量 -marketreflections- ♂ (5074 bytes) () 12/14/2009 postreply 08:20:44

• 麦克斯韦方程组 旋量场与无旋场 纯旋量场(即波) -marketreflections- ♂ (3040 bytes) () 12/14/2009 postreply 08:28:20

• 现有的数学只能解决标量算子的问题。整个经典电磁场理论实际上只是关于标量波动方程问题的求解方法 -marketreflections- ♂ (1817 bytes) () 12/14/2009 postreply 08:35:09

• 宋文淼 1938年5月生于浙江省宁波市 -marketreflections- ♂ (7019 bytes) () 12/14/2009 postreply 08:45:39

• 光速只用标量c而不用c向量 -marketreflections- ♂ (1512 bytes) () 12/14/2009 postreply 08:49:59

• 长波以及波长更长的无线电波，当它们的辐射源处于地与低电离层之间时，辐射的电磁波能量，基本上限制在地--电离层波导中传播，能以较小 -marketreflections- ♂ (10579 bytes) () 12/14/2009 postreply 09:05:59

• 麦克斯韦方程, best illustrations -marketreflections- ♂ (319 bytes) () 12/14/2009 postreply 09:27:27

• 回复：如果他能骑在波峰上以波速前进，为什么他看到的不是一个空间起伏着而不随时间变化的振荡呢 -marketreflections- ♂ (1006 bytes) () 12/14/2009 postreply 09:34:58

• 20世纪的工程和技术科学的巨大发展大都是在这两个理论的指引下取得的 -marketreflections- ♂ (227 bytes) () 12/14/2009 postreply 09:43:34

• 本来波速就是空间各个位置不同的，而又不能与欧氏空间上的位置直接相联系的一个特殊的物理量 -marketreflections- ♂ (566 bytes) () 12/14/2009 postreply 09:55:58

• 有人特别强调相位传播速度与能量传播速度 -marketreflections- ♂ (646 bytes) () 12/14/2009 postreply 10:00:59

• 219.229.249.7/kj/daxuewuli/刘凤英教案/.../第2章波动1（谐波波函数）.ppt -marketreflections- ♂ (1216 bytes) () 12/14/2009 postreply 10:12:34

• 物理科学类课件汇总 -marketreflections- ♂ (52 bytes) () 12/14/2009 postreply 10:17:13

• 波导中波速超过了 c，它的质量 m成了虚数 -marketreflections- ♂ (432 bytes) () 12/14/2009 postreply 10:19:24

• 如出现了与速度有关的而垂直于速度方向的回旋着的力，这时质量在形式上也就与速度有关了 -marketreflections- ♂ (8906 bytes) () 12/14/2009 postreply 10:35:56

• 气压梯度本质上就是使空气由高压区向低压区流动的作用力 -marketreflections- ♂ (17 bytes) () 12/14/2009 postreply 11:18:41

• 引力论普遍公式 积分与物体形状无关，这个定律就是，引力正比于距离 (图) -marketreflections- ♂ (4199 bytes) () 12/14/2009 postreply 11:41:23

• 牛顿引力场是可积的，它存在一个势函数 -marketreflections- ♂ (5208 bytes) () 12/14/2009 postreply 11:48:32

• 物质总应该存在于一定的范围，即局域分布，在某一范围内有一个密度分布,奇异函数 -marketreflections- ♂ (1760 bytes) () 12/15/2009 postreply 08:28:39

• 一进入这一范围之内，粒子之间就会发生相互作用，不仅会发生形变，产生电磁力，还可能产生更复杂的物质运动形式 -marketreflections- ♂ (5389 bytes) () 12/15/2009 postreply 08:37:26

• 这些组成太阳和地球的粒子都是均匀地中心对称分布的,静态正态分布! -marketreflections- ♂ (7208 bytes) () 12/15/2009 postreply 08:47:32

• 电磁场是光子群，光子的带电量为0，所以，光子群不能直接产生电磁或磁场，也不能反过来受它们影响 -marketreflections- ♂ (17293 bytes) () 12/15/2009 postreply 08:59:50

• 麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式, best of the best -marketreflections- ♂ (56 bytes) () 12/15/2009 postreply 09:10:32

• 以电荷守恒定律、库仑定律、安培定律、毕奥一萨伐尔定律和法拉第定律为主要实验基础的麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式,集中地反映了电磁相 -marketreflections- ♂ (9689 bytes) () 12/15/2009 postreply 09:31:48

• 宏观系统冲击过程 物质的破裂和非线性形变所产生的电磁波和线性形变所产生的力学波，他们总是不可分离地同时出现 -marketreflections- ♂ (16098 bytes) () 12/15/2009 postreply 09:21:47

• 势函数 C-空间 -marketreflections- ♂ (7344 bytes) () 12/15/2009 postreply 09:37:20

• 场论.ppt, 1 of the best -marketreflections- ♂ (334 bytes) () 12/15/2009 postreply 09:47:57

• 目录 -marketreflections- ♂ (980 bytes) () 12/15/2009 postreply 09:50:22

• 数学物理方法 -marketreflections- ♂ (419 bytes) () 12/15/2009 postreply 10:47:13

• 股票价格短期内是波，能量，长期是质量 -marketreflections- ♂ (111 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:06:39

• 随着转动动量逐渐传递给桶里的水，水面开始下凹 -marketreflections- ♂ (1726 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:03:19

• 对一个确定形状和密度分布的物体，实际上只能对均匀的引力才能够计算出它的质心 -marketreflections- ♂ (19955 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:24:21

• 任何一种真实物质的运动形式都不可能在一个瞬时 t上得到完整的描述，而只能在包含瞬时t的一个时间间隔 dt内才能够获得关于物质运动 -marketreflections- ♂ (1608 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:26:45

• 对实物的作用一般用力来表示，一般说来它的最主要的作用是来自同类实物的背景场，这类场所产生的力是无旋场力，也就是类似于牛顿理论中的 -marketreflections- ♂ (14297 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:42:01

• 新繁星客栈 » 观星楼 » （YC）引力场与电磁场之间的两种类比 -marketreflections- ♂ (58 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:47:47

• 引力场的范围没有给出最小值的限制而产生无限小的奇点 -marketreflections- ♂ (5728 bytes) () 12/15/2009 postreply 11:54:55

• 爱因斯坦引力场方程，加速膨胀的现象推论出宇宙中存在着压强为负的"暗能量"。 -marketreflections- ♂ (396 bytes) () 12/15/2009 postreply 12:05:55

• 林海兵 矢量和 物体存在与运动的环境并不单一的不平衡环境，而是由多个或者多种不平衡复合而成的复杂环境 -marketreflections- ♂ (602 bytes) () 12/16/2009 postreply 06:39:39

• 环境，系统，能量对物体的作用，一部分是通过物体之间的互作用实现的 (图) -marketreflections- ♂ (22010 bytes) () 12/16/2009 postreply 11:19:03

• 林海兵牛顿第三定律 ：①物体的直接接触而形成的力，②具有几乎对称性质的场力 -marketreflections- ♂ (8006 bytes) () 12/16/2009 postreply 06:43:16

• 每一个物质只用两个物理参数来表示 (Mi,R i),这里 ,i 表示物体的编号，M和R 分别表示质量和质心的坐标 -marketreflections- ♂ (969 bytes) () 12/16/2009 postreply 07:23:38

• 在气体分子的碰撞过程中总有辐射产生，这种辐射可以通过真空传播出去。虽然也许仪器还测量不出这种辐射，但是所有人都知道我们不可能制造 -marketreflections- ♂ (20387 bytes) () 12/16/2009 postreply 08:22:19

• “热质”， 物质的结构中一定要有一种排斥的力 -marketreflections- ♂ (686 bytes) () 12/16/2009 postreply 08:31:48

• 数学研究能量，必须是连续的，物理研究的是场，物体，必须有空间和时间上的分布， -marketreflections- ♂ (114 bytes) () 12/16/2009 postreply 07:51:59

• 在碰撞以后即将分离的一刻两个小球的速度 v­­­­­­­­&sh -marketreflections- ♂ (20560 bytes) () 12/16/2009 postreply 08:11:20

• 从物理上看，任何均匀性也都是相对的而不是绝对的。均匀性是为了可运算性而抽象出来的 -marketreflections- ♂ (13189 bytes) () 12/16/2009 postreply 08:52:07

• 只有这种无限地进行均匀分隔的概念，才可能产生可运算性的同时，产生连续的概念。无限本身是一个没有确定性的概念，所以不能作为逻辑概念 -marketreflections- ♂ (26 bytes) () 12/16/2009 postreply 09:45:05

• 时间表示更多地是在复数空间，看不见的地方 -marketreflections- ♂ (1704 bytes) () 12/16/2009 postreply 10:09:52

• 时间与能量关系更多，空间与物体关系更多 (图) -marketreflections- ♂ (15963 bytes) () 12/16/2009 postreply 10:21:06

• “距离”则是整个逻辑体系的核心, 时间? -marketreflections- ♂ (1324 bytes) () 12/16/2009 postreply 11:25:36

• 把电磁波从牛顿的保守力系统的质量的逻辑基元中独立出来 -marketreflections- ♂ (1238 bytes) () 12/16/2009 postreply 11:35:23

• 费曼物理学讲义 -marketreflections- ♂ (3454 bytes) () 12/17/2009 postreply 11:13:27

• 嘉应学院物理系教案 one of the best -marketreflections- ♂ (592 bytes) () 12/17/2009 postreply 11:18:37

• 股道先鋒：關於權證操作的動能和勢能 -marketreflections- ♂ (3071 bytes) () 12/17/2009 postreply 11:59:38

• 大学物理 总复习.ppt -marketreflections- ♂ (323 bytes) () 12/17/2009 postreply 16:13:05

• 武汉工业学院工商学院物理教研室 -marketreflections- ♂ (50 bytes) () 12/17/2009 postreply 16:48:38

• 物理模型的分类管窥物理模型的思维方法 -marketreflections- ♂ (8214 bytes) () 12/17/2009 postreply 16:50:36

• 保守力：此力作用在一物體上，使此物體經往返運動，從出發點再回到出發點，動能沒任何改變，而且此力在往返運動過程中，所做的功為０ -marketreflections- ♂ (855 bytes) () 12/17/2009 postreply 16:54:18

• "保守力物體往返運動" google.cn -marketreflections- ♂ (2935 bytes) () 12/17/2009 postreply 16:59:57

• 非弹性碰撞是碰撞后整个系统的部分动能转换成至少其中一碰撞物的内能，使整个系统的动能无法守恒 -marketreflections- ♂ (775 bytes) () 12/17/2009 postreply 18:03:06

• 非弹性碰撞是碰撞后整个系统的部分动能转换成至少其中一碰撞物的内能，使整个系统的动能无法守恒 -marketreflections- ♂ (554 bytes) () 12/17/2009 postreply 19:12:10

• 高中物理演示实验大全 -marketreflections- ♂ (87 bytes) () 12/17/2009 postreply 19:30:52

• 动量具有一个特殊属性：只要是在一个封闭系统中，它总会保持恒定，即使是物体碰撞发生时。而对动能而言，非弹性碰撞的物体的动能将不会守 -marketreflections- ♂ (5573 bytes) () 12/17/2009 postreply 19:57:14

• 动力学有5个重要规律：牛顿定律；动量定理；动能定理；动量守恒定律：机械能守恒定律 -marketreflections- ♂ (6196 bytes) () 12/17/2009 postreply 20:06:48

• 非保守力及外力都不作功，则该物体系的动能与各种势能 的总和保持不变。 -marketreflections- ♂ (2860 bytes) () 12/17/2009 postreply 20:23:09

• 从十个方面理解重力 -marketreflections- ♂ (9065 bytes) () 12/17/2009 postreply 20:59:19

• 牛顿 万有引力 -marketreflections- ♂ (15189 bytes) () 12/17/2009 postreply 21:01:59

• "均匀中心对称分布牛顿" -marketreflections- ♂ (4630 bytes) () 12/17/2009 postreply 21:04:31

• 谐振子：振动频率由系统自身性质决定的振动 -marketreflections- ♂ (4753 bytes) () 12/18/2009 postreply 09:44:10

• 信号波形本身包含的相位信息,相位包含速度,相位包含速度，或着频率 -marketreflections- ♂ (101 bytes) () 12/18/2009 postreply 09:55:00

• 振动的本质是相位传播，能量传播 -marketreflections- ♂ (96 bytes) () 12/18/2009 postreply 10:27:34

• 在线学习 > 网络课件 光学 -marketreflections- ♂ (51 bytes) () 12/18/2009 postreply 10:31:35

• 在波导中，相速度往往比群速度要大 电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度”，虽然 -marketreflections- ♂ (3985 bytes) () 12/18/2009 postreply 10:39:17

• 受扰动物理量变化时具有时间周期性，即同一点的物理量在经过一个周期后完全恢复为原来的值；在空间传递时又具有空间周期性，即沿波的传播 -marketreflections- ♂ (22860 bytes) () 12/18/2009 postreply 10:46:08

• 噪声干扰　一种频率、幅度和相位随机变化的电子干扰 -marketreflections- ♂ (1526 bytes) () 12/18/2009 postreply 11:21:54

• 相位的随机起伏必然引起频率随机起伏，这种起伏速度较快 -marketreflections- ♂ (278 bytes) () 12/18/2009 postreply 11:26:50

• 一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波 -marketreflections- ♂ (212 bytes) () 12/18/2009 postreply 11:29:40

• 高频窄带噪声 n ( t ) 与其两个低频正交分量 x ( t ) 、y ( t ) -marketreflections- ♂ (277 bytes) () 12/18/2009 postreply 11:36:18

• 光的速度快、頻寬大的特性使其成為極佳的訊息傳遞者 利用光子來傳送波函數 -marketreflections- ♂ (559 bytes) () 12/18/2009 postreply 12:39:42

• "光子數擾動（即不準度）與相位擾動是量子的本質" -marketreflections- ♂ (48 bytes) () 12/18/2009 postreply 12:43:19

• 完全定义相位噪声的两个参数是幅度和频率 -marketreflections- ♂ (256 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:05:20

• 相位瞬态是指相位相对于其理想位置的突然移动 -marketreflections- ♂ (71 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:07:56

• 玩玩色谱 从能量上来说 日光本身就是混的，所以才有衍射后的七彩现象 -marketreflections- ♂ (432 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:12:18

• 价格脉冲密集度，频率，振幅，相为以及他们的谱 -marketreflections- ♂ (124 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:16:53

• 通照相是只记录光的颜色和位置，全息照相除了这些信息，还记录光的相位等光的所有信息，就是全部信息，称为全息。全息照相的优点是可以还 -marketreflections- ♂ (6703 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:47:05

• 量子物理学观察到的激光与自然光相比，具有方向性、单色性和相干性好而亮度极强等特点 -marketreflections- ♂ (164 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:48:20

• 牛顿于1666年 三棱镜，你会发现这束光通过棱镜后，向镜底曲折成一个角度，并在墙上显出一条绚丽无比的七色光带 -marketreflections- ♂ (1601 bytes) () 12/18/2009 postreply 13:53:43

• 先定义场，再定义场里的各种度规，面，直线，点，点和点之间的排列规则，距离，等； -marketreflections- ♂ (244 bytes) () 12/18/2009 postreply 16:56:37

• 黎曼空间 必须与一个点(球心)联系在一起。没有了这个球心，黎曼空间就失去了依据 -marketreflections- ♂ (5709 bytes) () 12/18/2009 postreply 17:04:11

• “线”就是“按规则排列”的“点”，面是由线按规则组成的面，等 -marketreflections- ♂ (5457 bytes) () 12/18/2009 postreply 17:08:17

• 非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度 -marketreflections- ♂ (800 bytes) () 12/18/2009 postreply 17:13:03

• 等效原理与广义相对性原理 -marketreflections- ♂ (1443 bytes) () 12/19/2009 postreply 16:31:54

• real breakout:电磁学中,已知电流方向和磁感线方向,求受力方向,就要用到叉乘 -marketreflections- ♂ (845 bytes) () 12/18/2009 postreply 17:40:27

• 牛顿的数学分析是对于时域的微积分，这种数学方法，或者在牛顿理论基础上扩大到空间域的偏微分方程理论 -marketreflections- ♂ (10273 bytes) () 12/19/2009 postreply 07:15:18

• 牛顿数学的本质来说，牛顿的数学分析是对于时域的微积分，这种数学方法，或者在牛顿理论基础上扩大到空间域的偏微分方程理论 -marketreflections- ♂ (118 bytes) () 12/25/2009 postreply 10:00:55

• 能量有一天和质量成为独立的基本物理量，这个问题才能够讲清楚。太阳光是纯粹的能量(没有质量的能量，或熵为0的能量状态 -marketreflections- ♂ (1335 bytes) () 12/25/2009 postreply 17:01:50

• 绝对零度时，一切熵为0，所有分子都不运动,绝对零度时，一切熵为0，所有分子都不运动 -marketreflections- ♂ (222 bytes) () 12/25/2009 postreply 17:16:41

• 非牛顿力,“非质量力”。 -marketreflections- ♂ (12610 bytes) () 12/25/2009 postreply 17:24:56

• 相对平直时空，几何形变是“储能”的过程 -marketreflections- ♂ (233 bytes) () 12/25/2009 postreply 18:18:12

• 邓联文 质能关系将物理学中原来不相干的质量守恒和能量守恒统一起来。在通常的反应中，系统释放出能量，系统内部的质量减小，减小的量是 -marketreflections- ♂ (9544 bytes) () 12/25/2009 postreply 17:41:31

• 物理系统其全部性质由其拉氏量ψ完全决定 -marketreflections- ♂ (12597 bytes) () 12/25/2009 postreply 17:49:14

• 实物的动力学变量只是时间的函数,场的动力学变量是空间和时间的函数 -marketreflections- ♂ (733 bytes) () 12/25/2009 postreply 18:22:44

• 李学生 用波函数表示原子的态就意味着，在原子的态中，空间的线性关系和时间的因果关系之间是由一种密切的关系的，说明它们具有等价性的 -marketreflections- ♂ (15219 bytes) () 12/25/2009 postreply 18:31:02

• “核函数”:保守场与粒子在空间是不可分割的联系在一起；保守场和粒子是实体物质的共同的组成部分，它们分布于全空间，一起运动。 -marketreflections- ♂ (15660 bytes) () 12/27/2009 postreply 07:59:04

• 王贤文 易经与物理终极设计及非阿贝尔群SO（10）简谈 -marketreflections- ♂ (29985 bytes) () 12/28/2009 postreply 07:38:33

• 场就是经典函数的绝对可积的保守的空间分布，实物的质量就是那个保守的函数在奇点上的积分值 -marketreflections- ♂ (5977 bytes) () 12/28/2009 postreply 07:57:15

• 慣性系拖曳是渦旋力[切向]，空間力是由萬有引力[保守場]和渦旋力[渦旋場]組成的完整力場 -marketreflections- ♂ (349 bytes) () 12/28/2009 postreply 11:08:37

• 场与波 单独的实物粒子在保守场的相互作用下，只会产生碰撞而不会产生同一空间位置上的“物质数量”的叠加，所以不会产生很典型的干涉现 -marketreflections- ♂ (1991 bytes) () 12/28/2009 postreply 11:12:25

• 保守场的相互作用实际上就是两个实物的场接触过程中由于力的抵消，而造成的场能转换成实物运动的过程 -marketreflections- ♂ (2230 bytes) () 12/28/2009 postreply 11:40:08

• 电磁场的格林函数 理想导体也只是一种假定，它对于像微波或更长波长的电磁波是比较合理的，而对于像光那样的短波长则没有实际的意义 -marketreflections- ♂ (19253 bytes) () 12/28/2009 postreply 17:15:58

• 作用力遵从叠加原理，场强遵从叠加原理，电势也遵从叠加原理，那场的能量却不遵从叠加原理 -marketreflections- ♂ (2963 bytes) () 12/28/2009 postreply 17:42:19

• 简谐振动的能量(识记)这里主要应记住的是简谐振动的动能、势能、及总能量的特点：就是动能Ek与势能Ep都随时间而变，但是总能量是不 -marketreflections- ♂ (7048 bytes) () 12/28/2009 postreply 17:47:09

• "“保守场辐射场” -marketreflections- ♂ (164 bytes) () 12/28/2009 postreply 17:52:38

• 保守场”与“辐射场”相分离, 光子的物理内涵中总是离不开电磁波的激励过程 -marketreflections- ♂ (11498 bytes) () 12/28/2009 postreply 18:05:28

• 平面解析几何中通过点到数对的一一映射将几何问题化成代数问题解决，通过“取对数”的—一映射将数的乘除运算转化为加减运算 -marketreflections- ♂ (3964 bytes) () 12/29/2009 postreply 10:53:15

• 从经典物理的统计来说，最根本的就是温度与牛顿的质量和速度的关系。 -marketreflections- ♂ (2074 bytes) () 12/29/2009 postreply 12:48:58

• 电磁波是不满空间的，它空间结构受到环境的约束，这种约束当然是来自空间的约束，所以从根本上来说一定会有三个“量子数”。三个模数并不 -marketreflections- ♂ (19877 bytes) () 12/29/2009 postreply 14:06:06

• 电子本身与波函数和量子数是没有直接的联系的。电子必须通过它运动过程中的电流与电磁波的相互作用才能够与波函数与量子数建立合理的关系 -marketreflections- ♂ (1127 bytes) () 12/29/2009 postreply 14:10:48

• 红移 对于机械波，由于阻尼的存在，机械波的频率会随之减小，波长增大。 -marketreflections- ♂ (1205 bytes) () 12/29/2009 postreply 19:50:05

• 电磁频谱中的“贫富差距” (图) -marketreflections- ♂ (163 bytes) () 12/30/2009 postreply 07:43:02

• 紫色波长最短，频率最高。红色相反 一些物体在飞速靠近我们时，就会发生所谓的紫移 在飞速远离我们时就会红移 -marketreflections- ♂ (625 bytes) () 12/29/2009 postreply 19:53:02

• 简振模型:空间是一条连续的线，时间转化为频率上的“点”。 -marketreflections- ♂ (5799 bytes) () 12/29/2009 postreply 20:12:53

• 在思维理念上现在也还没有建立起合理的能够同时描述时间和空间上连续分布的那样物理实在的理念。这就是爱因斯坦所说的“时空连续区”上描 -marketreflections- ♂ (12366 bytes) () 12/29/2009 postreply 20:21:47

• 在相干电磁波的作用下，电子的速度和电磁波的强度和持续加速的时间都有关系，也就没有了电子速度与电磁波频率间的爱因斯坦关系 -marketreflections- ♂ (10116 bytes) () 12/29/2009 postreply 20:32:24

• 在非相干波中所体现的单光子现象是无法用实验或理论来明确表达的，即所有表达的所谓单光子性质的实验中,所得到的仍是一个集体的现象 -marketreflections- ♂ (11290 bytes) () 12/29/2009 postreply 20:51:35

• 爱因斯坦所指的场被称为“旋量场(或波)”，它是非保守的场，也就是能量。而爱因斯坦所指的实物被称为“无旋场”，或实物的背景场(这是 -marketreflections- ♂ (9270 bytes) () 12/29/2009 postreply 20:57:24

• 相对论探讨的主要是麦克斯韦方程组为基础的电磁波和电子流的相互作用现象， -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/29/2009 postreply 20:58:22

• 李学生 电磁质量的量子分布 -marketreflections- ♂ (14292 bytes) () 12/30/2009 postreply 08:01:08

• 李学生 波动方程与能流密度方程w=ρΑ²ω²Sin²ω(t-ι/υ)，其中ρ为质量密度，Α为振动幅 -marketreflections- ♂ (4993 bytes) () 12/30/2009 postreply 08:13:03

• 库伦 两端若受水平方向之微力，则以的绳索之扭曲以平衡之。(torsion balance) -marketreflections- ♂ (7805 bytes) () 12/30/2009 postreply 08:44:05

• 位移电流变成电荷电流时（实则是电荷被连续加速、或加速与减速交替，是变化的电流），这种变化电流产生的场在阻碍引起位移电流的“源”的 -marketreflections- ♂ (1300 bytes) () 12/30/2009 postreply 08:47:25

• 位移电流是指电位移通量随时间的变化率，而传导电流是自由电荷的定向运动所形成的。因此，位移电流不存在实物的迁移。例如，在真空中电场 -marketreflections- ♂ (272 bytes) () 12/30/2009 postreply 08:52:36

• 通过了数学（主要是「向量」），麦克斯威写下了著名的「麦克斯威方程式」，不但完整而精确地描述了所有的已知电磁场之现象，而且有新的「 -marketreflections- ♂ (8481 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:07:29

• 一个几何形状和大小可以不计的带电体叫点电荷,点电荷是理想模型. 中南民族大学电信学院大学物理教研室 (图) -marketreflections- ♂ (6764 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:10:36

• 在弹性范围内，金属丝产生的扭力矩与它的扭角和直径四次方的乘积成正比、与金属丝的长度成反比 -marketreflections- ♂ (1576 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:13:41

• 点电荷系电场中任一场点处的总场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和——场强叠加原理. (图) -marketreflections- ♂ (221 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:19:30

• 在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电场线数目，等于该点场强的量值 (图) -marketreflections- ♂ (841 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:21:54

• 高斯定理 由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零 -marketreflections- ♂ (1382 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:26:13

• 静电场中,电场强度E沿任意闭合路径的线积分为零,E沿任意闭合路径的线积分又叫E的环流,这叫做静电场的环路定理 (图) -marketreflections- ♂ (1978 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:33:45

• 保守场 中央和地方的差别是绝对的，与具体那一省无关 -marketreflections- ♂ (445 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:41:58

• 牛顿理论是属于中性物质的宏观层次，它是没有结构的；麦克斯韦的电磁场理论描述的是物质结构中的最简单的层次——由负电性的电子和正电性 -marketreflections- ♂ (1346 bytes) () 12/30/2009 postreply 10:58:49

• 陈方培的博客 由动量守恒定律推出牛顿运动第二定律和第三定律 (图) -marketreflections- ♂ (2963 bytes) () 12/31/2009 postreply 16:28:53

• 伽利略把运动也分解成两个相互独立的运动形式：水平运动和垂直运动。 -marketreflections- ♂ (1164 bytes) () 12/31/2009 postreply 16:39:06

• 在一切惯性系中，麦克斯韦方程组都相同，就必然在一切惯性系中有相同的真空中电磁波速即光速 -marketreflections- ♂ (17144 bytes) () 12/31/2009 postreply 16:50:14

• 狭义相对论的合理性就在于它考虑了两种物质运动形式：速度不变的波和速度随力而变动的粒子，所以它可以比牛顿理论更好地描述高速下波与粒 -marketreflections- ♂ (9503 bytes) () 12/30/2009 postreply 12:08:48

• 惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变, -marketreflections- ♂ (9519 bytes) () 12/30/2009 postreply 17:47:12

• 时间仍是个客观量,固有时。也就是说，无论你以什么形式运动，你都认为你喝咖啡的速度很正常，你的生活规律都没有被打乱，但别人可能看到 -marketreflections- ♂ (1508 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:38:50

• 伽利略变换式经典力学的相对性原理. 对于任何惯性参照系, 牛顿力学的规律都具有. 相同的形式 -marketreflections- ♂ (2033 bytes) () 12/31/2009 postreply 16:42:20

• 电动力学网上课堂 我们的不幸，不是因为没有眼睛，而是拥有眼睛,也常常分辨不出黑暗与光明 -marketreflections- ♂ (3253 bytes) () 12/30/2009 postreply 17:50:56

• 体力学中我们已经看到了力学家怎样通过微团模型在流体中造出微观和宏观的两重空间，实际上它的微观空间是粒子间的场的一种表示。爱因斯坦 -marketreflections- ♂ (18732 bytes) () 12/30/2009 postreply 18:11:30

• 博弈圣经:粒子行为特性复制是人在大脑中对粒子行为特性抽象复制。能量越高，连续性越强，同性频率越高，发现生物特性的机率越小 -marketreflections- ♂ (4142 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:02:12

• 1932年美国物理学家劳伦兹发明了回旋加速器能在实验室中产生大量的高能粒子。（最大动能仅取决于磁场和D形盒直径。带电粒子圆周运动 -marketreflections- ♂ (5565 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:15:23

• 考虑粒子的运动周期，关系到质量，但是因为狭义相对论，粒子高速运动时质量会显著增大，周期就变了，所以回旋加速器不能给以粒子较大的能 -marketreflections- ♂ (770 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:17:36

• 根据狭义相对论，粒子运动速度存在一上限，因此在测量前一瞬间,可推测其一定在附近 -marketreflections- ♂ (482 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:23:07

• 何祚庥 质量为零、自旋为 的相对论量子力学方程是人们熟知的麦克斯韦方程组，只不过对麦克斯韦方程做出粒子解释要费事一点。特别是在坐 -marketreflections- ♂ (5146 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:45:05

• " 相对论粒子"google.cn -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:48:51

• 劳伦斯发明的回旋加速器中电场的频率为恒值,当带电粒子速率接近于光速时,频率也和电场的频率达到了一致而不能继续增速, -marketreflections- ♂ (1699 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:26:00

• 回旋加速器的优点是使带电粒子在较小的空间受到电场的多次加速，而使粒子获得较高的能量.缺点是这种经典的加速器使粒子获得的能量不会很 -marketreflections- ♂ (4032 bytes) () 12/30/2009 postreply 20:28:18

• 高速运动粒子的速度 总能包含静能和动能二项·　由能量-动量的关系得到了de Broglie 波的理论,其中相速度仍是小于光速c -marketreflections- ♂ (9306 bytes) () 12/30/2009 postreply 19:57:19

• 金属导体放在外电场中,导体中的自由电子在作无规则热运动的同时,还将在电场力作用下作宏观定向运动,从而使导体中的电荷重新分布,在外 -marketreflections- ♂ (1045 bytes) () 12/30/2009 postreply 09:52:10