http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF 在数学中，数量积（也称为标量积、点积、点乘或内积）是接受在实数 R 上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。 目录 [隐藏] 1 定义与例子 2 几何解释 3 性质 4 两种定义的等价性的证明 5 应用 6 参见 [编辑] 定义与例子 两个向量 a = [a1, a2, … , an] 和 b = [b1, b2, … , bn] 的点积定义为: 这里的 Σ 指示总和符号。 例如，两个三维向量 [1, 3, 8722;5] 和 [4, 8722;2, 8722;1] 的点积是 使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作 n×1 矩阵，点积还可以写为: 这里的 aT 指示矩阵 a 的转置。 使用上面的例子，这将结果一个 1×3 矩阵(就是行向量)乘以 3×1 向量(通过矩阵乘法的优势得到 1×1 矩阵也就是标量): [编辑] 几何解释 A 8226; B = |A| |B| cos(θ). |A| cos(θ) 是 A 到 B的投影。在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为 , 这里 |x| 表示 x 的范数（长度），θ 表示两个向量之间的角度。 注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a 和 b 的夹角是通过上述等式定义的。 这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 a 和 b 都是单位向量（长度为 1 ），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到： 这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于 1 的，可以简单地转化成一个角度值。 需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 ()。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是 点积可以用来计算合力和功。若 b 为单位向量，则点积即为 a 在方向 b 的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。 [编辑] 性质 点积满足交换律： 点积满足分配律: 点积是个双线性算子： 在乘以一个标量的时候点积满足: (后两个性质从前两个得出)。 两个非零向量 a 和 b 是垂直的，当且仅当 a · b = 0。 如果 b 是单位向量，则点积给出 a 在方向 b 上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解向量对求向量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。 不象普通数的乘法服从消去律，如果 ab = ac，则 b 总是等于 c 除非 a 零。而对于点积: 如果 a 8226; b = a 8226; c 并且 a ≠ 0: 则根据分配律可以得出: a 8226; (b - c) = 0；进而: 如果 a 垂直于 (b - c)，则 (b - c) ≠ 0 因而 b ≠ c；否则 b = c。 [编辑] 两种定义的等价性的证明 从定义 . 可以得到定理 为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明后者也可以导出前者。 注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到 n 维的情形。 考虑向量 . 重复使用勾股定理得到 . 而根据第二个定义 , 所以，向量 v 和自身的点积就是其长度的平方。 引理 1 现在，考虑两个从原点出发的向量 a 和 b，夹角 θ。第三个向量 c 定义为 , 构造以 a，b，c 为边的三角形，采用余弦定理，有 . 根据引理 1，用点积代替向量长度的平方，有 . (1) 同时，根据定义 c ≡ a 8722; b，有 , 根据分配律，得 . (2) 连接等式 (1) 和 (2) 有 . 简化等式即得 , Q.E.D. [编辑] 应用 物理学中力学的力做功的问题，经常用到点积计算。 计算机图形学常用来进行方向性判断，如两向量点积大于 0,则它们的方向朝向相近；如果小于 0,则方向相反。 向量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。 此方法被用于动画渲染（Animation-Rendering）。
