“核函数”:保守场与粒子在空间是不可分割的联系在一起；保守场和粒子是实体物质的共同的组成部分，它们分布于全空间，一起运动。

来源: marketreflections 于 2009-12-27 07:59:04 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (15660 bytes)

回答: 牛顿数学的本质来说，牛顿的数学分析是对于时域的微积分，这种数学方法，或者在牛顿理论基础上扩大到空间域的偏微分方程理论由 marketreflections 于 2009-12-25 10:00:55

统计里的population,统计里的“核函数”:

2.2.4 电磁场理论中的时间空间关系
2.2.4 电磁场理论中的时间空间关系
我们上面所讨论的电磁场理论虽然已经说明电磁场实际上是由保守的库仑场和具有辐射特性的电磁波两部分所组成，粒子是以两种方式与场和波相联系。保守场与粒子在空间是不可分割的联系在一起；保守场和粒子是实体物质的共同的组成部分，它们分布于全空间，一起运动。粒子所在的位置可以看作是一个“奇点”，但是这个“奇点”也只是与“无限小”相联系的一种思维上的数学理念，并没有与特定物质间的直接的关系。在数学形式上“奇点”上的值是无限大，但是这种“无限大”并不是任何物质存在的无限大，而是在无限小区域上的密度的“无限大”，这种无限小区域的密度无限大，正是用来保证一个理念在逻辑上的“明确性”。保守场对应于物质存在中的“粒子(或实物)”的一种属性，粒子也是由“点和空白”所组成的：“点”是没有大小的，实际上就是说，点是一个无限小的概念，点上密度趋于无限大，保守场就是以某种形式对于奇点上趋于无限大的“核函数”的空间积分，这个空间积分域只有包含“奇点”时，才有确定的值，这就是逻辑的“明确性”，这个积分值才是实体物质的那个具有明确性的“量”的逻辑界定值。而它的密度则分布于全空间，与无限大的奇点上的值相比，它在空间上的值都是趋向无限小的，但是这种无限小的密度并不表示没有。而是表示这种场密度的无限积分不会趋于无限大，无限小的奇点上的无限大的值和无限大区域上趋于无限小的值的“核函数”组成了一个处处连续无限阶可导的函数的整体，才是保守场的“粒子”体系的更加合理的描述。这个核函数对于牛顿粒子和麦克斯韦理论中的带电粒子都是简单的常数，但是对于复杂的有结构物质就会有复杂的形式。这就是我们分层次地去认识物质世界的道路。这并不是说，牛顿理论下的质点的核函数是一个常数，能够表示物理实在的某种性质，它只是表示我们人类的认识能力的一个有限的性质。我想如果用一个名词来说明这个“核函数”的性质，大概这就是与“层子”最接近的概念。这一点现在听起来是太抽象了，但是如果学懂了“广义函数”，并能把它与基本粒子的物理实在建立起合理地关系，我们就能够建立起明确的理念，而不再是一个空洞的概念了。广义函数是一门20世纪中晚期发展起来的数学，由于这门数学在发展的过程中还没有与物理实在的体系找到完整的合理的联系，所以也带有某些 “公理化”的“人为约定”。在没有搞清楚哪些约定与物理实在的合理关系时，是很难学的，但是一旦找到了与物理实在的合理关系，也就不难学了。
要搞清楚电磁场理论中的场与“粒子”的合理关系，不搞清楚广义函数，是不可能的，但是同样不搞清楚“场与粒子”的物理实在的理念，那种约定化的现代数学本身也总是不能完全搞清楚的，因为公理本来不是几个人可以约定的，而必须是人人可以感受的。这些问题就是杨本洛的书中告诉我的，著名的华裔科学家陈省身和杨振宁都说过，对于现代数学连他们自己也实在搞不清楚的真正的原因。我们说只有把现代数学和描述物理实在的像麦克斯韦方程组那样的数学体系融合在一起的时候，我们就可以比较合理地去理解哪些，“现代数学”和“物理数学”了。我不是说，我已经把现代数学和物理数学搞得比陈省身和杨振宁更加清楚了，比爱因斯坦和希尔拜特站得更高了。不敢那样说，这是发自内心的话，已经年过七十了，那么多的问题还刚刚看到一些，还没有看出个端倪，已经来不及啦！但是我们每一个中国搞自然科学基础研究的人，特别是年轻的一代，一定要有勇气站到他们的肩上去，否则中国是没有希望的。要真正的站到他们的肩上去，不仅要有勇气，更要有一种信念(或信仰)：这就是要把为公理而奋斗，真正地而不是口头上把它摆在个人名和利的前面。这一点，我并没有做到。只有到了退休以后才真正领悟到了，那些名和利对我来说实实在在只是过眼的烟云罢了。只有这时眼睛才突然的亮了，时间也不够了。在今天的世界和中国，一些精英们努力在制定着越来越周密的“公理化的约定”和“人为假定的规则”，按照哪些规则就可以被制造成高居公众之上的各种耀眼的明星：“诺贝尔”、“奥斯卡”和“奥林匹克”就是三个最大的、最耀眼的“明星”制造所。我不是笼统地去反明星，这样的明星制造机构也反映了人类文明历史发展所积累的一部分内容，但是像任何历史上的“公理”一样，只是一定历史条件下的人类实践和思维能力的一种反映，而且总是会有些人，力图把它僵化成只为少数既得利益者服务的一种思维或文明的框架。所以，为今天的、未来的“公理”，我们还必须与昨天的“公理”进行斗争！但是人类在发展，斗争的形式也在发展，人类应该已经走过了依靠残酷的、你死我活的斗争，才能打破僵化的思维框架的历史阶段。追求“公理”必将日益成为越来越多的人的生活的主要目标。现在已经具备了足够的物质条件，所以现在的根本就在于“教育”了：要教育年轻一代把追求“公理”放在最高的位置，要追求“公理”就要有站到哪些历史巨人的肩上去的坚定的决心和意志；而追求明星的“星光大道”则必须用那些精英们的人为约定的规则作为年青一代的教育的前提，追求明星的“星光大道”就是鼓吹偶像崇拜的道路，就是现代精英主义愚弄公众的道路。走上那条道路，国家和世界都会走上危险的道路。
人们总是不断地给出与物质世界相关的各种理念，如时间、空间、粒子、场、波等等的数学模型，这样的模型并不能直接和某一个具体的物质存在和运动联系在一起。但是那些理念的越来越精确的数学形式就可以得到与越来越复杂的物质存在和运动形式之间的合理的关系。这种关系的合理性中必须包含两条：一条是数学运算的明确性，一条是与物理实在相联系的人人可以感受的公理性。数学演绎的自洽性就是你给出了数学体系后，对于给定的前提条件就只能得到一种结果，而不能得到几种不同的结果，所有的“物理数学”都做不到这一点。第二是这个理论结果还得使人人能够感受得到，没有这一点也是不能接受的，这也是现代物理中的理论所做不到的。现代物理学是建立在某些天才人物的人为假设的基础上，它只告诉人们的只是，必须再通过他们的不断加入的人为假设，才能够得到的理论结果。因而这些理论结果也是一般人所感受不到的结果。这一理论体系和思维方式，造就了现代社会中的一个有别于普通人的“精英集团”，这个精英集团，像罗素所说，是“比基督教的宗教裁判所更有力量的”，他们是现代世界的实际统治者，所有的社会学、经济学和精神、人文科学都要仰仗于他们的力量，才能够使那些精英主义的规则变得有“科学”的依据，变成全民应该奉行的规则。这就是为什么我们要去追求的真实的物理学是一条非常困难的道路的原因。只要你成了一个“明星”、“大师”、又想获得“上帝”的礼物，你就可能落入可怕的陷阱，离开真理就会越来越远。但是我相信人类是在进步的，还会继续进步。现在的西方现代自然科学基础，确确实实正在走向堕落，你要寻找最荒谬的东西，就只需到新浪网的科学栏目里去寻找。今天的科学栏目中居然有科学家预测五十年后，死亡将不再出现，除非有人自己愿意。这一批科学家真是已经走到了“科学”的尽头……
并不是说爱因斯坦和希尔拜特都不对，他们是历史的高峰，但是那些拜倒在历史高峰的面前，决心捍卫那个高峰，是没有用处的；这只会危害人类，而得到的不过是一些对自己的毫无价值的过眼烟云。站到他们的肩上才能看到前面的路。时空关系就是这样一个问题，爱因斯坦提出牛顿的时空关系，对于牛顿时代人们的实践和观察能力来说是合理的，而对于新的时代，电物质、场物质，摆到了人类实践面前的时候，就不合理了。这就是人类思维的一个历史高峰，登不上这个高峰就不可能看到前面的路。但是爱因斯坦的时代也是不可能看到前面的路的，因为真实的路为未知世界的荆棘所笼罩，需要后人实践的斩荆披棘的去开辟。相对论和量子理论给人类思维从牛顿框架的禁闭下，打开了一扇窗，这就是时间和空间的更加复杂联系的理念和物质结构的物理实在的窗户，这实际上是两系在一起的问题，一个是属于物理世界的，一个是属于思维理念的。使人们看到更加广阔的物质世界，但是并没有指明前面的路：他们所指出的四维时空和波粒二象性的量子假设，并不是真实的路。路要靠实践去开辟，这一点不仅现在很多搞工程技术的人看到了，爱因斯坦自己在晚年也看到了：时间和空间必须是有联系的，但是他们作为一个思维的理念又必须有独立性，你要把它和一种具体的物理实在联系在一起，它就只能描述那个特殊的物理实在，物质运动那里能够限制于某一种物理实在呢？这就是舞台的意思，舞台是可以扩大的，可以增加更多的道具和附加的设备，但是故事还是要由导演和演员去演，舞台永远不能与某一个要表演的故事连在一起。上面我们谈的对于物质、粒子与场的关系，还只能抽象的说，更具体的必须通过广义函数和广义函数的傅立叶变换等具体的数学方法结合在一起。这里还说不清楚，但是对于时间和空间的关系，实际上经典电磁场理论中已经谈得很多了，这里可以用比较明确的话来谈谈。
时间和空间作为一对人类描述物质运动的最基本的理念，它们必须保持思维形式上的独立性。不能通过对于时间和空间之间加以一种人为的约束来表示时间和空间的联系，时间和空间的联系说得更明确些是指时间和空间在描述物质世界的运动规律中的联系性。所以它是在描述物质运动规律的数学体系中自然的反应出来的，不需任何人为的假定的。首先作为人类用来描述物质世界运动规律的理念必须与数字要有确定的联系，这就是物理学的特点，物理学要求逻辑的自洽性，所谓逻辑自洽性实际上就是物理描述要求完全的明确性，逻辑体系的完全的明确性既包含逻辑演绎的明确性，也要包含逻辑结果与物理实在关系的人人都能够感受到是合理性。这种体系的明确性又是通过对于“基元”的明确性和演绎的明确性来保证的，而基元的明确性和演绎的明确性只有在数字和运算的明确性的基础上才能够得到保证。数字和运算是人类思维明确性的基石。时间和空间就是人类思维中首先把物理现象的描述与数字和运算联系在一起两个最基本的理念，空间着重于描述物质世界的存在形式，而时间着重于这种存在形式的变化的描述。当然物质的运动规律是存在形式和运动形式分不开的，所以在物质运动规律的描述中，时间和空间必然有联系的。这种联系不需要任何外加的人为假定，只需要从麦克斯韦方程的数学演绎的自洽性和这种演绎结果与物理实在的合理关系中的去寻找。只要从麦克斯韦方程组中获得的理论结果与某种理想条件下的物理实在保持了合理的关系，而且把获得那种理论结果的过程中任何不大自然的假定都消除了，数学体系变得逻辑自洽了，这样时间和空间的合理的联系也就自然地得到了。这才是合理的因果关系。
给时间和空间强加一种人为假定的关系，理论就脱离了人类从实践中获得理念的土壤，成了一堆无根的随风飘荡的残絮败叶，再也回不到实践的土壤中去生根结果繁衍后代了。这是我这一辈子在自然科学基础然究究工作中所得到的最大感叹。凡是坚持相对论的没有物理实在的时空观和波粒二象性的同样没有物理实在的物质观的量子理论的研究，都不可能取得实在的成果。人类20世纪所有的工程技术成果，没有一项是真正用到过相对论或量子力学的理论计算的。在电磁场理论和信息社会的工程技术实践中，我们却可以看到时间和空间的关系的一步一步的，实实在在的发展过程。
首先是忽略电磁波影响的理想化条件下，从高斯方程计算的场与力，并把它和牛顿运动理论的结合中，所获得的电子运动的理论结果。这种通常被称为电子光学的学科分支中，不仅在实践上获得了信息社会的最精密的微电子结构的图形和加工，在理论上把牛顿的保守力体系下的物质运动理论也清清楚楚的呈现出来了。那里的时空关系就是牛顿物理框架下的时间和空间的模型：空间是孤立(离散)的，可以对每一个瞬时获得的(或给定的初始条件给出的)空间的粒子的位置和速度分布来进行作用于每一个粒子的场和力的计算，而时间是连续的，必须在每一个dt内进行粒子运动的计算。在这里时空关系的图景已经不是完全孤立的了，只有在亚里斯多德时代时间和空间才是完全分离的，在牛顿的时代，空间时分离的，而时间已经是连续的了。一个连续的时间把分离的空间图景联系在一起。
在电工学中，时空关系是反过来的，那里得到了一个单频振荡的理想化条件，时间虽然被假定为在无限大的范围内的稳定的运动状态，但是实际上时间被变换为频率了，在时间这个逻辑体系内，时间和频率是可以作变换的，时间域上的分析，可以得到频域上的分离的点。在电工学的交流电的分析中，假定了运动对于“时间”是不变的，也就是通过一个频率点上来分析“场量”的空间分布。而且场本来是双旋度算子数学形式，有两个独立的模式所组成，在电工学中，只取其中一个标量(模式)就可以了，于是时间和空间下的电磁场结构的分析，简化为频率点上的电路的分析。这个理论的变换过程实际上是非常复杂的，那个时代的发展交流电体系的那些电气工程师们实际上也是不可能搞清楚交流电的严格的理论体系的。实践常常会走在理论的前面，但是又不能走的太远，太远了，也必然会迷失方向。对于交流电的理想化条件下的逻辑体系实际上也是在电磁场理论进一步发展以后，才慢慢搞得更加清楚的。当时的分析只是把频率的点固定了，电磁场的空间分布也简化为了一维的了，成了一条线上的电路参量的分布，电磁波简化为标量的电压和电流。这样的一个模型虽然现在也并不容易理解清楚。人们常常把电力系统和水利系统相比拟：接地的点就像水平面一样作为标准的高度(零电位)，电流像水流一样从高电位处流向低电位处。在这样的比拟下自然无法理解交流电的合理性，所以我们也可以理解爱迪生为什么会反对交流电系统的应用，一个受到了人们如此崇敬的发明家自然要谨慎些。类比和人为假定一样，可以给人们打开一扇思维发展的门窗，但是那个门实际上都没有连接着路。为人类打开一扇门的人当然是了不起的人，但是路还是要后人自己去走，还要靠实践和思维的发展一步一步的去探索。
电磁场理论中的频域分析，是从单频的电工学的理论中发展起来的，特别是双旋度算子的本征问题的理论和数学方法的发展，是人类思维发展迈出的一大步：找到了比牛顿框架下的时间逻辑体系更丰富的内涵。这实际上已经是与相对论和量子理论同步地发展着的物理理论，一个是从实践中去获得理论发展的新理念，一个是沿着人为假设的方向一直走下去，形式上两者越离越远，实际上又有很多地方是有联系的，如时间和空间的联系不应停伫在牛顿的框架下，又如物质不应是单一的牛顿的物质模型，这两个问题在现代物理上一直摆脱不了不自然的人为假设，而现代电磁场理论已经逐步地向着新的理念接近。这个新理念的核心就是对于时间的理念，对于时间和空间在描述物理实在的数学体系中，所自然表现出来的新理念：频域分析的理念产生了“时间”理念上的“局域”(或“点”)分布的波,这个波的理念从逻辑上说可以与空间上局域(或点)分布的实体物质相对应，只是对于时间这个逻辑体系来说，那种理念的获得，不是直接的，而是要在傅立叶分析以后才能够得到的，这种傅立叶分析不是经典数学上的傅立叶分析，而是需要建立在无限大的逻辑界定的理念上的广义函数和广义傅立叶分析。但是，最根本的还是一定要把空间上局域分布的实体物质和时间上局域分布的波分离开，这是新理念的出发点。关于这一点我们将在量子力学中再详细讨论，量子力学中实际上已经接近走到了这一步，把量子分成两类：费米子和玻色子的真实物理内容就是在两个基本理念——时间和空间上界定出来的物质的逻辑基元。当然在量子力学中还不可能得到这一点，那个时候离信息时代还太远了些。要搞清楚这一点没有足够的信息工程的实践经验和信息分析的数学基础是不可能的，这就是现在物理学发展的焦点：是用信息科学中的感性材料去改造理论物理体系，甚至还要抛弃那些现在过时了的、必须抛弃了的概念，去建立新的理念和逻辑体系，还是继续以人为假定的无根的理论飘荡。
现代电磁场理论的发展在频域分析的路上也遇到了很多难题，那也是仅仅靠实践难以解决的。频域分析的逻辑体系还不完整。现在电磁场和信息理论正在同样经历着一个艰难的时刻。计算电磁学的发展给电磁场理论到来了新的生命。现在发展着一种FDTD的方法就是时间和空间同时作为独立的逻辑变量来进行电波传播的数值计算，这当然是很好的。这是真正的时间和空间的逻辑联系的路。但是这条路才刚刚开始，逻辑上还没有理出个头绪。前面讨论的两种方法都是两个理想化的体系：忽略电磁波的条件，实际上就是把空间给简化了，物质的逻辑性质在空间没有连续性，那就是牛顿的理想化模型；频域分析正好相反，物质的逻辑性质在时间域上被简化了，这个简化要复杂些，要通过时域与频域的变换，在频域上才是局域分布的，在空间是连续的，那只对波(理想状态的波)才适用。真正要研究粒子和波的相互作用就要把这两者统一到一个自洽的逻辑体系中去，这当然不是靠相对论量子力学那样的，把两个人为假定机械地结合在一起所能够解决的，这种方法必将造成逻辑上的更加混乱。这样只能在逻辑无法自洽时，再不断的加新的人为假定的方法，来得到确定的结果。这样不确定性就越来越多，这能靠对于那些天才人物的崇拜，来获得信心。但是把理论与实践逻辑地结合起来所走的路更艰巨。数值方法是一条可以探索的路，但是根本问题还是逻辑。对一个形式系统可以通过迭代来寻找极限，两个独立的、逻辑规则不同的形式体系，怎样同时达到一致收敛的标准，是一个最大的问题。最近网上有一个叫Maskcd的评论者说，“其实说的是哲学，不如说是认识论和工具体系的变革即将到来。这个世界上现在的问题是没有人去怀疑数学的根基，去否定所谓的物理的原始。到了那个时候，其实有更加巨大的成就”。这句话我完全同意。数学是现在自然科学发展的瓶颈，而数学的瓶颈就在于到现在为止数学只限于单一形式的自变量体系下的分析。现在有N维实数空间下的代数和几何，N维看起来很普遍了，但是只有单一的形式体系还是无法解决物理世界的问题。N维的代数实际上是对应于多粒子体系的单一标量的形式体系下的物理问题的，即对应于多粒子的保守力的物理体系，所以它在实际的工程和技术问题上取得了巨大的成功，是信息技术发展的数学基础之一。而N维的几何，太复杂了，没有物理对应关系，物理空间只有三维，这个三维是欧氏空间下的三维，N维的物理空间是不存在的。没有距离定义的三维空间是同样是没有明确性的概念，它总是会产生各种各样的理论结果，随心所欲的用附加的假设来获得希望的结果，就是某些现代物理学的致命的问题所在。N维矢量的旋转是人为约定的，没有逻辑的明确性，这个数学解决不了真实物理空间的旋转性质的研究。时间，现在看来可以用复数空间去描述。但如何把它与欧氏空间在波与粒子、牛顿物质与电物质的相互作用中组成一个既独立又有合理联系的体系，实在有太多的工作要做。我不知道Maskcd的真实情况，但愿他不要像我那样已经到了没有多少余热可以发挥的时候了，我不在乎他是“民间”的“江湖”的，非主流派或主流派的“科学家”，(真别扭,如果没有某些主流派的霸道，非要听他的才能进入科学的共同体，大家都有平等的思维的权利，有多好)。我觉得最重要的是提高数学的素质，不是能够猜想几百年前的某个人出的猜想的水平要有多高，而是一定要提高逻辑数学的素质。现在，实际上还不是素质高不高的问题，而是有没有讲逻辑的概念和习惯的问题。