平面解析几何中通过点到数对的一一映射将几何问题化成代数问题解决，通过“取对数”的—一映射将数的乘除运算转化为加减运算

信息论实际上应该就是如何获得真实信息的理论，但是在现代物理学的框架下是产生不了的。对它的发展有真正促进的是数学——广义函数和广义傅立叶变换理论和算子理论。但是这两个数学理论的基本框架是“约定论”的，但是它们的贡献恰在并不为人们所真正理解的逻辑理念上，希尔拜特的“范数”可以与欧式空间和欧拉的时间(欧拉的复指数公式)理念结合在一起，即通过把范数和子空间的映射理论，建立起超越牛顿“极限”理念——极限的本质是对于数学运算 (等于)的理念发展，希尔拜特实际上建立了另一层次的等于的理念——映射意义上的相等，这就是时空的分层次的逻辑的基础；广义函数建立了无限大的极限理念。这就是我在新一章中要谈的主要两个问题。


一、目的要求

了解映射和一一映射的概念。

二、内容分析

1．映射是近、现代数学中的一个非常重要的概念，其思想也渗透于整个中学数学教材之中。实际上，在高中提出映射的概念，并不只是为了加深对函数概念的理解，而更重要的是要揭示一些不同概念之间的内在联系，以加深对它们的认识，例如，数轴上的点与其坐标，平面内的封闭图形与其面积，某种排列问题中的排列的集合与其排列数，某种随机事件的集合与其发生的概率等，在它们之间实际上是一种映射关系。于是在映射的观点之下，一些看上去很不相同的研究对象之间的联系被揭示了出来。

2．映射与前面学习的集合有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映时。

3．本小节先讲映射的概念，后讲一一映射的概念，我们知道，对应包括“一对多”、“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形，但应注意的是，映射不一定是“满射”。至于一一映射，它则是一种特殊的映射，应该指出，—一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过—一映射将问题转化，并获得解决的。例如平面解析几何中通过点到数对的一一映射将几何问题化成代数问题解决，通过“取对数”的—一映射将数的乘除运算转化为加减运算等等。在本章中介绍反函数时，实际上也要用到一一映射的概念，可见，学习映射（特别是—一映射）的概念，对理解、掌握整个高中数学内容有着重要作用。

4．映射的概念是一个教学难点，教学时，建议：（1）把握教学要求，即让学生了解映射概念的意义，以后会用它去理解函数的概念，而不要求背诵映射的定义。（2）由于映射的概念较为抽象，要多结合实例进行讲解。（3）在后续学习中，结合相关内容不断复习，深化映射的概念。

三、教学过程

1．复习提问

前面学习的集合的有关知识，包括元素与集合的关系，集合之间的包含关系等。

初中学习的对应的一些实例。

2．讲“1．映射”

摆出图2-1，让学生观察：

（1）4个图中，它们有什么共同特点？

应能看出，各个图都反映了两个集合中的一种对应关系，即对于集合A中的任一个元素，按照某种法则在集合B中都有确定的（一个或几个）元素与它对应。

（2）进一步观察，（2）、（3）、（4）这3个图中的对应有什么共同特点？

最后应能看出，其共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有惟一的元素与它对应。

在此基础上，提出课本上的映射的定义，对于这个定义，还可以有一个更直观、简明的说法：象惟一的对应叫做映射。

紧接着，可举几个例子（包括课本上的两个例子），让学生判断，它们是不是映射，其中还可包括不是映射的对应的例子（例如：对应法则f定为：集合A中的元素为非负数，对应于集合B中的元素为这样的数对，它们的绝对值为相应于原象的非负数）。

3．课堂练习

做本小节后的“练习”第1题与第2题

4．讲“2．一一映射”

就图2，让学生继续观察，（2）、（3）、（4）这3个映射，有什么不同？

通过引导，学生应能回答：

（3）是多一对应；

对于（4），B中有的元素没有A中的元素与它对应；

对于（2），集合A中的不同元素在B中有不同的象，集合B中的每个元素都是集合A中的某个元素的象。

再让学生看课本中图2-2所表示的映射属于上面哪种情形。

在此基础上提出课本中“—一映射”的定义。

举几个例子（包括课本上的两个例子），让学生判断是不是—一映射。

再让学生思考讨论在—一映射下，象的集合C与B是什么关系？

5．课堂练习

做本小节“练习”中的第4题

6．归纳总结

内容包括：映射的意义，映射是特殊的对应；—一映射的意义，—一映射是特殊的映射。

四、布置作业

习题2.1第1、2、3、4题