一进入这一范围之内，粒子之间就会发生相互作用，不仅会发生形变，产生电磁力，还可能产生更复杂的物质运动形式

第三章 宏观力学中的数理逻辑问题

§ 3.4 流体力学中数理逻辑结构的进一步推讨

为了能够严格的推导类似于麦克斯韦方程组的流体力学方程，必须改变物质的模型，物质不能是一个没有大小只有质量的质点。这样的模型是不能进行严格分析的。物质总应该存在于一定的范围，即局域分布，在某一范围内有一个密度分布。这样的奇异函数正是现代数学中广义函数理论所研究的问题。通过广义函数理论可以把这类“不好”的函数变成有完全的分析性能的“好函数”。广义函数，这个神妙的数学方法，把局域与非局域，离散与连续，粒子与波巧妙地联系在一起了。 人们本来只能直观地理解离散的现象，把离散变为连续不知花去了人类多少时间和精力，直到 19世纪才建立严格的实数集的理论，花去了几千年的时间。但是现在又可以用连续函数序列的极限形式来描述离散分布的局域函数了。而且，这种连续函数序列最终又可以用离散的数来进行计算。当然这不是说变来变去离散和连续都一样了，实际上，每变换一次，数的逻辑结构都深化了一步。离散与连续的关系是数学逻辑中最基本，最有实际应用价值的逻辑结构。离散是直观的，简单的，每一个人认识事物总是从离散的整数开始的，但是没有连续的概念我们就很难精确地描述运动过程中所观察到的物理现象；我们不但要把时间连续，还要把空间也连续起来，但是人们又无法看清楚时间和空间都在连续变化的那类物质运动情况，所以又要把连续的运动离散地一点一点的去看，这样，连续又转化为离散。但是这种经过数学逻辑严格转换的连续函数的离散化与直观地取时间或空间孤立的瞬时值又是不一样的。这就是数学逻辑不断发展的结果。 了解这种数理逻辑的发展过程及其在对人类认识物理世界中的作用实在比记住几个定理和推导过程要重要得太多了。

但是要在数学逻辑上严格说清楚上面的问题仍是比较繁琐的，又离不开大量繁琐的数学推导。这里只能从数理逻辑结构上作些概念性的说明。我们还是从前面经典分析的拉格朗日分析中，逻辑概念出现混乱的地方开始，在经典分析中引入了张量的概念：

(3.4)

这个量的逻辑概念非常模糊，在微团模型中， X只是微团的标号，所以 x实际上也只是微团内代表微团位置的一个点，它是随时间 t而变化的，所以式 (3.1)到(3.3) 是合理的，而上面这个式子在逻辑上不自洽。人为地把X 当作连续的空间坐标，那么在每个X 内的空间位置x 的真实物理内容有是什么呢？

在真正掌握了矢量偏微分算子和矢量函数空间和广义的矢量函数理论空间以后，我们就有可能建立逻辑自洽的流体模型。拉格朗日方法是对局域分布的实体物质的，为了方便起见我们仍把它称为“粒子”，不过是有大小和密度分布的粒子。以后用下标 j代替 X来标记粒子。粒子内的坐标用带撇的来标记。第 j个粒子可以描述为：

(3.13)

其中：

(3.14)

这里， 表示源空间，即实体物质所占据的空间位置。每一个实体物质都有一个对应的背景场，它在场空间的位置用 r来表示这里只标出粒子的中心的场空间位置 rj ，为简化起见，只写出下标j ，(t) 表示第j 个粒子的质量。 为粒子的密度分布，密度是一个局域函数，看起来像是一个半径为 的球，但是实际上是一个分布的函数，可以表示任何形状。对于任意的 i和 j都有 ，即粒子的大小远远小于任意两个粒子之间的间距。因为不论旋量场还是无旋场都满足场叠加原理，所以在解析中不必定义每个粒子的边界，正像在经典分析中也不定义微团的大小和分割，只有在数值方法中才考虑场空间的网格划分。这样一来，经典分析中的张量式 (3.4)就不会再出现了。那末用什么来代替经典分析中的张量呢？代替张量的就是对场方程的分析和计算。不再有空间对空间的运算，而是先计算场空间上的场函数。这个场函数就是由式 (3.10),(3.11)和 (3.12)所给的方程组的解。现在这些公式从产生到推导都不存在逻辑上的困难，涡量产生的本质就是式 (3.9)中的对于物质分布的梯度和式 (3.10)中的梯度的时间导数。在局域分布的粒子模型中，流体力学中涡量的产生没有逻辑上的也没有数学上的困难，当然我们还要根据宏观力学大量实践中的感性材料来深入研究涡量的细致的物理问题。这将是一项极复杂的巨大的工作，我们无法在这里进行讨论。这里需要讨论的是这一宏观力学的有限论域问题和基本的物理性质问题。

以后我们讨论中粒子都是指如式(3.14) 所示的局域分布的且与背景场所占的空间相比是很小的粒子，而不再是无限小的粒子。 在物理学中我们一定要放弃物质以及与物质运动相联系的任何物理量(如力和各种作用 )的任何无穷小和无穷大的概念，而又必须保持逻辑上的无穷大和无穷小的概念。 这一点不是几句话说得清楚的，将在专门研究逻辑的时候讨论。有了这一概念，我们就可以说宏观力学是研究电中性的宏观粒子的。粒子中必然有复杂的结构，有一定的大小和形状。当假定粒子不随时间改变的时候，就称为刚性粒子或刚体。这就是牛顿力学所研究的范围。由于在这一范围内，不存在涡量也不存在波，所有的背景场是可以叠加的。一个个微小的粒子可以叠加成巨大的星体。在宇宙空间内形成大范围的引力场，当然粒子间的距离可以改变，随着粒子距离的改变，引力场也会随时间改变，但是仍然属于引力场，即无旋场的范围。当然这种有限论域也只是一种假定，严格来说实际上是不存在的。因为不可能有形状永远不随时间变化的粒子。但是人类要对外部世界的观察只能一步一步地进行，在粒子形状变化所产生的有旋力远小于万有引力的时候，就可以看成是牛顿理论适用的有限论域。尽管牛顿物质是由很小的称为刚体的粒子所组成的，但是实际上只有当他们凝聚成巨大的星体时，与星体巨大的引力相比、与星体间的更加巨大的空间相比，粒子间的运动以及变形的影响反而显得更微不足道了。而真正在原子、分子这样的中性粒子组成的系统中，粒子形变所产生的有旋力反而有较大的影响，在气体、液体和固体的力学中，满足牛顿力学的条件反而比较困难，只有在理想气体和刚体力学等极有限的范围内是牛顿力学的适用范围。在这里有限论域是研究物理学必须注意的问题，一离开了有限论域，原来的科学真理就为变成谬论。例如热力学第二定律就是从牛顿理论引申出来的定律，它只在理想气体和刚体组成的封闭系统中才成立，有人把它推广到任意的系统提出所谓宇宙热寂说，就成了谬论。实际上在大气和海洋中旋涡运动是流体运动的很常见的运动形式，在那里牛顿力学并不适用。 另一个重要的问题就是引力理论的另一个有限论域的界限就是粒子的范围之内，即式 (3.14)的之内也不适用了。因为一进入这一范围之内，粒子之间就会发生相互作用，不仅会发生形变，产生电磁力，还可能产生更复杂的物质运动形式。