http://www.shict.edu.cn/lesson/JpKc/gdsx/zx/html02/slide2101.htm 当前位置：首页 >> 高等数学(二) >> 第一章 >> 第一节 当前位置：首页 >> 高等数学(一) >> 第一章 >> 第一节 学前导引 内容提要 答疑解惑 典型例题 练习题 学前导引 内容提要 答疑解惑 典型例题 练习题 一、学前引导 1、学习目标 1)、理解向量的概念. 2)、知道向量加法及数与向量乘法的几何意义，熟悉两种运算的运算规律. 3)、了解向量在轴上投影及投影定理. 4)、熟悉空间直角坐标系，理解空间的点与向径的一一对应关系. 5)、熟练掌握向量的分量表示与坐标表示，向量的模与方向余弦的坐标表示. 6)、熟练掌握向量加法与数乘运算的坐标表示. 2、重点提示： 1)、空间向量的不同表示方法. 2)、向量的模与方向余弦和向量加法与数乘运算的坐标表示 . 3)、空间直角坐标系. 二、内容提要 (一)、基本概念： 1、有关向量的基本概念. 向量——既有大小又有方向的量称为向量. 向量可用带箭头的“有向线段”来表示. 有向线段的起点和终点分别称为向量的起点和终点. 向量的模——向量的大小称为向量的模（或长度）. 向量的模记为. 模为1的向量称为单位向量，模为零的向量称为零向量，零向量的方向是任意的. 向量相等——如果两向量的模相等且方向相同，则称为这两向量相等. 自由向量——可在空间任意平移的向量，即与起点位置无关的向量. 以后讨论的向量均指自由向量. 向量共线——若一组向量用同一起点的有向线段表示时，它们在一条直线上，就称这组向量共线.两向量与共线也称为与平行，记为 . 向量共面——若一组向量用同一起点的有向线段表示时，它们在一个平面内，就称这组向量共面. 负向量——与向量模相同而方向相反的向量称为的负向量，记作. 2、向量的加法 给定向量,，将的起点平移至的终点，则以的起点为起点，的终点为终点的向量称为向量与的和，记为.这样定义的加法在几何上称为三角形法. 若，不平行,则以和为邻边作一平行四边形，与，同起点的平行四边形的对角线所在的有向线段就是.向量加法的这种表示法称为平四边形法. 向量与的差为：. 3、数与向量的乘法 实数λ与向量的乘积是一个向量，记作λ，它的模；当λ＞0时，λ 与的方向相同，当λ. 规定，若与同向，则=0；若与反向，则=π. 向量在轴上的投影：向量在轴上的投影记为,其中 5、空间直角坐标系 在空间中选取一定点，记为O，过O点引三条互相垂直且具有相同长度单位的数轴Ox，Oy，Oz，这样就构成了空间直角坐标系Oxyz.O点称为坐标原点，这三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴，通称为坐标轴.习惯上，规定坐标轴按右手规则排列. 每两条坐标轴所决定的平面称为坐标面，三个坐标面分别简称为xy面，yz面，xz面.三个坐标面将空间分成八个卦限. 6、向量在直角坐标系下的表示 向径：以坐标原点O点起点，空间中的任一点M为终点的向量称为向径. 一一对应 一一对应 空间向量向径 空间的点M 向量的分量表示与坐标表示： 若在x轴、y轴和z轴上的投影分别为x，y，z，而分别为x轴、y轴、z轴的正方向的单位向量，则 上式称为的分量表示.将上式写成有序数组形式,即 称之为的坐标表示，x，y，z称为的坐标. (二)、基本公式 1、向量的方向余弦的坐标表示： 设为一非零向量，分别与三条坐标轴的正向的夹角α，β，γ，称为的方向角， cosα，cosβ，cosγ称为向量的方向余弦. 设.当时，有 且 2、向量运算的分量表示与坐标表示 设向量则有 . 三、答疑解惑 问题1 向量在轴上的投影与向量在轴上的分量是同一概念吗？ 答：不是，前者是一个数量，它等于该向量的模乘以向量与轴正向夹角的余弦；后者是一个向量，它等于向量在该轴上的投影乘该轴正向的单位向量. 例如，它在y轴上的投影为-3，而在y轴上的分量为2 i. 问题2 何谓自由向量？在直角坐标系下，它与空间某一点以及以该点为终点的向径有何联系？ 答：所谓自由向量，是指向量经过平移后，所得到的向量与原向量相等，即自由向量与向量起点位置无关. 在直角坐标系下，空间任意向量（自由向量）均可以将起点移至原点，而终点便是空间中某一点M，向量称为向径（或称为位置向量）.因此，在建立坐标系后，空间任意向量与某一向径相等. 而向径与空间点是一一对应的. 四、典型题分析 例1、已知平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1, 0, 2)，(0, 3,－1)， (2,－1, 3). 求： ⑴及其在x轴上的投影与分量. ⑵D点的坐标. ⑶的方向余弦. ⑷ 平行四边形对角线交点O的坐标. 解：⑴, 在x轴上的投影为－1，在x轴上的分量为－i， ⑵ 设D点坐标系为(x0, y0, z0) ,则. 从而 即 D点坐标为（3，-4，6） ⑶ 故的方向余弦为 ⑷ 由设O点坐标为,则 从而. 故为O点的坐标. 五、练习题 1、已知两点及，求的模,方向余弦,方向角,与平行的单位向量. 2、一向量的起点为A(-2,3,0)，它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4,－4,7，求终点B的坐标，并求. 3、已知三点A(3,1,2)，B(4,-2,-2)和C(0,5,1)，试问这三点分别位于坐标系的第n卦限，并求y z面上与这三点等距离的点. 4、已知两个力作用于一质点. 求合力的大小和方向. 练习答案： 1、；方向余弦为；方向角. 2、 3、分别位于第1，3卦限和y z面上；(0, 1,－2). 4、方向余弦
