书1 3.2 流体力学中的两种分析方法
宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com） 上传2007.10 浏览64
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《信息时代的物理世界——实物与暗物的数理逻辑》
第三章 宏观力学中的数理逻辑问题
§ 3.2 流体力学中的两种分析方法[10]
早在麦克斯韦研究电磁场理论以前，流体力学已经以其一整套特殊的理论模型和数学方法表明了它与牛顿理论系统之间的区别。只是所有这些与牛顿理论体系的联系与区别，还无法用一种明确的数理逻辑的语言表达出来。而上一世纪后期涡动力学的研究和发展，才使得人们越来越清楚的意识到流体力学中存在的数理逻辑问题原来与电磁理论和现代物理中所存在的数理逻辑问题是一致的。流体力学，不仅流体力学实际上所有连续介质的力学都一样，是粒子与波两种不同运动方式结合得最紧密的理论。我相信流体力学中所积累的关于粒子与波两类不同物理运动形式相结合的感性材料比其它学科更加丰富。
在流体力学的分析中，常采用一种称为“微团”的模型，微团是一种宏观上无限小微观上无限大的物质的集合。也就是说宏观上看物质是由无限小的微团所组成，所谓宏观上看无限小是指可以把每个微团看成数学上的一个点，有这些点组成了连续的物质流；而微观上无限大是指从微观看微团是由许许多多的分子所构成的无穷大的物质集合。对于这样的微团模型常同时采用两种分析方法：拉格朗日分析法和欧拉分析法。
拉格朗日方法：
(3.2)
这里，X 表示微团的标号，x 表示标号为X 的微团在t 时刻的空间位置。在拉格朗日方法中，x 既是微团X 的空间位置, 又成了坐标空间的位置，这是经典粒子模型中的常用方法。拉格朗日方法下的微团模型，实际上就是典型的粒子模型，微团只是粒子的另一种叫法。按照这样的模型 X应该只是标号而不是连续的变量，对于该标号的微团当然可以对时间微分，得到速度：
(3.3)
和加速度：
(3.4)
按照通常的理解既然X 只是一个标号，对它作微分运算是没有意义的，但是在经典流体力学中却要对 X作微分, 把它也作为一个矢量，并把它定义为变形张量：
(3.5)
尽管变形张量在流体力学中已经是很常用的一个物理量，但是这是一个需要好好讨论的量。这里出现的是一个空间矢量 X对另一个空间矢量的矢量偏微分。虽然从严格的逻辑上说这样的物理量是难以理解的，但它又是求解“连续介质”力学的经典方法中所不可缺少的。在某些特殊的历史时期，往往出现一些共同的问题：从逻辑上看是无法接受的，但却为人们所接受了。用空间量来表示与力相关的物理量大概是其中最有意思的一个问题了！是在牛顿力学框架下，为了打破牛顿力学框架的束缚，人们常常要借助于“空间”！这种借助往往会起到意想不到的作用，但是无论如何只能是一种暂时的办法。但是即使在找到真正的符合逻辑的表达办法时，要抛弃这种并不好的表达办法也不容易。比这里的空间对空间的偏微分还要有名的大概要算爱因斯坦的空间弯曲了，他先定义了一个空间的弯曲，再对弯曲的空间取梯度运算来计算力就是一个更有趣的例子。我们这里也只好按照经典力学家的意思来理解这个量了。但是现在空间坐标 x实际上已经不再有空间的直接意义了，而代表了某种与力有关的物理量， X也不再代表微团的标号了，因为在这里已经把它变为连续变量了，否则无法想像微团的标号怎么能够对空间位置去微分呢？我们说流体力学的这一处理就是对牛顿框架所作的修正，以使它能用于流体内部的运动过程。在有些力学著作中把它解释成是描述相邻流体微团之间的不同运动状态，从形式上看起来似乎这样解释符合数学公式。但是在物理内容上实际上只能更含糊不清，微团在微观上是由无限多的粒子所组成的，那么这个张量说明不说明微团内部粒子运动状态的改变呢？怎么来比较两个无限大集合之间的不同运动状态呢？实际上只要求微分，就必须取无穷小的极限过程，两个微团间的微分在数学上是没有定义的。拉格朗日方法实际上就是牛顿粒子模型的一种描述方法，在那里物质只剩下了一个叫质量的常数，和空间坐标。前面三个公式是牛顿模型下的对粒子运动的典型描述方法，而最后一个方法是牛顿模型的一种修正。现在不仅流体力学，在物理学甚至社会科学上都用惯了“张力”这个词，好像它是一个物理量。其实这不是一个物理量，从现代数学的观点这是从一个矢量函数空间的原像到另一个矢量函数空间的像之间的一个映射，它应该是一个并矢算子，或类似于并矢格林函数的广义函数。
欧拉方法：
欧拉方法是一种对于空间连续函数物理量的描述方法，实际上就是对场量的描述方法：
(3.6)
在经典流体力学中主要的场量是速度场，
(3.7)
而且还可以把式(3.1) 作逆变换：
(3.8)
这是经典理论对场理论的一种“修正”。当然按照严格的数学逻辑这种变换是不符合运算规则的。在数学上一个量是连续变量还是不连续序列是一个非常重要的问题，因为不连续序列对序列号的微分是没有意义的。就像微团模型所描述的， X表示的是包含足够多粒子的微团的一个标号。数学逻辑不是一句“宏观上无限小，微观上无限大”这样的一个假定所可以建立起来的。但是这就是科学发展的历史面貌： 解释实验结果的需要，尤其是当这些实验不仅仅是实验，而是工程需要的时候，它在科学发展上永远是占第一位的。 为了能够解释实验事实，科学家通常都要作些不很严格的假定。没有这样的假定流体力学的分析就进行不下去的时候，这样的假定就是合理的。因为流体力学必须由牛顿力以外的力参与运动过程，否则其结果与实际情况就完全不一样了。
一个宏观上无限小，微观上无限大的微团模型，可以把微团标号X 变成一个连续的空间函数，并使它是另一个连续的空间x 和时间t 的连续函数。虽然会有些别扭，但是这正是整个经典流体力学的精髓。有了它才可以在拉格朗日和欧拉这两个本来毫不相关的方程之间建立相互求逆的关系，并定义出反映物质变形的各种物理参数，并在此基础上研究了由于物质变形所产生的各种非“物质力”。而这些不仅是整个经典流体力学研究的基石，也是以后电磁场理论发展的基础，也为整个现代物理学的发展带来了可能性。 科学发展就是这样，不是先有了一套自洽的逻辑结构再去推导出各种逻辑结果，而总是为了寻找已经发现的，无法纳入任何现有的逻辑结构的新的感性材料之间的关系，去建立一些尽管是不尽合理和自洽的近似理论，而这种近似理论的建立首先要依赖于逻辑不严格的甚至看来有些莫名其妙的假定。永远不要去苛求和责难这样的假定，因为如果是你，要你去解决一个现在理论上还无法解决的实际工程问题的时候，你也必须依靠这样的假定，要么你什么也不做。我们只能在比较感性材料和理论结果的过程中不断的改进理论模型或逻辑体系。这些在后来看来不自洽，不合理的理论，正是后来得到的比较自洽、比较合理的理论的基础。
流体力学，从形式上看是宏观的，因为它没有考虑物质的具体微观结构所产生的影响。但是它又是微观的，因为所有的微观结构产生的影响都已经用一个抽象的物理量来代替了。这个物理量就是“变形力”。在文献 [10]中，明确提出了流体中存在质量力 (与质量成正比的力 )和其它的力( 非质量力) 。质量力就是牛顿的引力场的力。有别于质量力的物质变形力的提出，就标志着流体力学的基本数理逻辑结构已经有别于牛顿的理论而与现代物理有相同的地方了。
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