边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广

http://blog.sina.com.cn/s/blog_49d156890100e5wl.html

三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。

这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。

更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。

于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。

任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+ 顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。

欧拉解决封闭曲面的示性数以后，又进一步处理了带洞的曲面，他发现（你也可以轻易验证），带洞曲面的示性数等于无洞封闭曲面的示性数减去洞数。例如，篮球表面挖个洞以后，其示性数就变成1，它拓扑等价于一个圆盘或一张纸。轮胎面，也叫环面，如自行车内胎，也可以想像是一个实心多面体先从中间挖掉一块（也是多面体），再淘空剩下的环体而得，故有两个洞，由此可得其示性数为0。