第二章思考题

第二章思考题
1．微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？
解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数 ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过 而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
2．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设 和 是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由 和 的线性叠加 来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由 确定， 中出现有 和 的干涉项 ， 和 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
3．量子态的叠加原理常被表述为：“如果 和 是体系的可能态，则它们的线性叠加 也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现 ；
（2）对其中的 与 是任意与 无关的复数，但可能是时间 的函数。这种理解正确吗？
解答：（1）可能，这时 与 按薛定谔方程的要求随时间变化。
（2）如按这种理解
已知 和 是体系的可能态，它们应满足波方程式

如果 和 的线性叠加 也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ，然而，

可见，只有当 时，才有 。
因此， 中， 与 应是任意复常数，而不是时间 的复函数。如上式中 态不含时间，则有 。
4．（1）波函数 与 、 是否描述同一态？
（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？
这里 是复常数， 是实常数。
解答：（1） 与 、 描述的相对概率分布完全相同，如对空间 和 两点的相对概率
，故 与 、 均描述同一态。
（2）由于任意复数 ，以及
显然，只有当复数 ，即 ，且 时，
均描述同一态。
5．量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？
解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。
6．判断下列说法是否确切、完整。
（1）波函数是德布罗意波的数学表示。
（2）波函数是体系波方程的解。
（3）波函数是单粒子态的数学表示。
（4）波函数是量子态的数学表示。
答：（1）按照德布罗意假设，平面波是描述自由粒子的波，这只是波函数一个具体例子。一般情况下，微观粒子必须用更复杂的波函数来描述。
有时也把描述微观粒子一切形式的波（一般不是平面波）笼统的称为德布罗意波。在这种理解下，才可以说，波函数是德布罗意波的数学表示。
（2）体系波动方程的通解有无穷多个。但并非所有的这些解都可以描述体系的量子态。物理上真实态的波函数是指那些满足特定的初始条件与边界条件的体系波动方程的解。对同粒子系，能实现的体系其波函数是体系是既满足波方程又同时满足交换时对称性要求的解
（3）（4）波函数是体系量子态的数学表示，而单粒子波函数才是单粒子态的表达形式。

7．态的叠加原理，通常以对叠加态取和的形式表出如 ，是否有积分形式的态叠加原理？举例说明。
答：有，而且很普遍，事实上，任何力学量本征值连续变化的本征态的叠加，其结果必然有求和形式过度到积分形式。例如，平面波叠加形成的波包，电子在晶体表面的衍射等都属于这类情形

8．薛定谔方程能否适用于相对论性粒子？
答：因为薛定谔方程中对空间坐标是二次微商,而对时间则是一次微商,显然不满足相对论要求的协变性.其次方程中动能以 E= 表出的,这只对相对论情形适用,所以薛定谔方程是非相对论量子力学的波方程。

9．有的书中说，为了满足叠加原理，波动方程必须是线性的，也有的书上说：因为波动方程是线性的，所以存在叠加原理。到底哪个说法对？
答：认为,量子力学理论体系中,态叠加原理或波方程都可以单独作为独立的基本假设.不同教材中他们出现先后可能不同,单不存在主从之分.这时题中给出的两种说法只是说明这两个基本假设之间是相容的。也有人不把态叠加原理作为基本假设而作为由波方程得出的一个推论这正是题中的第二个提法,而狄拉克再他的书中开宗明义第一章就是态叠加原理,也有的名著如席夫所著的《量子力学》中只是为了使方程解能被叠加加以产生干涉…….方程必须是线性的.没有明确作为“态叠加原理”而提出的。不同的处理方式反映了不同作者对态叠加原理在量子力学中的地位和重要性的见解很不相同。

10．量子体系是否遵从因果律？波方程如何反映这种因果律？
答：量子体系遵从因果律,但由于微观粒子的波粒二象性使描述状态的方式与经典力学有本质的不同,因果律的含义及表现也有所不同.
由于波方程只含时间一次导数,因此只要给出体系在初始时刻(t=0)的状态 ,原则上由波方程就可唯一确定以后任何时刻的状态 。这就是因果律在量子力学中的体现。把这个结果与经典力学作一比较是必要的.经典力学中牛顿运动方程是粒子的力学量坐标运动量满足的方程.给定初始条件就是给出初始时刻粒子的坐标,动量,借助于牛顿方程,可以给出这些力学量在各种情况下随时间变化的规律,这就是经典力学中的因果性。可见,尽管经典力学与量子力学 对量子状态的描述,运动方程………都有着质的差异,但因果律起着作用,只是实际意义有所不同

11．什么是定态？它有何特性？
答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定 ，则体系可以处于定态。
定态具有以下特征：
（1）定态波函数时空变量可以分离
其中 是哈密顿 的本征函数，而 为对应的本征值
（2）不显含t的任何力学量，对于定态的期待值，不随时间变化，各种可能观察值出现的几率分布亦不随时间变化。
注意通用 表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写离子状态的波函数都是含时的。

12．什么是束缚态？它有何特性？束缚态是否必为定态？定态是否为束缚态？举例说明。
答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的叫束缚态。束缚态的能级是离散的。例如，一维谐振子就属于束缚态，具有量子化的能级。但束缚态不一定是定态，例如，限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包，上题已讨论过，这种叠加态是没有确定能量植的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态。例如，弹性散射中，入射粒子受散射势作用而向各方向散射，粒子不局限在有限区域，但粒子处于能量的本征态。这时粒子处于一个非束缚态，或者说处于散射定态（常简称为散射态）。

13．一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？
答：一维定态解只是有一个能量量子数。一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学数目。

14．量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？
答：量子力学的定态解在量子数n 时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。

15．在一维势阱中，假n=3,于是波函数在阱中有两处为零，因而在这两点发现离子的概率也为零，那么粒子怎么通过这两点而运动呢？
答：我们不能将粒子在势箱中的运动看成是经典粒子在箱中来回移动。微观粒子在箱中的运动呈现一种波动，正是波动在箱壁上的往复反射，干涉形成了驻波，产生了波腹与波节，波节处波函数为零，发现粒子的概率为零。因此波节是粒子运动的产物，而不是阻碍粒子在箱中的运动。一旦我们真的试图在波节处探测粒子时，波动状态也就破坏了，因此并不会发生实验观测上的矛盾（实验上不可能恰好只是探测波节一点，而只能是一个小区域，在此区域中发现粒子概率不为零，因此不可避免要发生粒子与仪器的相互作用）。

16．上题中，如果在两节点处设置刚性壁，将势阱分为三部分，那么概率分布有何变化？
答：由于物质波是概率波，与经典波不同，若在波节处插入壁垒，波动状态将发生变化，如箱中是单粒子插入壁垒后，粒子可能处于被两势壁分割开的三个小空间之一，这时粒子将在此小空间中重新形成适当的分布，而其余两部分空间中的波函数即为零了。

17．为什么概率流在势不连续点会发生分裂，而对应的粒子却不会发生分裂？
答：所谓概率流在势不连续点发生分裂（分解为透射流与反射流）意指粒子在该点以一定概率作透射或反射运动。这与粒子本身的分裂显然不相干（不涉及粒子内部结构的改变）。

18．是否当入射粒子有低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？
答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。

19．是否当入射粒子能量小于势能时会发生反射？当入射粒子能量大于势能时是否也会发生反射？
答：无论入射粒子能量大于势能或小于势能，都会发生反射。

20．入射波是否仅在势不连续点发生反射？在势场连续变化区域是否会发生反射？
答：入射波不仅在势不连续点会发生反射，在势连续变化区域（只要势场是不均匀的）也会发生反射。可直接由概率流密度的定义来证实这一点。