高速运动粒子的速度 总能包含静能和动能二项· 由能量-动量的关系得到了de Broglie 波的理论,其中相速度仍是小于光速c

文章编号:1000-0887(1999) 05-0499-05
粒子超非线性的总能和de Broglie 波的理论
X
杨文熊, 　杨长俊
(上海交通大学,上海200030)
(何福保推荐)
摘要: 　用Lourent 级数对高速运动粒子的速度(～c) 展开并取得总能量表达式·　总能包含静能和
动能二项·　由能量-动量的关系得到了de Broglie 波的理论,其中相速度仍是小于光速c 的结论·　
关　键　词: 　超非线性总能; 　动能; 　静能; 　动量; 　de Broglie 波
中图分类号: 　P353 　　　文献标识码: 　A
引　　言
对近光速运动的粒子, 其非定常动量已被[1 ]用Laurent 级数对| v/ c | 得
　　P = m
v ( t)
1 - ( v/ c) 2
, ns (1)
在[2 ]中称v ( t) / 1 - ( v/ c) 2 为“超非线性速度”, 因而P 可称为“超非线性的动量”·　在这
里,能量亦仿照[1 ] 对| v/ c | 是本文要提出的超非线性的总能·　从研究表明,超非线性总能是由静能和超非线性的动能组
成·　作为应用,总能是de Broglie 波理论的基础·　超非线性的总能可证明de Broglie 波的相速
仍处在小于光速的范围内·　用狭义相对论的总能推导de Broglie 波的相速处处超光速的,特别
是当粒子的速度为零时,粒子的相速度竟为无限大值[4 ,5 ]·　
另外,应引起读者注意的是,超非线性总能之所以不同于狭义相对论的总能,是因为在总
能中的动能项两者是不相同的·　[1 ]或[2 ]已在计算μ介子穿越大气层时具有的能量值正好
处在测量值的范围内,而狭义相对论的能量值却在测量值的范围外,两者相差达几倍之多·　
1 　超非线性的总能φ( = ET)
设粒子在作近光速运动时,其无量纲的速度| v/ c | 　　L = φ v
c + Kψ v
c
) 的W , (2)
式中, Kψ( v/ c) 为粒子的动量, K为单位向量( = v/ v) ,ψ = mc ( v/ c) [1 - v2/ c2 ] - 1/ 2 是动量的
模[1 ]·　按[3 ] 的展开,φ可有Laurent 的幂级数:
499
　应用数学和力学,第20 卷第5 期(1999 年5 月)
　　Applied Mathematics and Mechanics 　　　　　　　　　　　应用数学和力学编委会编
重庆出版社出版　
X 收稿日期: 　1996-10-18 ; 修订日期: 　1998-10-25
作者简介: 　杨文熊(1934～) ,男,教授.
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
　　φ v
c
-0 = Σ
∞
n =0
α2 n
v
c
03
2 n
, (3)
式中,α2 n 为待定系数·　当| v/ c | 　　φ v
c 词
: =超α非0 +α2
v
c 　　
2
+α4
v
c
]用
4
+ 8943; (4)
这里可先确定α2·　由牛顿力学知,α2 ( v/ c) 2 应是粒子在低速度时的动能项,因而得
　　α2 =
1
2 mc2 , (5)
式中, m 为粒子的质量·　从量纲分析知,α2 必是能量量纲,则α0 ,α4 , 8943;都应是以mc2 型的能
量量纲·　又从(4) 知,当粒子静态时,φ(0) = α0·　可以看到,α0 ～ mc2 ,这正是静能E0 = mc2
并为Einstein 首先发现的,它也出现在[1 ]中·　由此, (4) 可写成
　　φ v
c = mc2 的相Σ
∞
n =0
γ2 n
v
c ·
2 n
·　(6)
从以上分析知,γ0 = 1 ,γ2 = 1/ 2·　若要知道全部的系数γ2 n 必须从功- 能守恒定律出发·　[1 ]
和[2 ] 已找到了粒子从静止开始时的动能项:
　　Ek =∫F ·d S =
1
2 mc2
v
c 的
2
1 -
v
c
c
2 , (7)
式中, F 是作用在粒子上的外力, S 是粒子的移动距离·　上式若按级数展开便得
　　Ek =
1
2
mc2 v
c
ur
2
+
1
2
mc2 v
c
ic
4
+ 8943; (8)
式中,
1
2 mc2 ( v/ c) 2 =
1
2 mv2 ,显然是当后面所有项( v/ c) 4 n 1 , ( v/ c) 6 n 1 , 8943;被忽略时成为牛
顿力学的动能项·　但是当粒子作近光速运动时,这些项都出现高阶的非线性动能效应而不可
能被忽略·　(7) 或(8) 代表了所有的(包括无穷项在内) 高阶非线性动能项之和,故这里为了与
一般的非线性效应区别,称它为“超非线性动能”·　这样,粒子的超非线性总能应是
　　ET = φ = mc2 +
1
2 mc2
v
c
on th e
2
1 -
v
c
f A
2 = mc2
1 -
1
2
v
c 社, 3 6
2
1 -
v
c
c d
2
on
·　(9)
顺便指出,狭义相对论也有它的总能表达式ETR = mc2 1 -
v
c
ou
2 1/ 2 e r
　[4 ] ,然而经研究始终
有:
　　ET ≥ ETR (10)
成立·　[1 ]或[2 ]已从μ介子穿过大气层时所需的能量比较就证明了(10) ·　
2 　de Broglie 波的理论
众所周知,de Broglie 波是描写波粒二象性的理论·　已证明一切粒子运动都带有粒子性和
波动性的“波粒二象性”·　粒子性体现在粒子的总能ET 和动量P;波动性则体现在频率ν和波
长λ上·　de Broglie 的功绩是确定P = h/λ并与ET = hν的关系·　按照狭义相对论的推导,
de Broglie 波的群速等于粒子的运动速度,而波的相速度却是处处超光速的·　后者明显地背离
了狭义相对论自身的假定,陷入了矛盾之中·　超非线性理论可以克服上述的矛盾·　以下分
500 杨　　文　　熊　　　杨　　长　　俊
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为二个部分研究·　
1) 　de Broglie 波的群速vg
按de Broglie 的研究,认为粒子以速度v ( t) 运动的总能ET 和动量P 分别是
　　
ET = hν,
P =
hλ
待定,
(11)
因而粒子波的超非线性群速按定义有
　　
vg ( t)
1 -
vg
c
2
=
dν
d
1λ
4 v
=
d ( hν)
d
hλ
α
=
d ET
d P
, (12)
式中, h 为Plank 常数,ν和λ分别为粒子的频率和波长·　按(1) 和(9) 得出能量- 动量的关系
式:
　　ET = mc2 +
P2
2 m
, (13)
由上式可直接写出能量-动量不变式:
　　ET -
P2
2 m
= mc2 = 常数·　(14)
为了比较,我们亦可写出狭义相对论的能量-动量不变式[5 ] :
　　E2
TR - P2c2 = m2c4 = 常数·　(15)
上式中的m 为静止时的粒子质量·　把(13) 代入(12) 中,立刻得出
　　
vg
1 -
vg
c
6
2
=
d mc2 +
P2
2 m
n
d P
=
P
m
=
v ( t)
1 -
v
c
2·　(16)
所以同样有
　　vg = v ( t) , (17)
成立·　结论是群速vg ( t) 等于粒子的运动速度v ( t) ·　
2) 　de Broglie 波的相速度vP
按粒子的相速度定义是vp = λν, 然而波的超非线性的相速度应是前式的超非线性修正
值:
　　
vp
1 -
vp
c
c
2
= λν, (18)
再按(11) 得vp 1 -
vp
c
c
2
= ET/ P ,但是又按(13) ( ET = mc2 + P2/ 2 m) 故上式写成
　　
vp ( t)
1 -
vp
c · 7
2
=
v ( t)
2 1 -
v
c 样
2
+
c2
v ( t) 1 -
v
c
2
= K, (19)
式中, K = v ( t) / 2 1 - ( v/ c) 2 + (c2/ v ( t) ) 1 - ( v/ c) 2 ,则上式解出vp ( t) 是
　　
vp ( t)
c =
1
1 +
c
K
有它
2 ≤1·　(20)
粒子超非线性的总能和de Broglie 波的理论501
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(20) 表示粒子的相速vp ≤c ,这就是说vp ( t) 永远小于光速c 的·　若把K的表达式代入(3110)
中,经过计算得
　　
vp ( t)
c =
1 -
1
2
v
c 因而的超
2
1 -
3
4
v
c
4 ≤1 　v
c ≤1 , (21)
图1 　vp/ c-v/ c 的诸关系
(21) 可用图1 表示·　狭义相对论也有表示粒子的
相速度公式,但是它得[4 ,5 ] :
vp
c
=
c
v
≥1 　v
c ≤1 , (22) - 关系
(21) 与(22) 是截然不同的,而且(22) 只能是匀速
的情况下取得的·　vp ≥c 是背离了狭义相对论自
身特别强调的基本假设[5 ]·　这里为了与(21) 作
比较, (22) 也可用图1 表示·　
从(21) 知,当v/ c = 0 , vp/ c = 1 ;而v/ c = 1 ,
vp/ c = 1·　特别在当v/ c = 0181 时
vp
c =
vp
c
式中
min
= 0181 　v
c v = 0181 , (23)
即当v/ c = 0181 时vp/ c 达最小值并且是0181 (图
1) ·　顺便指出, (22) 在当v/ c = 0 ,即粒子静止时, vp/ c = ∞;而(21) 在v/ c = 0 时, vp/ c = 1 (图
1) ·　由狭义相对论确定的vp 是处处超光速的,故它是违背了本身的基本假设·　
3 　几点结论
根据本文的研究,现在可作以下结论:
1) 由超非线性速度或速度的补赏取得了粒子的总能量,它是
　　ET = mc2 +
1
2 mc2
v
c
粒子
2
1 -
v
c 速度
2 = mc2
1 -
1
2
v
c
2
1 -
v
c 再按
2 (24)
2) 由粒子的总能确定了de Broglie 波的群速和相速,它们分别是
　　vg = v ( t) ; 　vp ( t) = c
1 -
1
2
v
c 　　
2
1 -
3
4
v
c 4 ≤c 　( v ( t) ≤c) (25)
3) 超非线性理论与狭义相对论总能的比较是不同的·　由于总能的差异,引起了对de
Broglie 波的相速不同·　超非线性理论的相速处处小于光速c ;而狭义相对论的相速却处处是
超光速的,它违背了自己最基本的假定·　
参　考　文　献
[1 ] 　杨文熊. 广义非线性、非定常力学理论及在粒子物理学中的应用[J ] . 应用数学和力学,1995 ,16 (1) :
23～32.
[2 ] 　杨文熊. 粒子超(广义) 非线性速度、时间的相对不对称效应和随体动力学关系式[ J ] . 应用数学和
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© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
力学,1999 ,20 (3) :263～268.
[3 ] 　杨文熊. 幂向量,复合向量数及其函数理论[J ] . 应用数学和力学,1996 ,17 (2) :133～138.
[4 ] 　Rosser W G V. An Int roduction to the Theory of Relativity[M] .London : Butter-worths ,1964.
[5 ] 　仉光炯,李洪芳. 近代物理[M] . 上海:上海科学技术出版社,1979.
S up e r Nonli ne a r Tot al Ene rgy of a Pa r t icl e a nd
t he The ory of de Br ogli e Wave
Yang Wenxiong , 　Yang Changjun
( Sha nghai J i aotong Univers ity , Sha nghai 200030 , P R Chi na)
Abs t ract : By using Laurent series , the velocity (～c) is expanded and then the total energy expres2
sion of a particle moving with high velocity is obtained. The total energy contains two parts : the rest
energy and the kinetic energy. Also in this paper the theory of the de Broglie wave f rom the relation of
the energy-momentum is obtained in which the phase velocity is still less than the velocity of light c .
Key words : super nonlinear total energy ; kinetic energy ; rest energy ; momentum; de Broglie wave
粒子超非线性的总能和de Broglie 波的理论503
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